四川省德陽市什邡中學(xué)2023-2024學(xué)年高二平實班上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

四川省什邡中學(xué)高2022級平實班第三學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的四則運算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】由，得，則，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，在第一象限．故選：A．2.在△ABC中，，，，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意利用余弦定理直接求解即可.【詳解】因為△ABC中，，，，所以由余弦定理知，，即，化簡整理得，解得或（舍去）.故選：C3.已知點和點，則以線段為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求圓心與半徑可得標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因為點和點為直徑端點，所以中點，即為圓心，由，則圓的半徑，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.4.國家射擊運動員甲在某次訓(xùn)練中10次射擊成績單位：環(huán)，6，9，7，4，8，9，10，7，5，則這組數(shù)據(jù)第70百分位數(shù)為（）A.7 B.8 C. D.9【答案】C【解析】【分析】由百分位數(shù)的概念和計算公式可直接求解.【詳解】將10次射擊成績按照從小到大順序排序為：4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，因為，所以第70百分位數(shù)為，故選：.5.若，，直線與直線互相垂直，則ab的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)兩直線垂直得到a和b之間的關(guān)系：；再利用基本不等式即可求出ab的最大值.【詳解】由直線與直線互相垂直，所以，即.又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以ab的最大值為．故選：C．6.過原點的直線與雙曲線交于A，B兩點，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點F，若△ABF的面積為，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得四邊形為矩形，設(shè)，，根據(jù)雙曲線定義和△ABF的面積可得，故可求的值.【詳解】如圖，因為以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點F，所以AB為直徑的圓的方程為，圓也過左焦點，所以AB與相等且平分，所以四邊形為矩形，所以．設(shè)，，則，所以．因為，所以．因為△ABF的面積為，所以，得，所以，得，所以，所以，得，所以雙曲線的漸近線方程為．故選：D．7.已知O為坐標(biāo)原點，P是橢圓E：上位于x軸上方的點，F(xiàn)為右焦點.延長PO，PF交橢圓E于Q，R兩點，，，則橢圓E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓的對稱性，及，得四邊形為矩形，設(shè)，利用橢圓的定義，及條件所給出的長度關(guān)系，可表示出，，，利用勾股定理，求出m，推斷出點P的位置，求出離心率.【詳解】如圖，設(shè)左焦點為，連接，，，由題，，關(guān)于原點對稱，所以四邊形為平行四邊形，又因為，所以四邊形為矩形.設(shè)，則，又因為，則，，，在中，，即，解得或（舍去），故點P為橢圓的上頂點.由，所以，即，所以離心率.故選：B.【點睛】解題時注意數(shù)形結(jié)合，抓住橢圓的對稱性，將圖形關(guān)系用含a，b，c的代數(shù)式表示出來，即可求解離心率.8.在矩形中，，將沿對角線翻折至的位置，使得平面平面，則在三棱錐的外接球中，以為直徑的截面到球心的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖，取的中點為，連接，過作，垂足為，連接，可證為三棱錐的外接球的球心，利用解直角三角形可求，據(jù)此可求球心到以為直徑的截面的距離.【詳解】如圖，取的中點為，連接，過作，垂足為，連接.因三角形為直角三角形，故，同理，故，所以為三棱錐的外接球的球心，而，因為，平面，平面平面，平面平面，故平面，而平面，故.在直角三角形中，，故，故，在直角三角形中，，故，故.設(shè)球心到以為直徑的截面的距離為，則，故選：B.【點睛】思路點睛：三棱錐外接球的球心，可根據(jù)球心的定義來判斷（即球心到各頂點的距離相等），而球面截面圓的半徑、球心到截面的距離、球的半徑可構(gòu)成直角三角形.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分）9.圓和圓的交點為，，則有（）A.公共弦所在直線方程為B.線段中垂線方程為C.公共弦的長為D.為圓上一動點，則到直線距離的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】兩圓方程作差后可得公共弦方程，從而可判斷A；求出垂直平分線的方程判斷B；利用垂徑定理計算弦長判斷C；求出圓到直線的距離的最大值判斷D．【詳解】圓的圓心，半徑，的圓心，半徑，顯然，即圓與圓相交，對于A，將方程與相減，得公共弦AB所在直線的方程為，即，A正確；對于B，由選項A知，直線的斜率，則線段AB中垂線的斜率為，而線段中垂線過點，于是線段AB中垂線方程為，即，B正確；對于C，點到直線距離為，因此，C錯誤；對于D，P為圓上一動點，圓心到直線的距離為，因此點P到直線AB距離的最大值為，D正確．故選：ABD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱C.函數(shù)在的值域為D.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位【答案】ACD【解析】【分析】先由圖象信息求出表達(dá)式，從而即可判斷A；注意到是的對稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，由此即可判斷B；直接由換元法結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求值域?qū)Ρ燃纯膳袛郈；直接按題述方式平移函數(shù)圖象，求出新的函數(shù)解析式，對比即可判斷.【詳解】如圖所示：由圖可知，又，所以，所以，又函數(shù)圖象最高點為，所以，即，所以，解得，由題意，所以只能，故A選項正確；由A選項分析可知，而是的對稱中心當(dāng)且僅當(dāng)，但，從而函數(shù)的圖象不關(guān)于對稱，故B選項錯誤；當(dāng)時，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)在值域為，故C選項正確；若將函數(shù)的圖象向左平移個單位，則得到的新的函數(shù)解析式為，故D選項正確.故選：ACD.11.如圖，在四棱錐中，平面，底面是平行四邊形，為的中點，，則（）A.平面 B.平面平面C.三棱錐的體積為 D.異面直線和所成的角的余弦值為【答案】ABD【解析】【分析】A項，通過證明線線平行即可得出結(jié)論；B項，通過證明平面，即可得出結(jié)論；C項，通過等積法即可求出三棱錐的體積；D項，將異面直線和所成的角轉(zhuǎn)化為同一個平面上兩條直線的夾角，即可求出異面直線和所成的角的余弦值.【詳解】由題意，在四棱錐中，連接交于點，連接，過點作于點，在中，，點為中點，在中，為中點，∴∥,∴異面直線和所成的角即為（或其補角），∵面，平面，∴平面，A正確；在四棱錐中，平面，又，∴，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，B正確；在中，，，∴∥，，∴是等腰直角三角形，，∵平面，∴平面平面，∵平面平面，平面，∴平面.∵為的中點，∴三棱錐的體積為：，C錯誤；在Rt中，，∴，在Rt中，，在Rt中，為的中點，∴，在Rt中，，D正確.故選：ABD.12.已知雙曲線的左、右頂點分別為A，B，P是C上任意一點，則下列說法正確的是（）A.C的漸近線方程為B.若直線與雙曲線C有交點，則C.點P到C的兩條漸近線的距離之積為D.當(dāng)點P與A，B兩點不重合時，直線PA，PB的斜率之積為2【答案】AC【解析】【分析】由雙曲線漸近線方程可判斷A，通過對比直線與雙曲線的漸近線斜率之間的關(guān)系可求解B，結(jié)合點到直線的距離公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，結(jié)合雙曲線方程化簡可得定值，則D可判斷.【詳解】雙曲線，則，對于A，C的漸近線方程為，A正確；對于B，由雙曲線的漸近線方程為可知，若直線與雙曲線C有交點，則，B錯誤；對于C，設(shè)點，則，點P到C的兩條漸近線的距離之積為，C正確；對于D，易得，，設(shè)，則，所以直線PA，PB的斜率之積為，D錯誤．故選：AC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知，則__________．【答案】##【解析】【分析】首先求的值，再用表示齊次分式，即可求解.【詳解】，.故答案為：14.已知，，直線過點且與線段相交，那么直線的斜率的取值范圍是__________________【答案】【解析】【分析】畫出圖形，由題意得所求直線的斜率滿足或，用直線的斜率公式求出和的值，解不等式求出直線的斜率的取值范圍．【詳解】如圖所示：由題意得，所求直線的斜率滿足或，即，或，或，故答案為：．15.已知命題：，使得，若是真命題，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】分離變量可得，結(jié)合能成立的思想和二次函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.【詳解】由得：；，使得，；為開口方向向上，對稱軸為的拋物線，當(dāng)時，，的取值范圍為.故答案為：.16.已知為單位向量，若，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】由題設(shè)以為x、y軸構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，，令結(jié)合已知有，又，將問題轉(zhuǎn)化為求點到上點距離的范圍，即可得結(jié)果.【詳解】由為單位向量，且，故，以為x、y軸構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，如下圖示，則，令，則，又，所以，即，故的終點在圓心為，半徑為1的圓上，而，故，所以，只需確定點到上點距離的范圍即可，而到的距離為，故，則.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，將問題化為求定點到圓上點距離的范圍，進(jìn)而求目標(biāo)式的范圍.四、解答題（共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知向量與的夾角為60°，＝1，．（1）求及；（2）求.【答案】（1）2，1；（2）.【解析】【分析】（1）利用模長坐標(biāo)公式求，再由數(shù)量積的定義求；（2）應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律求即可.【小問1詳解】由題設(shè)，則【小問2詳解】由，所以.18.夜幕降臨，華燈初上，豐富多元的夜間經(jīng)濟(jì)，通過夜間商業(yè)和市場，更好滿足了民眾個性化、多元化、便利化的消費需求，豐富了購物體驗和休閑業(yè)態(tài)．打造夜間經(jīng)濟(jì)，也是打造城市品牌、促進(jìn)產(chǎn)業(yè)融合、推動消費升級的新引擎．為不斷創(chuàng)優(yōu)夜間經(jīng)濟(jì)發(fā)展環(huán)境，近朋，某市商務(wù)局對某熱門夜市開展“服務(wù)滿意度大調(diào)查”，隨機(jī)邀請了100名游客填寫調(diào)查問卷，對夜市服務(wù)評分，并繪制如下頻率分布直方圖，其中為非常不滿意，為不滿意，為一般，為基本滿意，為非常滿意，為完美．（1）求的值及估計分位數(shù)：（2）調(diào)查人員為了解游客對夜市服務(wù)的具體意見，對評分不足60分的調(diào)查問卷抽取2份進(jìn)行細(xì)致分析，求恰好為非常不滿意和不滿意各一份的概率．【答案】18.；分位數(shù)為.19.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1，求出；判斷出分位數(shù)所在區(qū)間，再設(shè)出分位數(shù)，列出方程即可求解；（2）列舉出基本事件的所有樣本點即所求事件樣本點，按古典概型即可求解.【小問1詳解】由，解得；由低于90分的頻率為，則分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)樣板數(shù)據(jù)的分位數(shù)約為分，則，解得,即分位數(shù)為.【小問2詳解】非常不滿意的游客有人，設(shè)編號為,不滿意的游客有人，設(shè)編號為，則基本事件的總數(shù)有：工15種，事件“恰好為非常不滿意和不滿意各一份”有：工8種，故.19.已知圓：，直線：，與圓相交于，兩點，．（1）求實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，求過點并與圓相切的直線方程．【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的半徑以及直線與圓相交所得的弦長求解出圓心到直線的距離，由此列出關(guān)于的方程即可求解出結(jié)果；（2）分別考慮直線的斜率存在與不存在兩種情況，直線斜率不存在時直接求解，直線斜率存在時利用圓心到直線的距離等于半徑進(jìn)行求解.【小問1詳解】因為圓的半徑，，所以圓心到直線的距離，所以，所以，所以或.【小問2詳解】因為，所以，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線方程為，圓心到的距離為，所以與圓相切；當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，即，因為直線與圓相切，所以，所以，所以直線方程為，所以過點并與圓相切的直線方程為或.20.已知向量．（1）若，求的值；（2）記，在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c．且滿足，求函數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）通過向量的數(shù)量積以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合二倍角公式轉(zhuǎn)化求解即可；（2）利用正弦定理，結(jié)合三角形的內(nèi)角和通過的范圍，轉(zhuǎn)化求解函數(shù)值的范圍即可．【詳解】解：（1）所以；（2），由正弦定理得，，．，．，，，．．又，．故函數(shù)的取值范圍是．21.如圖，平面，.（1）求證：平面；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）兩種方法，一是通過題意，得到平面的法向量，然后結(jié)合，通過計算可得，從而得到平面；二是通過證明、，得到平面平面，進(jìn)而推出平面；（2）通過建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出平面和平面的法向量，并結(jié)合題意條件，求解出的長，然后根據(jù)平面，求解出，即可.【小問1詳解】依題意，可以建立以為原點，分別以的方向為軸，軸，軸正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），