惠更斯與概率論的奠基

惠更斯與概率論的奠基

摘要:惠更斯是概率論學科的奠基者之一。其《論賭博中的計算》是第一部概率論著作,該書首次提出數(shù)學期望的概念,創(chuàng)立了“惠更斯分析法”,第一次把概率論建立在公理、命題和問題上而構成一個較完整的理論體系。

關鍵詞:點子問題概率論惠更斯遞推法數(shù)學期望

在紀元之初,民間就流行用抽簽來解決人們彼此間的爭端,這可能是最早的概率應用。隨著社會的發(fā)展,隨機現(xiàn)象愈來愈左右著人類的生活。因而在不確定性因素的情境中,尋找行為的理性規(guī)則,使理性服從機遇的愿望成為數(shù)學家研究的課題之一。直到文藝復興時期,隨機世界依然撲朔迷離、不能辨析。作為研究隨機現(xiàn)象的概率論出現(xiàn)在17世紀中葉,象征著概率論誕生的標志,就是克里斯蒂安·惠更斯(ChristianHuy-gens,1629-1695)在1657年發(fā)表的《論賭博中的計算》(OnReckoningatGamesofChance)一文。

一、論文的來源

惠更斯1629年誕生于海牙的一個富豪之家。其父知識淵博,擅長數(shù)學研究,同時又是一杰出的詩人和外交家。惠更斯從小受到了父親的熏陶,喜歡學習和鉆研科學問題。16歲進入萊頓大學學習,后轉到布雷達大學學習法律和數(shù)學。26歲獲得法學博士學位。數(shù)學老師范·舒藤(FransVanSehooten)指導他學習當時的著名數(shù)學家、哲學家卡卡維(Carcavi)的數(shù)學著作及其哲學著作?；莞箯闹懈形虻綌?shù)學的奧妙而對數(shù)學很感興趣。1650—1666年期間,他大多時間在家中潛心研究光學、天文學、物理學和數(shù)學等領域,成果顯著,一舉成為當時聞名遐邇的科學家。

除去在光學、天文學等領域的貢獻外,惠更斯也有出眾的數(shù)學才能,可謂是一個解題大師,早在22歲時就寫出關于計算圓周長、橢圓弧及雙曲線的論文。他發(fā)現(xiàn)了許多數(shù)學技巧,解決了大量數(shù)學問題。如他改進了計算π值的經(jīng)典方法;繼續(xù)笛卡爾、費馬和帕斯卡的工作,對多種平面曲線,如懸鏈線、曳物線、對數(shù)螺線、旋輪線等都進行過研究;對許多特殊函數(shù)求得其面積、體積、重心及曲率半徑等,某些方法與積分方程的積分法相似。伯努利兄弟對惠更斯的研究極為佩服,尤其是約翰(JohnBernoulli,1667—1748)發(fā)現(xiàn)旋輪線也是最速降線時甚是激動。他說:“這惠更斯等時曲線(旋輪線)就是我們正在尋求的最速降線!我感到十分驚奇!”惠更斯在數(shù)學方面的最大貢獻,就是以《論賭博中的計算》一文奠基了概率論的基礎。

1654年,賭徒梅勒向當時的“數(shù)學神童”帕斯卡(B1Pascal,1623-1662)提出了其在賭場上遇到的幾個不解問題。后帕斯卡與費馬(PierredeFermat,1601-1665)以通信的方式對這些問題進行了較為詳盡的討論,并將其推廣到一般情形,這就使概率計算由單純計數(shù)而轉向更為精確的階段,但二人都不愿意發(fā)表研究成果,故有關概率知識沒有得到及時傳播。

1655年秋,惠更斯第一次訪問巴黎。他遇到羅貝瓦爾(G1P1deRoberval)及梅勒恩(Mylon),但沒有見到帕斯卡和費馬。他獲知去年有一場關于概率問題的討論,但不知其具體解決方法及結果。由于羅貝瓦爾對此問題毫無興趣,因而惠更斯對費馬和帕斯卡的討論結果幾乎一無所知。

1656年4月,回國后的惠更斯自己解決了這些概率問題,并將其手稿送給范·舒藤審閱,同時寫信給羅貝瓦爾,尋求幾個概率問題的解答。此時范·舒藤正在籌印其《數(shù)學習題集》,因而他建議惠更斯將此文印刷發(fā)表,并親自替學生將該文譯成拉丁文。由于惠更斯沒有收到羅貝瓦爾的信,便又寫信給梅勒恩,并通過卡卡維將信轉給費馬。在1656年6月22日費馬的回信中,給出與惠更斯相一致的解決方案,但無證明過程。此外,費馬又向惠更斯提出了5個概率問題。閱信后,惠更斯很快解出這些問題,并把其中2個問題收錄在著作中。他于7月6日將結果送給卡卡維讓其轉給梅勒恩、帕斯卡和費馬確定解答正確與否?？ňS在9月28日的回信中肯定了惠更斯的解答,并給出帕斯卡與費馬對點子問題的解決方案,但無證明。惠更斯在10月12日給卡卡維的回信中也提出了一個無證明的解決方法。

1657年3月在最后一次校訂時,惠更斯將其論文增加為9個命題和5個問題,形成了《論賭博中的計算》的基本構架。惠更斯還將給范·舒藤的一封信作為該文的前言,這篇前言形成了全文的思想基礎。他在其中明確地提出:“盡管在一個純粹運氣的游戲中結果是不確定的,但一個游戲者或贏或輸?shù)目赡苄詤s可以確定?！薄?〕可能性用的是“probability”,其意義與今天的概率幾無差別?；莞沟倪@種思想使得“可能性”成為可以度量、可以計算、具有客觀實際意義的概念。信中惠更斯強調了這一新理論的重要性:“我相信,只要仔細研究這個課題,就會發(fā)現(xiàn)它不僅與游戲有關,而且蘊含著有趣而深刻的推理原則?！辈⑼锵У卣f“,法國的杰出數(shù)學家已經(jīng)解決了這些問題,無人會把這個發(fā)明權授予給我?！逼鋬?nèi)容被編排在范·舒藤之書的519-534頁。該書出版于1657年9月,而荷蘭文版出版于1660年,英文版出版于1692年,德文版出版于1899年,法文版出版于1920年,意大利文版出版于1984年。

二、創(chuàng)立數(shù)學期望

《論賭博中的計算》的寫作方式很像一篇現(xiàn)代的概率論論文。先從關于公平賭博值的一條公理出發(fā),推導出有關數(shù)學期望的三個基本定理,利用這些定理和遞推公式,解決了點子問題及其他一些博弈問題。最后提出5個問題留給讀者解答,并僅給出其中的3個答案。通常所謂惠更斯的14個命題,指的就是書中3條定理加上11個問題。

公理:每個公平博弈的參與者愿意拿出經(jīng)過計算的公平賭注冒險而不愿拿出更多的數(shù)量。即賭徒愿意押的賭注不大于其獲得賭金的數(shù)學期望數(shù)〔2〕。

對這一公理至今仍有爭議。所謂公平賭注的數(shù)額并不清楚,它受許多因素的影響。但惠更斯由此所得關于數(shù)學期望的3個命題具有重要意義。這是數(shù)學期望第一次被提出,由于當時概率的概念還不明確,后被拉普拉斯(P1S1M1deLaplace,1749—1827)用數(shù)學期望來定義古典概率。在概率論的現(xiàn)代表述中,概率是基本概念,數(shù)學期望則是二級概念,但在歷史發(fā)展過程中卻順序相反。

關于數(shù)學期望的三個命題為:

命題1若在賭博中獲得賭金a和b的概率相等,則其數(shù)學期望值為(a+b)P21

命題2若在賭博中獲得賭金a、b和c的概率相等,則其數(shù)學期望值為(a+b+c)P31

命題3若在賭博中分別以概率p和q(p≥0,q≥0,p+q=1)獲得賭金a和b,則獲得賭金的數(shù)學期望值為pa+qb1

這些今天看來都可作為數(shù)學期望定義。但對惠更斯來說,必須給出演繹證明,因當時對數(shù)學的一種公認處理方法是從盡可能少的公理推導其他內(nèi)容?；莞顾o的命題1證明為:

假設在一公平的賭博中,勝者愿意拿出部分賭金分給輸者。若二人的賭注均為x,勝者給輸者的為a,因而所剩賭金為2x-a=b,故x=(a+b)P2。

帕斯卡與費馬在通信中所說的“值”等于賭注乘以獲勝的概率,因而已于概率無本質區(qū)別。而惠更斯在這里將“值”改稱為“數(shù)學期望”是一個進步(在該書荷蘭版中,惠更斯仍沿用“值”的概念)。

將命題3推廣便得到今日數(shù)學期望的定義。因此惠更斯當之無愧是數(shù)學期望概念的奠基人。

三、求解點子問題

所謂點子問題是:甲乙二人賭博,其技巧相當,約定誰先勝s局則獲全部賭金。若進行到甲勝s1局而乙勝s2局時(s1s,s2s),因故停止,賭金應如何分配才公平?

惠更斯深刻認識到點子問題的重要性,因而在其著作中有6個命題討論了該問題。命題4-7都是有關二人的點子問題,而命題8和命題9將問題推廣到三人及若干個人。

惠更斯的解決思路為:賭徒分得賭注的比例等于其獲勝的概率。他假設賭徒在每局獲勝的概率不變,且各局間相互獨立。這樣就可以歸結為一般問題:

設隨機試驗中某隨機事件每次成功的概率為p,重復獨立進行該試驗若干次,求在b次失敗前取得a次成功的概率。

惠更斯認識到點子問題的關鍵與已勝局數(shù)無關,而與離全勝所差局數(shù)相關。設甲離全勝所差局數(shù)為a=s-s1,而乙為b=s-s2,則至多再進行的局數(shù)為a+b-1。由全概率公式得一有限差分方程而解之。

命題4-7分別為(a,b)=(1,2),(1,3),(2,3),(2,4)。

點子問題推廣后可應用于當今一些體育比賽問題。如甲、乙兩隊進行某種比賽,已知每局甲勝的概率為016,乙勝的概率為014?？刹捎?局2勝制或5局3勝制進行比賽,問哪種比賽制度對甲有利?點子問題可轉化為古典概型中的三大概型之一的摸球問題。即從裝有m個白球n個黑球的袋子中有放回摸球,求在摸到a次黑球前摸到b次白球的概率。由此又可以轉化為大量的應用問題。二項分布、幾何分布、負二項分布等常見離散型分布均可由點子問題引申出來,所以點子問題的圓滿解決是概率論誕生的標志之一。

當時梅勒問帕斯卡的另一個問題是:據(jù)經(jīng)驗知,一顆骰子連擲4次“至少出現(xiàn)一個6點”的概率大于1P2;兩顆骰子擲一次的結果6倍于一顆骰子擲一次的結果,那么,兩顆骰子擲24次“至少出現(xiàn)一對6點”的概率也應大于1P2,但賭場的經(jīng)驗并非如此,應如何解釋?!梅勒憤怒地譴責數(shù)學,粗暴地斷言,算術是自相矛盾的?；莞箤Υ艘策M行了深刻討論,并將其分解成如下三個命題。

命題10一顆骰子連擲多少次有利于“至少出現(xiàn)一個6點”?

命題11兩顆骰子連擲多少次有利于“至少出現(xiàn)一對6點”?

命題12一次擲多少顆骰子有利于“至少出現(xiàn)一對6點”?

惠更斯利用命題3及遞推法圓滿解決了上述問題。

四、獨創(chuàng)分析法

在《論賭博中的計算》的最后兩個命題中,惠更斯創(chuàng)立了著名的“惠更斯分析法”來解決概率問題。

命題13甲、乙二人賭博,將兩顆骰子擲一次,若其點子和為7則甲贏,為10則乙勝,為其它點則平分賭注。試求二人分配賭注的比例。

命題14A,B二人輪流擲兩顆均勻的骰子,若A先擲出7點,則A勝;若B先擲出6點,則B勝。B先擲,求A獲勝的概率。

對命題14,惠更斯的解法為:設全部賭注為t,A的期望為x,則B的期望為t-x,則當B擲時,A的期望為x;當A擲時,A的期望為y。因每次投擲時,A的獲勝概率為6P36,B的獲勝概率為5/36,由命題3得5/36×0+31/36y=x6/36t+30/36x=y。

解得x=31t/36即A獲勝的概率為31/36。

這個問題的求解與前面的方法不同,通過列代數(shù)方程來求解,這是惠更斯的獨創(chuàng),該方法后被雅可布(JacobBernoulli,1654—1705)稱之為“惠更斯分析法”〔4〕。惠更斯沒有給出進一步的討論,但按其思想可得更一般解法。可見,惠更斯從數(shù)學期望入手,明確給出了概率的客觀意義,但他的概率計算全是通過期望來進行的。從期望出發(fā)解釋概率,與以概率定義期望的現(xiàn)代概率論恰恰相反。因此,惠更斯的概率思想值得探究。

五、惠更斯的5個問題

惠更斯的最后5個問題,雖也都是在形形色色的賭博機制中,計算一方取勝的概率,但在概率論誕生初期,這無疑是向同時代數(shù)學家的挑戰(zhàn)〔5〕。他說:“給我的讀者(如果有的話)留下一些思考題應該是有益的,這將供他們練習或者打發(fā)時間?！?/p>

問題1兩人玩擲雙骰子游戲。若A擲出6點則贏,而B擲出7點勝。A先擲一次后,B擲二次,A再擲二次,如此下去直至一方獲勝。A與B的勝負比是多少?(答案:10355比12276)

該問題是費馬在1656年6月向惠更斯提出的,顯然它是命題14的推廣。在1656年7月6日惠更斯寫給卡卡維的信中提到問題解決方案。

問題2一袋中裝有4個白球8個黑球,3人蒙住眼睛輪流摸球。先得白球者獲勝,求三人獲勝的機會比。

惠更斯在其1665年的筆記中給出問題答案為9∶6∶4。

問題3有40張牌,每種花色10張。甲同乙打賭他能抽出花色不同的4張牌,每人投的賭注應是多少?(答案:1000∶8139)

這個問題由費馬在1656年6月向惠更斯提出,在1656年7月6日惠更斯寫給卡卡維的信中提出問題解決方案。

問題4一袋中裝有4個白球8個黑球,甲同乙打賭他能在摸出的7個球中含有3個白球。求二人獲勝的機會比。

惠更斯在其1665年的筆記中記錄著這個問題的答案為35∶99。

問題5二人玩擲三顆骰子游戲,甲乙各有12個籌碼,若擲出11點,甲給乙一個籌碼,而擲出14點,則乙給甲一個籌碼,直至兩人中有一人輸光。求甲乙獲勝的機會比。(答案:244140625∶282429536481)

這個問題就是著名的賭徒輸光問題,也叫具有兩個吸收壁的隨機游動問題。它由帕斯卡向費馬提出,后卡卡維于1656年9月28日的信中告知惠更斯,其中含有帕斯卡和費馬的解答?；莞乖?656年10月12日給卡卡維的回信中提出自己的解法,其證明過程可在其1676年的讀書筆記中發(fā)現(xiàn)。

六、歷史評價

到17世紀時,不少學者已對賭博中的某些問題進行了討論,并挖掘了其中的數(shù)學原理。但對當時的大多數(shù)學家來說,概率論是庸俗的賭博游戲,難登大雅之堂。正是社會的發(fā)展及其需要,才推動了概率論的發(fā)展。如果沒有社會的需要,概率論至今恐怕仍然只能在牌桌上顯示神通?！案怕收摦a(chǎn)生于賭博”,這個觀點是錯誤的或者說是不完全對的?！百€博問題”和“理性思考”是概率論產(chǎn)生的兩個必要條件,而后者更重要。猶如蘋果落地千千萬,而只有牛頓從中發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律。

不少學者錯誤地認為,帕斯卡、費馬和惠更斯三人一起討論了概率問題,而后者僅是將前二者的結果著書立說。從該書的撰寫過程來看,惠更斯幾乎全是自己獨立解決的這些概率問題,雖帕斯卡、費馬間接給他提供了一些問題,但均無解答過程。概率史界認為,帕斯卡與費馬的通信標志著概率論的誕生。然而他們的通信直至1679年才完全公布于世,故惠更斯的《論賭博中的計算》標志著概率論的誕生。因此,不少學者宣稱惠更斯為概率論的正式創(chuàng)始人?；莞沟摹墩撡€博中的計算》不僅是第一部概率論著作,而且是第一個把該學科建立在公理、命題和問題上而構成一個較完整的理論體系,第一次對以前概率論知識系統(tǒng)化、公式化和一般化。該書為概率論的進一步發(fā)展奠定了堅實的基礎〔6〕。

1657年9月《論賭博中的計算》出版后立即得到學術界的認可和重視。該書在歐洲多次再版,作為概率論的標準教材長達50年之久。直至1713年雅可布的《猜度術》出版才遏制住該書的再版,然而該書的影響還在繼續(xù)。因《猜度術》的第一卷就是《論賭博的計算》的注釋,并籍此建立了第一個大數(shù)定理。法國數(shù)學家棣莫弗(A1deMoiver,1667—1754)的《機會學說》也是在該書的基礎上,由二項分布的逼近得到了正態(tài)分布的密度函數(shù)表達式。拉普拉斯在此基礎上給出古典概率的定義。因此,惠更斯的概率思想對古典概率的影響是重要而持久的,其方法可以看作那一時期的特點。但是,至于什么是“理想理論”,需要考慮它的歷史發(fā)展階段