《自動(dòng)控制理論》各章自測(cè)題答案 (一)

?自測(cè)題答案

第1章自動(dòng)控制的一般概念

1.要求穩(wěn)定電壓為〃、擾動(dòng)輸入量為總的變化，給定輸入量由必和的組成的穩(wěn)壓

管電路確定，兄和吊組成測(cè)量電路。

2.(DT圖-2(a)中輸出量為水池水位，給定輸入量為Us,擾動(dòng)輸入量為用水量。方

框圖如T圖1-2(c)所示。圖l-2(b)中的輸出量、擾動(dòng)輸入量與圖1-2(a)相同。給定輸入

量為水位的希望值，由浮球八懸桿1、連桿兩臂比及水閥門等參數(shù)確定。

T圖1-2(c)

(2)T圖1-2(a)中的誤差和擾動(dòng)無關(guān),即T圖「2(a)為無差系統(tǒng)。T圖『2(b)中的

誤差與擾動(dòng)有關(guān)。

3.由T圖1-3可知，爐內(nèi)溫度為系統(tǒng)輸出量，給定的毫伏信號(hào)是給定輸入量；爐內(nèi)

加熱物件和其它影響爐溫的外界因素是擾動(dòng)輸入量；電爐是系統(tǒng)被控對(duì)象；電壓放大器、

功率放大器、減速器、自耦調(diào)壓器以及生產(chǎn)給定毫伏信號(hào)的給定器構(gòu)成自動(dòng)控制器；電

壓放大器和功率放大器是放大元件，可逆電動(dòng)機(jī)減速器是執(zhí)行機(jī)構(gòu)；熱電偶為測(cè)量元件。

熱電偶將溫度信號(hào)轉(zhuǎn)換為電信號(hào)，反映爐溫，其輸出電勢(shì)與給定毫伏信號(hào)之差為偏

差信號(hào)。偏差經(jīng)電壓放大和功率放大后帶動(dòng)可逆電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)，并經(jīng)減速器使自耦調(diào)壓器

的活動(dòng)觸點(diǎn)移動(dòng)，從而改變加在加熱器兩端的電壓?？刂葡到y(tǒng)方塊圖如T圖1-3(b)所示。

圖中比較元件是由線路連接實(shí)現(xiàn)的，連接方式是負(fù)反饋方式。

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

1.回路：Li=-G2H3,L2=-G3H2,L3=-G|G2G3〃|；從Ri(s)到C(s)：P|=G1G2G3，4=1

C(5)G[G2G3

&(s)-1+G2%+G3H2+GGG3d

從R2(s)到C(s)：PI=G3，AJ=1+G2H3

C(s)_G3+G3G2/

R式s)―1+G2H3+G3”2+G1G2G3〃

251,0.5k

2.(1)回路：L.=———,，L%="

'5+1s(s+1)s~(s+l)

/+3.5s?+s+0.5Z

所以A=1—(￡j+L+L)=

23/(S+1)

n0.5k

△1=1

C(s)=0.5次

R(s)s'+3.552+s+0.5Z

由d――0.5%

(2)

R(s)i+*G(S)s'+3.5s~+s+0.5%

ss

1

解得G(s)=

s+3.5

3.前向通道：P1=G2G4G6，P2=G3G5G7，P3=G3G8G6.PA=G2G\GI,

P5=-G3G8/7IGIG7,P6=-G2GIH2G8G6

回路：LI=-G4//I，L2=-G5H2,L3=G|H2G8Hl

所以△=1一(乙1+七+乙3)+乙也2=1+G4//1+G5H2—G|H2G8E+G4H1G5H2

A,=1+A,=1+GH,A=1,A=1,A=1,A-1

GSH2,4t3456

C(s)

R(s)

G2G4G6+G2G4G6G5H2+G3G5G7+G3G5G7G4Hl+G3G8G6+G,GC?-G3G—G)G[H]G8G6

1+HR+H3G5--HQs%+G4G5&H2

4.兩條前向通道：P]=G|G2G3，Pi=Gy

五個(gè)回路：L|=G|G2>L2=—G2G3,Li,=—1,LA=-G|G2G3，￡5=-G\

A=1—(L)4-Z>2+Z/3+L44-L5)=2+G2G3—G1G2+G1+G]G2G3

A,=1A?=1

所以四二工￡匕“=---------Gl+GiG2G3-------------

R(s)Atf2+G,+GtG2G3+G3G2-G,G2

5.L]=—G3H1,L?=—G2G3H2,L/3=—GiG2G3G4H3,￡4—G\G2G4G5H3

A-1—(4+L?+L、+L4)+ZqL4

=1+G3H1+G2G3H2+G1G2G3G4H3—GlG2G4G5H3—G]G2G3G4G5”1“3

①求C(s)/R(s)時(shí)，兩條前向通道：

Pi=GiG2G3G4,A1-1；Pi=—GiG2G4G5，△,=1+GjH?

C(5)___________________G&G3G4--G2G4G5(1+G3d)

R(s)I+G3H]+G-,GyH+G]G2G3G4H3—GiG,G4G5H3—G]G,G3G4G5H#3

②求E(s)/N(s)時(shí)，從N(s)到E(s)的前向通路有兩條：

P尸一G4H3,A(=1,尸2=一H2G2G5G4H3,A2=1

E(s)__________________________G4“3-"2G2G5G4/73_______________________

N(s)-1+G3Hl+G2G3H2+G]G2G3G4H3-G]G2G4G5H3-G]G2G3GaGsgH3

￡\(s)R,R,Cs&尸/、

!!口,、

6.=------------——=———，EB(S)=——-—Eo(s)

￡,.(5)l/Cs+居RCs+1H2+R3

因?yàn)棰散且恍?s)]K=%(s)且K》1,所以乙(5)=4(§)，得

￡(s)RCS

0_R?+&}IK

E(s)R3R]Cs+1i

iSH----

R、C

7.運(yùn)動(dòng)方程為

%+，1倍一等）+3一%）-，2誓心必=/笨

結(jié)構(gòu)圖如下圖所示:

8.△=1-￡,=1-G|G2G3G4

從Ri(s)至ijG(s)：Pi=Gi，A,=1

從R(s)到C2(5)：Pi=-GiG2G3,A,=1

從/?2(s)至ijG(s)：Pi=-G|G3G4,A,=1

從&(s)到C2(s)：PI=G3，A1=1

G").GG⑸一-GjG3G4

&G)-1-G&G3G4R式s「1-G0G3G4

c2(s)_-G,G2G3g（s）=

&(S)一1—G|G2G3G4&⑸-1-G[G2G3G4

9.A=1-abed—gb-he-bee-1=-abed-gb-he-bee

4=abc,Aj=1

C(s)_abc

R(s)-abed-gb-he-bee

第3章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法

1.所求區(qū)域如T圖3T1,3-12,3-13,3T4所示。

T圖3—12

Ks+b

+as-Ks

(2)K-limsG(s)=---e=—=-

“ST。a-K*Kv

1o2121

3.(1)因?yàn)镃(s)=—+—-------—,R(s)=-

ss+60s+10s

C⑸600

所以

-52+705+600

①(s)600

G(s)

1—①⑸5(5+70)

(2)=24.5,，=1.43>1

由于在兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)中，si=-60,S2=-10,,J>5卜所以si對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影

響可忽略不計(jì)，S2為閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，即

①(s)?——-——

O.Ls+1

得r$=3r=0.3s,cr=0

(3)由于G(s)=9為i型,所以

5(5+70)

Kp=8,K〃=0

A」,Loo

故—+

1+K1+(

P

4.(1)①(s)=—----

TS2+S+K

咸=K/T

2軻,=1/7

令？20.5,得KW1/T

由勞斯判據(jù)可得，系統(tǒng)穩(wěn)定條件為DO,K>0

-1,.V47X-1人1日

特征根$1.2=斤±/―——，十一斤<一2,

4

T圖3-15所示。

(2)ess=l/K

(3)eQ)=r(f)-c(t)

小，、1CG).小/、s(Ts+\-KK)

①，G)=1一/=1一①⑸=，T八c。

R(s)s(Ts+1)+K

ess=lims。,,(s)R(s)=-一=0

ST。K

得Kc=l/K

C(s)2

5.(1)①G)

R(s)S2+3S+2

c(/)+3c(0+2c(f)=2r(r)

考慮非零初始條件下的拉氏變換:

($2+3s+2)C(5)=2R(s)+c(0)+5c(0)+3c(0)

…-52-35+2142

故

s(s+l)(s+2)ss+1s+2

c⑺=1-4/+2/2，

(2)K〃=8，KV

eM=-^-+^=0+—=6

1+K,,Kv2/3

(s+i)G(s)+&

6.(1)

2

s+(KlK2+l)s+Ki

22

令D(s)=s+(KiK2+l)s+Ki=(5+5+75)(5+5-J5)=5+105+50

得K=50,勺=9/50

小(、_($+1心—(&5+1),($)]_八

(2)由i—u

/+((勺+1)5+(

得G,(5)=---

'0+1

①"+1)(心+1)[-$+5嘰0

(3)由e"—$2+(&a+1)5+('

得G2(S)=S

小/、11+4%s

7.①(s)=-------=--------------

2

"1+G(s)s+2^a)ns+或

/、C-2z-4fr->/\21s+6

當(dāng)位）=1⑺時(shí)eQ)=2ee,E(s)==

s+25+4592+6.V+8

E(s)=①。(s)H(s)△①/s)

而

s

所以sE(s)=①,(s)

s+6_52+2血戶

即

s?+6s+8s?+2血,5■+叱

co,,=2.828

所以

<=1.061

4

又K-limsG(s)=—

vs->o3

所以r(f)=t時(shí)，ess=1/A：.=0.75

7iQ_9

8.〃(8)=2,b%=M^=9%,「0.8

由b%=”^?xl00%=9%

得

，=0.608

_71

由

P0,/Y

得

con=4.946

小，、K、K,

①⑸:

其單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差值為

/?(oo)=K、=2

因?yàn)閏o；=K2,2M=a

可求得七=24.46,a=6.01

小/、EG)-1

9.(1)①(s)=------=-----------------------------

4N(s)]?K/K4

$(A+l)(s+K3K2)

"吧s"N(s)=建

(2)先由梅遜公式求閉環(huán)傳遞函數(shù)：

K[K2K4+K,K4s

①G)

/(7i+1)+K2K3s(△+1)+K1K2K4

再求等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：

G=①⑶=_________-K/4+K'Ks________

”-1-0(5)一屋(仆+1+&K3T)+(K2K3-K’KJs

要使系統(tǒng)在中)蟲作用下穩(wěn)態(tài)誤差為o,系統(tǒng)應(yīng)為n型系統(tǒng)，

即K2K3—鼠匕=0,KC=K2K3/K*

10.系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

小/、G(s)1010

①(s)=----=------------------------------=------------------------------------

1+G(s)53+752+105+10(5+5.52X52+1.485+1.83)

系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)為5L2=-0.74±jl.133

用主導(dǎo)極點(diǎn)代替全部極點(diǎn)，并保持①(0)=1,得近似閉環(huán)傳遞函數(shù)

1.83

①G)=

52+1.485+1.83

2

口“=1.353,，=0.547,cod=ty,Jl-<=1.133

6=arccos，=56.839"

所以，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為

/??)=1一一e'^'sm(co,t+。)

=1-1.195e47"sin(l.133t+56.839°)

tr=-------1,9s,tp=――—2.77s,—————4.05~5.4.V

以0dm

cr%=I"-xlOO%=12.8%

①(s)=2—%⑶+0_

R(s)(7]s+l)(7；s+l)+K]

7；7>2+(7+7一次1)5+&(/7

①e(5)=—=1-①⑸

R(s)(7Js+l)((s+1)+&

要使系統(tǒng)對(duì)中)成為II型系統(tǒng)，則當(dāng)()=/時(shí)，essr=O,即

74s2+(7+/唱”+&KQ

=limsE(s)=liin5?—?=0

s-*0sfOZ(7]s+l)Ws+D+Kl

&一和=0

得

Tt+與一的=0

12.當(dāng)〃⑺=0時(shí)，開環(huán)傳遞函數(shù)為

G(s)=----------r2?4里-1-----------([型系統(tǒng))

s(77+1)[(7；+Kr)s+1+K]

當(dāng)中)=0時(shí)，由于擾動(dòng)點(diǎn)前的前向通路傳遞函數(shù)為

1

T1

0,(5)=^s-=-~-(0型系統(tǒng))

1+±小+1

小

所以，系統(tǒng)對(duì)中)為I型系統(tǒng)，對(duì)"⑺為0型系統(tǒng)。

13.系統(tǒng)為I型系統(tǒng)?？稍O(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)為

?、K

G(s)=——5--------

s(s+as+b)

則特征方程為?+a?+fe+^=0

與?+4?+6,v+4=0比較可得

G(s)=—--

s(s~+4s+6)

14.e(t)=r(t)—c(t)

2

C(5)_5+1￡(5)_1C(S)_S

~R(s)~s2+s+V~R(S)~~R(s)~s2+s+\

e^=limsE(s)=0

r.10

又?jǐn)_動(dòng)點(diǎn)前的前向通路有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，故

^ssn一()

所以Gs=+eXXft=0

第4章線性系統(tǒng)的根軌跡法

1.此題為非最小相位系統(tǒng)，根軌跡方程為G(s)H(s)=-l,相角滿足180°條件。

漸近線與實(shí)軸的夾角3a=60°,-60°,180°

-2

漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)=---

-

由求分離點(diǎn)的方程可得解為由=0.46,“2=2.22,di.4=-0.79±j2.16Cd},應(yīng)不滿

足幅值條件，舍去)。

由勞斯判據(jù)可求得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為S|,2=±j2.56,S3.4=±jL56,相應(yīng)地,K=35.7

及K=23.3

根軌跡的出射角％“一2=±54.5°。根軌跡如T圖4-2所示，由圖可知，當(dāng)23.3<K<35.7

時(shí)，根軌跡在左半s平面，系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。

T圖4-2

2.系統(tǒng)的根軌跡在復(fù)平面上的一部分是一個(gè)以有限零點(diǎn)T為圓心，以有限零點(diǎn)到分

離點(diǎn)的距離為半徑的圓，如T圖4-3所示。

T圖4-3

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

10(s+l)_10"+1)_10(s+l)

G（5）

B5(5-3)4-10(5+1)+75+10-(5+2)(5+5)

對(duì)于單位階躍函數(shù)，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)為

10(s+l)

y（s）=

s(s+2)(5+5)

其拉氏反變換為

y（f）=l+1.67e2，一2.67e”(r>0)

單位階躍響應(yīng)曲線如T圖4-4所示。

由圖可見，當(dāng)時(shí)間為0.4秒時(shí)，超調(diào)量為40%。系統(tǒng)隨無振蕩特性，但由于系統(tǒng)存在

s=-l零點(diǎn)，所以響應(yīng)有超調(diào)現(xiàn)象。

K(0.5s+l)K*(s+2)

3.G(s)H(s)=

s(0.25s+l)(0.5s+1)-s(s+2)(s+4)

式中，

M=4K

漸近線與實(shí)軸的夾角為/=±90°，交點(diǎn)為b“=-2。

根軌跡的分離點(diǎn)d=-2。

根軌跡如T圖4-5所示。

T圖4-5

當(dāng)，=0.707時(shí)，作等阻尼比線交根軌跡于A點(diǎn)，求得此時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)為

=-2±，2相應(yīng)的K=2,K*=8

閉環(huán)傳遞函數(shù)為

________2________

生.y(0.25.v+l)(0.5,v+l)16

①($)=--------------------------=--------------------------------

]+2(0.255+1)(s+2)(5+2+72)(5+2-；2)

s(0.25s+l)(0.5s+l)

系統(tǒng)階躍響應(yīng)的拉氏變換為

八不12s

C(s)=①(s)R(s尸一--~-+-----

s5+2s+4-s+8

有拉氏反變換的階躍響應(yīng)

c(t)=l(t)—2e2'_V2e2lsin(2t—45°)

單位階躍響應(yīng)曲線如T圖4-6所示。

T圖4-6

注意：當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有零點(diǎn)相消時(shí)，由此求出的根軌跡并不能反映系統(tǒng)所有的

閉環(huán)極點(diǎn)，消去的開環(huán)極點(diǎn)也是閉環(huán)極點(diǎn)，應(yīng)該將其增加進(jìn)去，因?yàn)樵谙サ拈_環(huán)極點(diǎn)

處，有一支根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合，且根軌跡的變化與K值無關(guān)。

4.(1)

(s+2)(5-0.5)

式中《=K/4

112

由分離點(diǎn)方程------1---------------,解得"=-0.182?

2+dJ-0.5d-2

系統(tǒng)的特征方程

D(s)=(1+**)?+(1.5-K)s+4K-1=0

由勞斯判據(jù)，解得根軌跡與虛軸的交點(diǎn)Si=0,S2=±0.603,相應(yīng)地，必=0.25,心*=1.5,

根軌跡如T圖4-7所示。

T圖4-7

(2)由根軌跡知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則0.25**〈1.5,即1〈K〈6。

(3)系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)

Kp=limG(s)=-K

5-?0

在系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍內(nèi)，

l+K*=l-Kma「百

5.系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為

xrjzxK(7i+1)

Gr(⑹H(s)=—~—

系統(tǒng)的特征方程為

力(S)=$2+(3+K7)S+K

令O(s)=(s-2-八仿)(s—2+jV10)=52-45+14,比較系數(shù),得子=14,六-0.5

將T=-0.5代入開環(huán)傳遞函數(shù)中，有

G(s)”(s)=K(《5s+D=-2)

s(s+3)s(s+3)

當(dāng)K從零到無窮變化時(shí)，應(yīng)按0°根軌跡規(guī)則畫圖。

由根軌跡的分離點(diǎn)方程,+」一=」一，解得

dd+3d-2

Ji=-1.16,4=5.16

根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為$=/Jd,K=6,根軌跡如T圖4-8所示。由圖可知，系統(tǒng)穩(wěn)定

的K值范圍是0<K<6.

T圖4-8

6.(1)開環(huán)極點(diǎn)pi=T4,p2=T+j,p,3=-l-j

600

漸近線與實(shí)軸的夾角Sa=={180。

3-60。

漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn)6,=-16/3=-5.3

出射角%]=180°—180°+arctan--90°=85.6

e,?=180°—180°-arctan—+90°=—85.6°

L13

求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：

系統(tǒng)特征的方程為

(s+14)(52+2.v+2)+k=0

根據(jù)勞斯判據(jù)可得

53130

?1628+k*

,452—Z*

5---------

16

s°28+k*

令&*=452,由輔助方程16s2+28+無*=0,解得s=±/5.48

根軌跡如T圖4-9所示。

作《=0.5的阻尼比線，得到與根軌跡的交點(diǎn)，即復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)約為

si=-0.98+j1.7,$2=—0.98—jl.7,

所以

r=|(13.12+jl.7)[(-0.98+兒7)2+2(-0.98+兒7)+2卜25

(2)0“=2時(shí)，從復(fù)平面的根軌跡上得到至原點(diǎn)距離為2的復(fù)數(shù)極點(diǎn)

uVi=-0.9+jl.8,$2=—0.9—jl.8

F=|(13.1+jl.8)|(-0.9+jl.8)2+2(-0.9+Jl.8)+2?30

(3)勿“=0.7時(shí)，系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為

si=-0.7+j3.5,$2=-0.7—j3.5

F=|(13.3+；3.5)|(-0.7+J3.5)2+2C-0.7+j3.5)+2)?157

Z*(s+2)(s+3)

7.0(5)=--------------

s(s+1)

式中，K=6K

1111

(1)由分離點(diǎn)方程--1-----=-------1------

dd+1d+2d+3

解得4=-0.634,4=—2.366

相應(yīng)的k*值為

\did.+11*

kdi=J~1-7=0.0718,Kdi=6k.=0.4308

|4+胴+3|%

同%+i|

=13.928,給"=83.568

|J2+2p2+3|

系統(tǒng)的根軌跡如T圖4-10所不。

(2)當(dāng)系統(tǒng)具有復(fù)數(shù)閉環(huán)極點(diǎn)時(shí)，處于欠阻尼狀態(tài)。由根軌跡知，K的取值范圍為

0.438(,K<83.568

(3)復(fù)平面上的根軌跡是圓，圓心B位于小于4之間，即立&.=-1.5處，圓

2

半徑為幺一4句.866。在根軌跡上作OA與圓切于A點(diǎn)(A點(diǎn)即為所求極點(diǎn)的位置)。

2

由相似三角形的關(guān)系，有

ABBC?AB2MOZZ：2

-----，---=0.5,0C=30—BC=1.5—0.5=1

BOABBO1.5

AC==A/0.8662-0.52=0.707

所以，系統(tǒng)在最小阻尼狀態(tài)時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)為51.2=-1±70.707

T圖4-10

第5章線性系統(tǒng)的頻域分析法

1.不同K值時(shí)曲線如T圖5-9所示,

K

G(j3)H(j3)

ja(l++ja)T2)

令虛部為零，得

閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),必須滿足

-K(TT)

A(。)=]+2

l+co^Tc+T^)+a)^T^

刀+72'

即

所以，當(dāng)K<(T1+T2)/(TZ)時(shí)，G(汝)H(〃y)曲線不包圍(T,j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

當(dāng)K=(TI+T2)/⑺㈤時(shí)，G(."y)”(/。)曲線正好通過(T,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定；當(dāng)

K>(Ti+K)/(Ti4)時(shí)，G(/o)H(.〃y)曲線包圍(T,j0)點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

將7=1,八=0.5和K=0.75代入A((y),得幅值裕度

0.75x1x0.5-，

h=------------=4

1+0.5

2.G(s),H(s)組成的內(nèi)回路的特征方程為

O(s)=1+G(s)H(s)=O

由勞斯判據(jù)，內(nèi)回路位于右半S平面的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)為零。系統(tǒng)開環(huán)零極點(diǎn)數(shù)與閉合

回路零極點(diǎn)數(shù)相等，故尸=0。根據(jù)開環(huán)幅相頻率特性曲線，N=-1,有

Z=P—2N=2

故兩個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于右半s平面，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

10(1+K.s)10(1+/KM)

3.G(s)H(s)

5(5-10)j①("。一10)

令I(lǐng)m[G(_/g)"(汝)]=0,Re[G(jco)H(jco)]=-1

\Kh以療+100)

解方程100K；-90Kh-10=0

得Kh=l,K/,=—0.1

故閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)Kh—1O

4.由T圖5-3知，在低頻段漸近線斜率為0,因?yàn)樽钚〗唤宇l率前的低頻段

L.(3)=-v201g3,故丫=0。漸近特性為分段線性函數(shù)，在各交接頻率處，漸近特性

頻率發(fā)生變化，因此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)具有如下形式：

K(—+1)

0.1

G(s)

(—+1)(—+1)(—+1)(—+1)

69)S、CDy①4

式中，乂劭,0>2，@3，@,待定.

由201gK=30,得

K=IO1-5=31.62

由T圖5-3知，

,403010jI

2()=----------------=-----------,他=().316raaIs

Igd?1-IgO.llg?y,+1

-5+0-5

-60=-----------------=------------,co.=82.54raJ/5

IglOO-Ig^2—lg04

40.5-20

(o3=34.81rad/s

lg@4-電口3

240

一。=/69,=3.481raJ/5

lgg-lg

于是，所求的傳遞函數(shù)為

31.62(二+1)

G(s)0.1

+1)(^^+1)(-----+1)(^^+1)

0.3163.48134.8182.54

5.由T圖5-5知，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為

①(s)=、,①1G)

(s)

式中,

G*G)

RG)

l+G-(s)haG)G(s)c(.：)

/⑸31

先考慮①I(s)的穩(wěn)定性：由⑴知，G3(s)在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為(P|-2N|),

G-($)="用)6")6式5)在右半S平面的極點(diǎn)數(shù)為(P+P2-2M)，由奈氏判據(jù)，0,(5)

/G)

穩(wěn)定條件為2N2=B+PL2M即2(NI+M)=PI+P2.

使整個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的另一個(gè)條件為」一在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為0,即要求M(s)

4⑶

在右半S平面無零點(diǎn)。

討論：判別多回路系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)，應(yīng)首先判別其局部反饋部分(即內(nèi)環(huán))的穩(wěn)定

性,然后根據(jù)內(nèi)環(huán)部分在右半S平面的極點(diǎn)數(shù)和整個(gè)控制系統(tǒng)其余開環(huán)部分在右半S平面

的極點(diǎn)數(shù)判別整個(gè)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。多環(huán)控制系統(tǒng)需多次利用奈氏判據(jù)才能最后判別

整個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定性。

6.本題可按常規(guī)解法將內(nèi)回路進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換。求得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，然后繪制

頻率特性曲線，再用奈氏判據(jù)判別其穩(wěn)定性。該法由于內(nèi)回路變換使得前向傳遞函數(shù)復(fù)

雜化，故繪制開環(huán)頻率特性較繁。

根據(jù)T圖5-6的結(jié)構(gòu)，將內(nèi)反饋通道與主反饋通道合并，組成如T圖5T0所示的單

環(huán)系統(tǒng)，圖中R'(s)=200R(s)?？傻孟到y(tǒng)的開環(huán)傳函數(shù)為

10(25+200)2000(0.015+1)

52(0.25+1)-52(0.25+1)

其奈奎斯特曲線如T圖5-11所示。

顯然，這里N=-l,P=0。閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，它在右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為

7.奈氏路徑如T圖5T2(a)所示。

G(j(?)H(jco)=咨，=A(⑼/(⑼

\-a)-

....、#0/(12)

式中，A(。)=-------,0(。)=arctan——-----

1-dW22/(1—爐)

當(dāng)<0=0時(shí)，A(?y)=2,。(啰)=0

當(dāng)<y—>1-時(shí)，A(a>)->oo,(/)(0))—>26.6°

當(dāng)口―「時(shí)，A(a))t00,03)T-153.4°

當(dāng)g—>oo時(shí)，A(M-0,。(⑼--90°

對(duì)應(yīng)于虛軸上(0,jl)點(diǎn)右邊的小半圓，軌跡由下式計(jì)算:

[.一、V/+注川+21-2/_：

limG(s)H(5)=lim---------^―：-----=lim--------eJ0

6-。s=26To(/+注/)2+1SfO28

=11m旦"+634。)

328

當(dāng)bf0,。從一90°變化到90°時(shí)，即得到一個(gè)半徑為無窮大，相角從26.6。減小

到753.4。的半圓。奈奎斯特曲線如T圖572(b)所示。

由T圖572(b)可見，奈式曲線不包圍(-1,jO)點(diǎn)，又開環(huán)系統(tǒng)在右半s平面的極點(diǎn)

數(shù)為零，所以該閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

8.G(jco)=------------------------------------------------

%(1+/0.1切(1+/0.2。)(1+加)

L(ey)=201gK—201g口一20lg^1+(0Aco)2

-20lgJ1+((Ui-201gJl+―

7T

0(6y)=0---arctan(O.l<w)-arctan?.26y)—arctano

K=I時(shí)系統(tǒng)的伯德圖如T圖5-13所示。

對(duì)于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)，T圖5-13中的幅值曲線應(yīng)提高，滿足刃，=?yg=\.Srad/So

如圖中虛線所示。延長斜率為-20dB/dec的虛線段與零分貝線相交，交點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的頻率

為3.2rad/s。所以，系統(tǒng)在閉環(huán)時(shí)處于臨界穩(wěn)定的速度誤差系數(shù)Kx3.2rad/sT。

在T圖5T3上量取10dB的幅值裕量，Kv=\s',/=28°

圖5-13

9.因?yàn)橄到y(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，故尸=0,要使系統(tǒng)穩(wěn)定，奈氏曲線不應(yīng)環(huán)繞(T,jO)

點(diǎn)，所以有

(1)迎<K<網(wǎng)，BP25<A：<10000

200.05

(2)迎〉K,即K<10

50

在以上K的取值范圍內(nèi)，系統(tǒng)穩(wěn)定。

當(dāng)10<K<25時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

10.用Gi(s)的零點(diǎn)消去G2(s)中較大的一個(gè)時(shí)間常數(shù)?，取7=(,系統(tǒng)的開環(huán)傳遞

KRL

函數(shù)為G1(s)G,(s)=-------J,可知，當(dāng)。=—=—時(shí)，相角裕量為45。。故應(yīng)取

5(7^5+1)T2T

0=1-=2,為使開環(huán)對(duì)數(shù)幅相頻率特性在此頻率處過零分貝線，只需選K1=5/K,即

心7

可。

11.幅相頻率特性曲線如T圖5T4所示。系統(tǒng)

無在右半s平面的開環(huán)極點(diǎn)，P=0。

由奈氏判據(jù)，系統(tǒng)若不穩(wěn)定，則幅相頻率特

性曲線會(huì)包圍(-1.j0)點(diǎn)，即(-1,j0)在A點(diǎn)右側(cè)，

曲線順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一周，N=T,Z=P-2N

=2

T圖5-14

第6章線性系統(tǒng)的校正方法

1.由題意選擇K=K.=10