復(fù)變函數(shù)緒論

緒論：課程設(shè)置的背景一、的引出二、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)三、復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展四、復(fù)變函數(shù)論的應(yīng)用五、課程教材、授課內(nèi)容及要求〇、引言2〇、引言1.《復(fù)變函數(shù)論》+《數(shù)學(xué)物理方程》統(tǒng)稱為《數(shù)學(xué)物理方法》，它既是數(shù)學(xué)課程，又是物理課程。2.作為數(shù)學(xué)課程，不應(yīng)該將數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性置之不顧，而作為物理課程，不必在數(shù)學(xué)理論上花費(fèi)太多功夫，而應(yīng)該以鮮明的思路引導(dǎo)讀者迅速掌握這些數(shù)學(xué)工具，并應(yīng)用于物理疑問。33.《數(shù)學(xué)物理方法》是搭接基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)物理學(xué)的橋梁，同時(shí)又是一種橫向的“粘合劑”，在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)和基礎(chǔ)物理學(xué)的基礎(chǔ)上，固化了“四大力學(xué)”（理論力學(xué)，材料力學(xué)，彈性力學(xué)和流體力學(xué)）的知識(shí)大廈。在“四大力學(xué)”的支撐下，才有了航空發(fā)動(dòng)機(jī)和火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的問世，才有了現(xiàn)代航空宇航科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，也才有了人類航空航天事業(yè)的的蓬勃發(fā)展。4一、的引出

十六世紀(jì)中葉，意大利人卡爾丹（Cardan，1545），在解三次方程時(shí)，首先產(chǎn)生了負(fù)數(shù)開平方的思想，他把40看做是兩個(gè)數(shù)的乘積即然而以上只不過是一種純形式上的表示而已，當(dāng)時(shí)誰也說不上這樣表示究竟有什么好處。5考察三次方程有幾個(gè)根？顯而易見：是上述方程的一個(gè)根是x=1。是否還有根？設(shè)存在另外兩個(gè)根：6對(duì)比原方程可知①②7為了使負(fù)數(shù)開平方有意義，也就是要使上述這類方程有解，需要再一次擴(kuò)大數(shù)系自然數(shù)整數(shù)正整數(shù)零負(fù)整數(shù)有理數(shù)整數(shù)分?jǐn)?shù)實(shí)數(shù)有理數(shù)無理數(shù)復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)虛數(shù)由此引進(jìn)虛數(shù)的概念，使實(shí)數(shù)域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)域。8

關(guān)于復(fù)數(shù)理論最系統(tǒng)的敘述，是由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）作出的。他在1777年系統(tǒng)的建立了復(fù)數(shù)理論。發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之間的關(guān)系，創(chuàng)立了復(fù)變函數(shù)論的一些基本定理，并開始把它們用到水力學(xué)和地理制圖學(xué)上。用符號(hào)“i”作為虛數(shù)的單位，也是他首創(chuàng)的。此后，復(fù)數(shù)才被人們廣泛承認(rèn)和使用。9二、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

我們將形如的數(shù)稱為“復(fù)數(shù)”，其中“i”稱為“虛數(shù)單位”，并規(guī)定x和y是任意實(shí)數(shù)，依次稱為復(fù)數(shù)z的實(shí)部（Real）和虛部（Imaginary），分別表示為10例如，對(duì)復(fù)數(shù)有即可看作是實(shí)數(shù)0，也可看作是純虛數(shù)0i11對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù):如果則稱兩個(gè)復(fù)數(shù)的相等？12

一個(gè)復(fù)數(shù)x+iy可以唯一的對(duì)應(yīng)一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y），而有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，所以，復(fù)數(shù)z全體與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的全體形成一一對(duì)應(yīng)。

現(xiàn)在我們直接把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)寫成x+iy，那么，橫軸上的點(diǎn)就表示實(shí)數(shù)，縱軸上的點(diǎn)就表示純虛數(shù)，整個(gè)坐標(biāo)平面稱為復(fù)平面。013

今后，我們將復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)不加區(qū)分，這種點(diǎn)-數(shù)等同將給我們帶來許多方便。在點(diǎn)-數(shù)等同的觀點(diǎn)下，一個(gè)復(fù)數(shù)集合就是一個(gè)平面點(diǎn)集，因此，很自然地，某些特殊的平面點(diǎn)集就可以用復(fù)數(shù)所滿足的某種關(guān)系式來表示，例如14

最初，由于對(duì)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念及性質(zhì)了解的不清楚，用它們進(jìn)行計(jì)算又得到一些矛盾，因而，長(zhǎng)期以來，人們把復(fù)數(shù)看做不能接受的函數(shù)，直到17世紀(jì)和18世紀(jì)，隨著微積分的發(fā)明與發(fā)展，情況才逐漸有了改變。另外的原因，是由于這個(gè)時(shí)期復(fù)數(shù)有了集合解釋，并把它與平面向量對(duì)應(yīng)起來解決實(shí)際問題的緣故。015

復(fù)數(shù)與平面上的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，這是將復(fù)數(shù)實(shí)部和虛部分別看作直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。除此以外，復(fù)數(shù)還可以同平面向量一一對(duì)應(yīng)，只要將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別看作向量的水平分量和垂直分量就行了。所以我們也可以把復(fù)數(shù)與平面向量等同起來，不過要注意，向量具有“平移不變性”，即其起點(diǎn)可在任意一點(diǎn)。如果把向量的起點(diǎn)放在（復(fù)平面的）坐標(biāo)原點(diǎn)，則此向量及向量的終點(diǎn)在上述兩種對(duì)應(yīng)下恰好對(duì)應(yīng)同一個(gè)復(fù)數(shù)。16

設(shè)G是復(fù)平面上一點(diǎn)集，如果對(duì)于G中任意一點(diǎn)z，有確定的（一個(gè)或多個(gè)）復(fù)數(shù)w同它對(duì)應(yīng)，則說在G定義了一個(gè)“復(fù)變函數(shù)”，記做

復(fù)變函數(shù)的定義域與值域等名稱都可以從高等數(shù)學(xué)中移植過來。1718以上是復(fù)變函數(shù)要比實(shí)變函數(shù)復(fù)雜的根本所在。19例1：將定義在全平面上的復(fù)變函數(shù)化為一對(duì)二元實(shí)變函數(shù)。解：20例2：將定義在全平面除去坐標(biāo)原點(diǎn)的區(qū)域上的一對(duì)二元實(shí)變函數(shù)化為一個(gè)復(fù)變函數(shù)。解：21

一個(gè)復(fù)變函數(shù)也可看作一個(gè)映射（變換），設(shè)f(z)的定義域?yàn)镚，f(z)的值域?yàn)镈，則f(z)將點(diǎn)集G的點(diǎn)映射為點(diǎn)集D的點(diǎn)。

設(shè)f(z)將G中的點(diǎn)z映射為D中的點(diǎn)w，集合G映射為集合D，則稱點(diǎn)w為點(diǎn)z的像，點(diǎn)z為點(diǎn)w的原像，同樣稱D為G的像，G為D的原像。22因x、y、u和v

均為變數(shù)，為避免采用四維空間的困難，我們用兩個(gè)平面，一個(gè)是z平面，將G的點(diǎn)描在z平面上，另一個(gè)是w平面，將D的點(diǎn)描在w平面上，如圖yxzGuvDw23三、復(fù)變函數(shù)論的發(fā)展

復(fù)變函數(shù)理論創(chuàng)立于19世紀(jì)，是19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展史上的最獨(dú)特的創(chuàng)造，到了20世紀(jì)還在不斷發(fā)展，是兩個(gè)世紀(jì)中一門優(yōu)美的學(xué)科。這個(gè)學(xué)科時(shí)常稱為函數(shù)論，被譽(yù)為19世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受。我們?cè)谙硎軘?shù)學(xué)的美妙成果時(shí)，可能會(huì)忽略了創(chuàng)造這些成果的數(shù)學(xué)家們每邁出一步所付出的艱辛。我們想簡(jiǎn)要回憶一下復(fù)變函數(shù)的發(fā)展歷史，因?yàn)楫?dāng)我們了解一些這樣的內(nèi)容后，也許會(huì)更深一步地感受到它的魅力，增強(qiáng)對(duì)它的學(xué)習(xí)興趣和研究勇氣。24

從所做出的貢獻(xiàn)來看，復(fù)變函數(shù)理論的奠基人是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）、德國(guó)數(shù)學(xué)家威爾斯特拉斯（Weierstrass）和黎曼（Riemann）。

Cauchy是把復(fù)函數(shù)當(dāng)做基本實(shí)體來研究的第一人，他自1821年起，花了約25年，以導(dǎo)數(shù)和積分為出發(fā)點(diǎn)，發(fā)展了復(fù)變函數(shù)理論。在復(fù)函數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的情形下建立了Cauchy定理，引入了留數(shù)，建立了留數(shù)定理，并用留數(shù)來計(jì)算實(shí)積分，等等。到了1843年，AlphonseLaurent繼續(xù)Cauchy的工作，建立Laurent級(jí)數(shù)展開，這是Taylor級(jí)數(shù)展開得一個(gè)推廣。25

也許起初Cauchy研究復(fù)函數(shù)時(shí)是考慮實(shí)積分的計(jì)算，但到后期他改變了這個(gè)觀點(diǎn)，不再關(guān)心這種計(jì)算，而是轉(zhuǎn)到復(fù)變函數(shù)理論本身的研究上。Cauchy不等式：26從柯西不等式可以推出另一個(gè)重要的定理：劉維爾（Liouville）定理：設(shè)函數(shù)f(z)在全平面上解析且有界，則f(z)為一常數(shù)證明：27

Liouville定理的一個(gè)重要應(yīng)用就是用來證明“代數(shù)基本定理”。這個(gè)重要定理的第一個(gè)實(shí)質(zhì)性正確的證明是由高斯（Gauss）于1799年在哥廷根大學(xué)完成的著名博士論文中給出的。隨后，人們不斷鉆研希望能給出簡(jiǎn)捷的證明，但這項(xiàng)工作以“代數(shù)基本定理”作為L(zhǎng)iouville定理的一個(gè)簡(jiǎn)單推論而畫上了圓滿的句號(hào)。28柯西（Cauchy）

1789年—1857年，法國(guó)數(shù)學(xué)家，力學(xué)家。他可稱得上是第一個(gè)系統(tǒng)研究單復(fù)變函數(shù)論的人，他的工作奠定了此門學(xué)科的基礎(chǔ)，并使其更深入的發(fā)展。積分是他研究的出發(fā)點(diǎn)。他于1814年發(fā)表了第一篇涉及到通過分別計(jì)算復(fù)變函數(shù)的實(shí)部和虛部沿一個(gè)矩形邊界的積分的文章，從而建立起矩形區(qū)域上的Cauchy定理，此后他一直不懈的研究復(fù)變函數(shù)論，直到生命終止，建立了積分明確定義。計(jì)算留數(shù)以及它們?cè)谄渌鼘W(xué)科中的應(yīng)用。Cauchy的著作非常豐富，他的全集從1882年開始出版，知道1974年才出齊，共計(jì)28卷。29劉維爾（Liouville）

1809年—1897年，法國(guó)數(shù)學(xué)家。他于1836年創(chuàng)辦了《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》，這個(gè)延續(xù)百余年的專業(yè)學(xué)術(shù)雜志通常稱為《Liouville學(xué)報(bào)》。他在Liouville定理的優(yōu)先權(quán)問題上與Cauchy有爭(zhēng)議，但現(xiàn)在普遍接受的是以Liouville來命名這個(gè)定理。30高斯（Gauss）

1777年—1855年，德國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家。他出生于德國(guó)布倫瑞克的一個(gè)貧苦農(nóng)民家庭，幼時(shí)家境貧苦，聰敏異常，受一貴族資助才進(jìn)入學(xué)校受教育。1795年~1798年在哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)，1799年獲得博士學(xué)位，1807年開始任哥廷根大學(xué)數(shù)學(xué)教授和天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，1833年和物理學(xué)家韋伯共同建立地磁觀測(cè)臺(tái)，組織磁學(xué)學(xué)會(huì)以及聯(lián)系全世界的地磁臺(tái)站網(wǎng)。1855年2月23日在哥廷根逝世。31洛朗（Laurent）

1813年—1845年，法國(guó)人，Laurent級(jí)數(shù)是繼續(xù)Cauchy的工作而于1843年建立起來的，是我們研究孤立奇點(diǎn)的重要工具。這項(xiàng)結(jié)果Weierstrass在1841年就已經(jīng)知道了，但未公開發(fā)表。與Cauchy采用的研究方法不同，Weierstrass開辟了一條新的探索途徑，在冪級(jí)數(shù)的幾乎上建立起解析函數(shù)理論以及解析開拓的方法等。32威爾斯特拉斯（Weierstrass）

1815年—1897年，德國(guó)數(shù)學(xué)家，曾是一位中學(xué)教師，他不像Riemann那樣有直覺的閃光，而是憑著他的有條理的勤奮，使得他在數(shù)學(xué)研究中取得輝煌的成就。是他對(duì)極限引入了ε-δ語言，一致收斂的概念；是他于1872年舉出了處處不可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù)的例子，而Cauchy認(rèn)為連續(xù)函數(shù)都是可導(dǎo)的。Weierstrass的例子在微積分的研究中是“病態(tài)”的，但他是當(dāng)今興起的分形幾何的研究對(duì)象之一。他研究復(fù)變函數(shù)的出發(fā)點(diǎn)是冪級(jí)數(shù)，并以冪級(jí)數(shù)為基本元進(jìn)行解析開拓，這不同于Cauchy從導(dǎo)數(shù)和積分出發(fā)的研究途徑。33黎曼（Riemann）

1826年—1866年，德國(guó)數(shù)學(xué)家。他畢業(yè)于哥廷根大學(xué)，是Gauss晚年的學(xué)生，Riemann的映射定理就是在Gauss的指導(dǎo)下于1851年完成的博士論文中的最后一個(gè)結(jié)論。Riemann具有極高的數(shù)學(xué)天賦和最具獨(dú)創(chuàng)的精神。他的研究涉及面之廣超過任何前人，而且在所涉足的每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都留下了深深的足跡，如在復(fù)函數(shù)論，黎曼幾何，解析數(shù)論，組合拓?fù)洌鷶?shù)幾何及數(shù)學(xué)物理等方面都做出了奠基性和創(chuàng)造性的工作。在生活上，Riemann的一生是艱辛的，他博士畢業(yè)三年之后才成為哥廷根大學(xué)的一位私教員。1859年，Riemann接替Dirichlet成為哥廷根大學(xué)的教授。34四、復(fù)變函數(shù)論的應(yīng)用幾種簡(jiǎn)單的流型變換1.直勻流流過圓的繞流變換或流過平行于來流的平板流動(dòng)。2.繞無迎角的對(duì)稱儒科夫斯基翼型的流動(dòng)。3.一般的儒科夫斯基翼型。4.……35

復(fù)變函數(shù)有著較長(zhǎng)的發(fā)展歷史，已經(jīng)形成非常系統(tǒng)的理論，并且深刻的滲入到代數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、微分方程、概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)等數(shù)學(xué)分支；同時(shí)，它在熱力學(xué)、流體力學(xué)、理論物理、彈性理論、電學(xué)、天體力學(xué)有廣泛的應(yīng)用?！狦auss36五、課程教材、授課內(nèi)容及要求教材：《工程數(shù)學(xué)：復(fù)變函數(shù)》（第四版），西安交通大學(xué)高等數(shù)學(xué)教研室（編），高等教育出版社，1996年5月第4版教學(xué)參考書：《工程數(shù)學(xué)：復(fù)變函數(shù)（第四版）學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解》，王錦森編，高等教育出版社，2003年12月第1版37課程講授內(nèi)容及學(xué)時(shí)分配：第0章課程設(shè)置的背景（緒論）1學(xué)時(shí)第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)5學(xué)時(shí)第2章解析函數(shù)