四年級(jí)奧數(shù)-教師版-第五講倒推法的應(yīng)用題

第五講倒推法的應(yīng)用知識(shí)導(dǎo)航在分析應(yīng)用題的過程中，倒推法是一種常用的思考方法.這種方法是從所表達(dá)應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問題.用倒推法解題時(shí)要注意：①從結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理.②在向前推理的過程中，每一步運(yùn)算都是原來運(yùn)算的逆運(yùn)算.③列式時(shí)注意運(yùn)算順序，正確使用括號(hào).例1：一次數(shù)學(xué)考試后，李軍問于昆數(shù)學(xué)考試得多少分.于昆說：“用我得的分?jǐn)?shù)減去8加上10，再除以7，最后乘以4，得56.〞小朋友，你知道于昆得多少分嗎？解析:這道題如果順推思考，比擬麻煩，很難理出頭緒來.如果用倒推法進(jìn)行分析，就像剝卷心菜一樣層層深入，直到解決問題.如果把于昆的表達(dá)過程編成一道文字題：一個(gè)數(shù)減去8，加上10，再除以7，乘以4，結(jié)果是56.求這個(gè)數(shù)是多少？把一個(gè)數(shù)用□來表示，根據(jù)題目條件可得到這樣的等式：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56.如何求出□中的數(shù)呢？我們可以從結(jié)果56出發(fā)倒推回去.因?yàn)?6是乘以4后得到的，而乘以4之前是56÷4＝14.14是除以7后得到的，除以7之前是14×7＝98.98是加10后得到的，加10以前是98-10＝88.88是減8以后得到的，減8以前是88＋8＝96.這樣倒推使問題得解.解：｛［〔□－8〕＋10］÷7｝×4＝56［〔□－8〕＋10]÷7＝56÷4=14〔□－8〕＋10=14×7=98□－8=98-10=88□=88+8=96答：于昆這次數(shù)學(xué)考試成績(jī)是96分.【穩(wěn)固】某數(shù)加上6,乘以6,減去6,除以6,其結(jié)果等于6,那么這個(gè)數(shù)是_____.解析：{［〔□+6〕×6］-6}=6解：運(yùn)用倒推法知這個(gè)數(shù)為〔6×6+6〕÷6-6=1【解題技巧】解答此類問題的方法規(guī)律是：原題加，逆推為減；原題減，逆推為加；原題乘，逆推為除；原題除，逆推為乘。例2：小玲問一老爺爺今年多大年齡,老爺爺說：“把我的年齡加上17后用4除,再減去15后用10乘,恰好是100歲〞那么,這位老爺爺今年_____歲.解析：｛［〔□+17〕÷4］-15｝×10＝100采用逆推法,易知老爺爺?shù)哪挲g為(100÷10+15)×4-17=83(歲)【穩(wěn)固】某數(shù)除以4，乘以5，再除以6，結(jié)果是615，求某數(shù).解析：{［〔□÷4〕×5］÷6}=615解：運(yùn)用倒推法知這個(gè)數(shù)為615×6÷5×4=2952例3：馬小虎做一道整數(shù)減法題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的1看成7，把減數(shù)十位上的7看成1，結(jié)果得出差是111.問正確答案應(yīng)是幾？解析：馬小虎錯(cuò)把減數(shù)個(gè)位上1看成7，使差減少7-1＝6，而把十位上的7看成1，使差增加70-10＝60.因此這道題歸結(jié)為某數(shù)減6，加60得111，求某數(shù)是幾的問題.解：111-〔70-10〕＋〔7-1〕＝57答：正確的答案是57.【穩(wěn)固】在計(jì)算一道減法題時(shí)，小馬虎把被減數(shù)個(gè)位上的3看做8，把減數(shù)十位上的6看做9，結(jié)果得出的差是60.正確的結(jié)果是多少？解析：被減數(shù)個(gè)位上的3看做8，差就多加了5；減數(shù)十位上的6看做9，差就多減去30.要求出正確的差，就應(yīng)該用60加上30，減去5.解：。例4：樹林中的三棵樹上共落著48只鳥.如果從第一棵樹上飛走8只落到第二棵樹上；從第二棵樹上飛走6只落到第三棵樹上，這時(shí)三棵樹上鳥的只數(shù)相等.問：原來每棵樹上各落多少只鳥？解析：倒推時(shí)以“三棵樹上鳥的只數(shù)相等〞入手分析，可得出現(xiàn)在每棵樹上鳥的只數(shù)48÷3＝16〔只〕.第三棵樹上現(xiàn)有的鳥16只是從第二棵樹上飛來的6只后得到的，所以第三棵樹上原落鳥16-6＝10〔只〕.同理，第二棵樹上原有鳥16＋6-8＝14〔只〕.第一棵樹上原落鳥16＋8＝24〔只〕，使問題得解.解：①現(xiàn)在三棵樹上各有鳥多少只？48÷3＝16〔只〕②第一棵樹上原有鳥只數(shù).16＋8＝24〔只〕③第二棵樹上原有鳥只數(shù).16＋6-8＝14〔只〕④第三棵樹上原有鳥只數(shù).16-6＝10〔只〕答：第一、二、三棵樹上原來各落鳥24只、14只和10只.【穩(wěn)固】ABC三個(gè)小朋友共有玩具48個(gè)。A給B8個(gè)玩具，而B又將6個(gè)玩具給C，這時(shí)三人的玩具數(shù)相等。三人原來的玩具各有多少個(gè)？解析：從三人的玩具數(shù)相等入手分析，可得到每人的玩具數(shù)例5：籃子里有一些梨.小剛?cè)∽呖倲?shù)的一半多一個(gè).小明取走余下的一半多1個(gè).小軍取走了小明取走后剩下一半多一個(gè).這時(shí)籃子里還剩梨1個(gè).問：籃子里原有梨多少個(gè)？解析：依題意，畫圖進(jìn)行分析.解：列綜合算式：｛［〔1＋1〕×2＋1］×2＋1｝×2＝22〔個(gè)〕答：籃子里原有梨22個(gè).【穩(wěn)固】一桶油倒去一半后，再倒去剩下的一半，這時(shí)連桶還有16千克。桶重5.5千克，那么原來這桶油連桶共重多少？解析：倒去兩次后連桶有16千克，這16千克不僅有剩下的油的質(zhì)量還有桶的質(zhì)量，桶重5.5千克，易知剩下的油重16-5.5=10.5千克，利用倒推法得油重10.5×2×2=42千克。故這桶油連桶重42+5.5=47.5千克。解：〔16-5.5〕×2×2+5.5=47.5〔千克〕例6：“六一〞兒童節(jié),小明和小培從媽媽那兒分得一些糖，媽媽把糖分成相同的兩份給他們，多的一個(gè)給自己留下了.小明在路上遇著自己的兩個(gè)朋友,他把自己的糖分成三份,每人一份,多的兩顆分別送給了兩個(gè)朋友.過了一會(huì)兒,又遇上兩個(gè)小朋友,他同樣分給他們糖,多的兩顆分給了他們,后來,他又遇上了兩個(gè)朋友,分完糖之后,小明發(fā)現(xiàn)自己只剩下一顆糖了,請(qǐng)問媽媽原來有多少糖?解析：最后一次分糖前小明有糖3+2=5顆；倒數(shù)第二次分糖前小明有糖5×3+2=17顆；倒數(shù)第三次分糖前小明有糖17×3+2=53顆；媽媽原來有糖53×2+1=107顆.【穩(wěn)固】A、B、C三個(gè)小朋友共有玩具48個(gè)。A給B8個(gè)玩具，而B又將6個(gè)玩具給C，這時(shí)三人的玩具數(shù)相等。三人原來的玩具各有多少個(gè)？解析：從三人的玩具數(shù)相等入手分析，可得到每人的玩具數(shù)為〔個(gè)〕。然后再看每人的玩具數(shù)是怎樣得到的，最后用倒推法就使問題解決了。解：C：〔個(gè)〕B：〔個(gè)〕A：〔個(gè)〕例7：甲乙兩個(gè)油桶各裝了15千克油.售貨員賣了14千克.后來，售貨員從剩下較多油的甲桶倒一局部給乙桶使乙桶油增加一倍；然后從乙桶倒一局部給甲桶，使甲桶油也增加一倍，這時(shí)甲桶油恰好是乙桶油的3倍.問：售貨員從兩個(gè)桶里各賣了多少千克油？解析：解題關(guān)鍵是求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油多少千克.“甲、乙兩個(gè)油桶各裝油15千克.售貨員賣了14千克〞.可以求出甲、乙兩個(gè)油桶共剩油15×2－14＝16〔千克〕.又“甲、乙兩個(gè)油桶所剩油〞及“這時(shí)甲桶油恰是乙桶油的3倍〞.就可以求出甲、乙兩個(gè)油桶最后有油多少千克.求出甲、乙兩個(gè)油桶最后各有油的千克數(shù)后，再用倒推法并畫圖求甲桶往乙桶倒油前甲、乙兩桶各有油多少千克，從而求出從兩個(gè)油桶各賣出多少千克.解：①甲乙兩桶油共剩多少千克？15×2-14＝16〔千克〕②乙桶油剩多少千克？16÷〔3＋1〕＝4〔千克〕③甲桶油剩多少千克？4×3＝12〔千克〕用倒推法畫圖如下：④從甲桶賣出油多少千克？15-11＝4〔千克〕⑤從乙桶賣出油多少千克？15—5＝10〔千克〕答：從甲桶賣出油4千克，從乙桶賣出油10千克.【穩(wěn)固】甲乙丙三人共有圖書120本，乙向甲借3本書后，又送給丙5本，結(jié)果三個(gè)人的數(shù)量相等。甲乙丙原來各有多少本書？解析：從三人數(shù)量相等入手：〔本〕；再根據(jù)往回逆推，得解。解：〔本〕甲：〔本〕乙：〔本〕丙：〔本〕課后練習(xí)一個(gè)數(shù)除以18,乘4，加上6039，等于6139，這個(gè)數(shù)是多少？解析：由于原來的計(jì)算為“〞，根據(jù)運(yùn)算順序，用倒推法思考：這個(gè)數(shù)不加上6039時(shí)是多少，這個(gè)數(shù)不乘4時(shí)時(shí)多少，這個(gè)數(shù)不除以18時(shí)是多少，從6139入手，依次倒推，就可以求出這個(gè)數(shù)是多少。解：小明在做加法題時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的6寫成9，十位上的6寫成0，結(jié)果得到錯(cuò)誤的得數(shù)584,正確得數(shù)應(yīng)該是多少？解析：個(gè)位上的6看做9，和就多了3；十位上的6看做0，和就少加了60.要求出正確的和，就應(yīng)該用60加上3.解：幾個(gè)數(shù)相加時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的0寫成9，把十位上的9寫成6；另一個(gè)加數(shù)百位上少寫3，這時(shí)得到的和是1395.那么原來幾個(gè)數(shù)的和是多少？解析：應(yīng)為是相加的，所以多加的要減去，少加的要加上。并且要知道，在各位少幾就是幾個(gè)；在十位少幾，就是少幾十；在百位少幾，就是少幾百。解：4、從第一堆糖中拿一半放入第二堆，拿35粒放入第三堆，再拿出剩下中的一半放入第四堆，最后又吃掉第一堆中的2粒，這時(shí)第一堆中還有48粒，第一堆原有糖多少粒？解析：從吃了第一堆中的2粒，還有48粒入手，倒推出第一堆原有的糖的粒數(shù)。解：最后一堆沒吃2粒前沒放第四堆前沒放第三堆前沒放第二堆前48算式：〔?！橙鹛O果共有90千克，如果從甲筐取出15千克放入乙筐，從乙筐取出20千克放入丙筐，從丙筐取出17千克放入甲筐，這時(shí)三筐蘋果就同樣重了。甲乙丙原來各有蘋果多少千克？解析：如圖；先考慮已經(jīng)平分，那么可知每筐有:甲乙丙-15+15+20+17-20-17解：〔個(gè)〕甲：〔個(gè)〕乙：〔個(gè)〕丙：〔個(gè)〕6、三年級(jí)三個(gè)班共有學(xué)生156人，假設(shè)從三〔1〕班調(diào)5人到三〔2〕班，從三〔2〕班調(diào)8人到三〔3〕班，再從三〔3〕班調(diào)4人到三〔1〕班，這時(shí)每個(gè)班的人數(shù)正好相同。三個(gè)班原來各有學(xué)生多少人？三〔1〕班三〔2〕班三〔3〕班-5+5+8+4-8-4解析：如圖；解：156÷3=52〔人〕三〔1〕班：52-4+5=53〔人〕三〔2〕班：52+8-5=55〔人〕三〔3〕班：52+4-8=48〔人〕7、有磚26塊，兄弟二人爭(zhēng)著去挑。弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕來了。哥哥看弟弟挑得太多，就搶過一半；弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半；哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊。這時(shí)，哥哥挑14塊，弟弟挑12塊。最初弟弟準(zhǔn)備挑多少塊？解：14-5=9〔塊〕9×2=18〔塊〕26-18=8〔塊〕8×2=16〔塊〕8、三人共有糖72粒，假設(shè)甲給乙，丙各一些，使他們?cè)黾?倍。接著乙又給甲，丙各一些，使他們翻倍。最后丙也給甲，乙各一些，使他們翻倍。這時(shí)三人糖數(shù)相等，三人原來各有幾粒糖？解：72÷3=24〔?！臣滓冶詈蟮奶枪麛?shù)242424丙不給甲，乙121248乙不給甲，丙64224甲不給乙，丙392112一捆電線，第一次用去全長(zhǎng)的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩下7米，這捆電線原來總長(zhǎng)多少米？解析：關(guān)鍵是找好這三次之間的關(guān)系，用倒推的方法依次可以返回每次用之前的長(zhǎng)