（5年高考真題備考題庫）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 第1節(jié) 不等關(guān)系與不等式 文 湘教版

2009~2013年高考真題備選題庫第六章不等式、推理與證明第一節(jié)不等關(guān)系與不等式考點不等關(guān)系與不等式1．（2013浙江，5分）若α∈R，則“α＝0”是“sinα<cosα”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：本題主要考查充要條件的判斷、三角函數(shù)值等基礎(chǔ)知識，意在考查考生的推理論證能力．當α＝0時，sinα＝0，cosα＝1，∴sinα<cosα；而當sinα<cosα?xí)r，α＝0或α＝eq\f(π,6)，….答案：A2．（2013天津，5分）設(shè)a，b∈R則“(a－b)·a2<0”是“a<b”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：本題主要考查充分條件、必要條件的判斷，意在考查考生的邏輯推理能力．若(a－b)·a2<0，則a≠0，且a<b，所以充分性成立；若a<b，則a－b<0，當a＝0時，(a－b)·a2＝0，所以必要性不成立．故“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分而不必要條件．答案：A3．（2012陜西，5分）小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時速為v，則()A．a(chǎn)<v<eq\r(ab) B．v＝eq\r(ab)C.eq\r(ab)<v<eq\f(a＋b,2) D．v＝eq\f(a＋b,2)解析：設(shè)甲、乙兩地的距離為S，則從甲地到乙地所需時間為eq\f(S,a)，從乙地到甲地所需時間為eq\f(S,b)，又因為a<b，所以全程的平均速度為v＝eq\f(2S,\f(S,a)＋\f(S,b))＝eq\f(2ab,a＋b)<eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，eq\f(2ab,a＋b)>eq\f(2ab,2b)＝a，即a<v<eq\r(ab).答案：A4．（2011浙江，5分）若a，b為實數(shù)，則“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：對于0＜ab＜1，如果a＞0，則b＞0，a＜eq\f(1,b)成立，如果a＜0，則b＜0，b＞eq\f(1,a)成立，因此“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的充分條件；反之，若a＝－1，b＝2，結(jié)論“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”成立，但條件0＜ab＜1不成立，因此“0＜ab＜1”不是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的必要條件；即“0＜ab＜1”是“a＜eq\f(1,b)或b＞eq\f(1,a)”的充分而不必要條件．答案：A5．（2010廣東，5分）“x＞0”是“eq\r(3,x2)＞0”成立的()A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．非充分非必要條件 D．充要條件解析：當x＞0時，eq\r(3,x2)＞0成立；但當eq\r(3,x2)＞0時，得x2＞0，則x＞0或x＜0，此時不能得到x＞0.答案：A6．（2010浙江，5分）設(shè)0<x<eq\f(π,2)，則“xsin2x<1”是“xsinx<1”的()A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：當0<x<eq\f(π,2)時，0<sinx<1，故xsinx<1?xsinxsinx<sinx<1?xsin2x<1，但xsin2x<1?xsinx<eq\f(1,sinx)，而eq\f(1,sinx)>1，故不能保證xsinx<1.答案：B7．（2010陜西，5分）“a＞0”是“|a|＞0”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：因為|a|＞0?a＞0或a＜0，所以a＞0?|a|＞0，但|a|＞0?/a＞0，所以a＞0是|a|＞0的充分不必要條件．答案：A8．（2010山東，5分）已知x，y∈R＋，且滿足eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)＝1，則xy的最大值為________．解析：因為1＝eq\f(x,3)＋eq\f(y,4)≥2eq\r(\f(x,3)·\f(y,4))＝2eq\r(\f(xy,12))＝eq\r(\f(xy,3))，所以xy≤3，當且僅當eq\f(x,3)＝eq\f(y,4)，即x＝eq\f(3,2)，y＝2時取等號，故xy的最大值為3.答案：39．（2010江蘇，5分）設(shè)x，y為實數(shù)，滿足3≤xy2≤8,4≤eq\f(x2,y)≤9，則eq\f(x3,y4)的最大值是________．解析：由題設(shè)知，實數(shù)x，y均為正實數(shù)，則條件可化為lg3≤lgx＋2lgy≤lg8，lg4≤2lgx－lgy≤lg9，令lgx＝a，lgy＝b，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lg3≤a＋2b≤3lg2,2lg2≤2a－b≤2lg3))，又設(shè)t＝eq\f(x3,y4)，則lgt＝3lgx－4lgy＝3a－4b，令3a－4b＝m(a＋2b)＋n(2a－b)，解得m＝－1，n＝2，即lgt＝－(a＋2b)＋2(2a－b)≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴eq\f(x3,y4)的最大值是27.另解：將4≤eq\f(x2,y)≤9兩邊分別平方得，16≤eq\f(x4,y2)≤81，①又由3≤xy2≤8可得，eq\f(1,8)≤eq\f(1,xy2)≤eq\f(1,3)，②由①×②得，2≤eq\f(x3,y4)≤27，即eq\f(x3,y4)的最大值是27.答案：2710．（2010安徽，12分）若a＞0，b＞0，a＋b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是________(寫出所有正確命題的編號)．①ab≤1；②eq\r(a)＋eq\r(b)≤eq\r(2)；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)≥2.解析：兩個正數(shù)，和為定值，積有最大值，即ab≤eq\f(a＋b2,4)＝1，當且僅當a＝b時取等號，故①正確；(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)＝2＋2eq\r(ab)≤4，當且僅當a＝b時取等號，得eq\r(a)＋eq\r(b)≤2，故②錯誤；由于eq\f(a2＋b2,2)≥eq\f(a＋b2,4)＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正確；a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，∵ab≤1，∴－ab≥－1，又a2＋b2≥2，∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④錯誤；eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝(eq\f(1,a)＋eq\f(1,b))eq\f(a＋b,2)＝1＋eq\f(a,2b)＋eq\f(b,2a)≥1＋1＝2，當且僅當a＝b時取等號，故⑤正確．答案：①③⑤11．(2011安徽，12分)(1)設(shè)x≥1，y≥1，證明x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy；(2)設(shè)1<a≤b≤c，證明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.解：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy??xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.將上式中的右式減左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，從而所要證明的不等式成立．(2)設(shè)logab