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文檔簡介
福建省部分重點高中2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試模擬試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀為()A. B.C. D.2.兩位同學(xué)課余玩一種類似于古代印度的“梵塔游戲”:有3個柱子甲、乙、丙,甲柱上有個盤子,最上面的兩個盤子大小相同,從第二個盤子往下大小不等,大的在下,小的在上(如圖).把這個盤子從甲柱全部移到乙柱游戲結(jié)束,在移動的過程中每次只能移動一個盤子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3個柱子上的盤子始終保持小的盤子不能放在大的盤子之下.設(shè)游戲結(jié)束需要移動的最少次數(shù)為,則當(dāng)時,和滿足A. B.C. D.3.雙曲線的左、右焦點分別為、,過點且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點,若,則雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.4.已知等差數(shù)列,且,則()A.3 B.5C.7 D.95.已知為偶函數(shù),且當(dāng)時,,其中為的導(dǎo)數(shù),則不等式的解集為()A. B.C. D.6.如圖,函數(shù)的圖象在P點處的切線方程是,若點的橫坐標(biāo)是5,則()A. B.1C.2 D.07.已知圓與圓沒有公共點,則實數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.8.已知直線、的方向向量分別為、,若,則等于()A.1 B.2C.0 D.39.命題;命題.則A.“或”為假 B.“且”為真C.真假 D.假真10.有一組樣本數(shù)據(jù)、、、,由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)、、、,其中,為非零常數(shù),則()A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同 B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同 D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本眾數(shù)相同11.正方體的棱長為2,E,F(xiàn),G分別為,AB,的中點,則直線ED與FG所成角的余弦值為()A. B.C. D.12.以下說法:①將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后,方差不變;②設(shè)有一個回歸方程,變量增加1個單位時,平均增加5個單位③線性回歸方程必過④設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的相關(guān)系數(shù)為,那么越接近于0,之間的線性相關(guān)程度越高;⑤在一個列聯(lián)表中,由計算得的值,那么的值越大,判斷兩個變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大。其中錯誤的個數(shù)是()A.0 B.1C.2 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.過點作圓的切線,則切線的方程為________14.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,,,則的解集為___________.15.已知拋物線的焦點為F,若拋物線上一點P到x軸的距離為2,則|PF|的值為___________.16.,成立為真命題,則實數(shù)的取值范圍______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等比數(shù)列的前項和為,且,.(1)求的通項公式;(2)求.18.(12分)已知的展開式中只有第五項的二項式系數(shù)最大.(1)求該展開式中有理項的項數(shù);(2)求該展開式中系數(shù)最大的項.19.(12分)如圖所示等腰梯形ABCD中,,,,點E為CD的中點,沿AE將折起,使得點D到達(dá)F位置.(1)當(dāng)時,求證:平面AFC;(2)當(dāng)時,求二面角的余弦值.20.(12分)如圖,在四棱錐中,底面ABCD是邊長為2的正方形,為正三角形,且側(cè)面底面ABCD,(1)求證:平面ACM;(2)求平面MBC與平面DBC的夾角的大小21.(12分)如圖,在三棱錐中,,點為線段上的點.(1)若平面,試確定點的位置,并說明理由;(2)若,,,在(1)成立的前提下,求二面角的余弦值.22.(10分)某雙曲線型自然冷卻通風(fēng)塔的外形是由圖1中的雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面,如圖2所示.雙曲線的左、右頂點分別為、.已知該冷卻通風(fēng)塔的最窄處是圓O,其半徑為1;上口為圓,其半徑為;下口為圓,其半徑為;高(即圓與所在平面間的距離)為.(1)求此雙曲線的方程;(2)以原平面直角坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上,保持原點和x軸、y軸不變,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖3所示.在上口圓上任取一點,在下口圓上任取一點.請給出、的值,并求出與的值;(3)在(2)的條件下,是否存在點P、Q,使得P、A、Q三點共線.若不存在,請說明理由;若存在,求出點P、Q的坐標(biāo),并證明此時線段PQ上任意一點都在曲面上.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】由f(x)的圖象可知,函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,先減后增,且恒大于0,故符合題意的只有選項A.故選:A.2、C【解析】通過寫出幾項,尋找規(guī)律,即可得到和滿足的遞推公式.【詳解】若甲柱有個盤,甲柱上的盤從上往下設(shè)為,其中,,當(dāng)時,將移到乙柱,只移動1次;當(dāng)時,將移到乙柱,將移到乙柱,移動2次;當(dāng)時,將移到丙柱,將移到丙柱,將移到乙柱,再將移到乙柱,將移到乙柱,;當(dāng)時,將上面的3個移到丙柱,共次,然后將移到乙柱,再將丙柱的3個移到乙柱,共次,所以次;當(dāng)時,將上面的4個移到丙柱,共次,然后將移到乙柱,再將丙柱的4個移到乙柱,共次,所以次;……以此類推,可知,故選.【點睛】主要考查了數(shù)列遞推公式的求解,屬于中檔題.這類型題的關(guān)鍵是寫出幾項,尋找規(guī)律,從而得到對應(yīng)的遞推公式.3、C【解析】由,且,可得,再結(jié)合,可得,進(jìn)而在△中,由余弦定理可得到齊次方程,求出即可.【詳解】由題意,可得,因為,所以,又,所以,在△中,,即,由余弦定理,可得,整理得,則,即,解得,因為,所以.故選:C.【點睛】方法點睛:本題考查求雙曲線的離心率,屬于中檔題.雙曲線離心率的求法:(1)由條件直接求出(或或),或者尋找(或或)所滿足的關(guān)系,利用求解;(2)根據(jù)條件列出的齊次方程,利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程,解方程即可,注意根據(jù)對所得解進(jìn)行取舍.4、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列,所以.故選:B5、A【解析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征,構(gòu)造函數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令,則根據(jù)題意可知,,∴g(x)是奇函數(shù),∵,∴當(dāng)時,,單調(diào)遞減,∵g(x)是奇函數(shù),g(0)=0,∴g(x)在R上單調(diào)遞減,由不等式得,.故選:A.6、C【解析】函數(shù)的圖象在點P處的切線方程是,所以,在P處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率,2,故選C考點:本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義點評:簡單題,切線的斜率等于函數(shù)在切點的導(dǎo)函數(shù)值7、B【解析】求出圓、的圓心和半徑,再由兩圓沒有公共點列不等式求解作答.【詳解】圓的圓心,半徑,圓的圓心,半徑,,因圓、沒有公共點,則有或,即或,又,解得或,所以實數(shù)a的取值范圍為.故選:B8、C【解析】由可得出,利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得出關(guān)于實數(shù)的等式,由此可解得實數(shù)的值.【詳解】若,則,所以,所以,解得.故選:C9、D【解析】命題:可能為0,不為0,假命題,命題:,為真命題,所以“或”為真命題,“且”為假命題.選D.10、B【解析】利用平均數(shù)公式可判斷A選項;利用標(biāo)準(zhǔn)差公式可判斷B選項;利用中位數(shù)的定義可判斷C選項;利用眾數(shù)的定義可判斷D選項.【詳解】對于A選項,設(shè)數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為,數(shù)據(jù)、、、的平均數(shù)為,則,A錯;對于B選項,設(shè)數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為,數(shù)據(jù)、、、的標(biāo)準(zhǔn)差為,,B對;對于C選項,設(shè)數(shù)據(jù)、、、中位數(shù)為,數(shù)據(jù)、、、的中位數(shù)為,不妨設(shè),則,若為奇數(shù),則,;若為偶數(shù),則,.綜上,,C錯;對于D選項,設(shè)數(shù)據(jù)、、、的眾數(shù)為,則數(shù)據(jù)、、、的眾數(shù)為,D錯.故選:B.11、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量坐標(biāo)運算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系,故選:B12、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動大小,將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后,方差不變,故①正確;一個回歸方程,變量增加1個單位時,平均減少5個單位,故②不正確;線性回歸方程必過樣本中心點,故③正確;根據(jù)線性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義:在線性回歸分析中,相關(guān)系數(shù)為r,越接近于1,相關(guān)程度越大,故④不正確;對于觀察值來說,越大,“x與y有關(guān)系”的可信程度越大,故⑤正確.故選:C【點睛】本題主要考查用樣本估計總體、線性回歸方程、獨立性檢驗的基本思想.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】由已知可得點M在圓C上,則過M作圓的切線與CM所在的直線垂直,求出斜率,進(jìn)而可得直線方程.【詳解】由圓得到圓心C的坐標(biāo)為(0,
0),圓的半徑,而所以點M在圓C上,則過M作圓的切線與CM所在的直線垂直,又,得到CM所在直線的斜率為,所以切線的斜率為,則切線方程為:即故答案為:.14、【解析】根據(jù),構(gòu)造函數(shù),利用其單調(diào)性求解.【詳解】因為,所以,令,則,,所以是減函數(shù),又,即,,所以,所以,則的解集為故答案為:15、3【解析】先求出拋物線的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,再利用拋物線的定義可求得答案【詳解】拋物線的焦點為,準(zhǔn)線為,因為拋物線上一點P到x軸的距離為2,所以由拋物線的定義可得,故答案為:316、.【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為,恒成立,得到,即可求解.【詳解】由題意,命題,成立為真命題,即,恒成立,當(dāng)時,,所以,即實數(shù)的取值范圍.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】(1)設(shè)的公比為,根據(jù)題意求得的值,即可求得的通項公式;(2)由(1)求得,得到,利用等比數(shù)列的求和公式,即可求解.【小問1詳解】解:設(shè)的公比為,因為,,則,又因為,解得,所以的通項公式為.【小問2詳解】解:由,可得,則,所以.18、(1);(2)和【解析】(1)先求出,再寫出二項式展開式的通項,令即可求解;(2)設(shè)第項系數(shù)最大,則,即可解得的值,進(jìn)而可得展開式中系數(shù)最大的項.【詳解】(1)由題意可得:,得,的展開式通項為,,要求展開式中有理項,只需令,所以所以有理項有5項,(2)設(shè)第項系數(shù)最大,則,即,即,解得:,因為,所以或所以,所以展開式中系數(shù)最大的項為和.【點睛】解二項式的題關(guān)鍵是求二項式展開式的通項,求有理項需要讓的指數(shù)位置是整數(shù),求展開式中系數(shù)最大的項需要滿足第項的系數(shù)大于等于第項的系數(shù),第項的系數(shù)大于等于第項的系數(shù),屬于中檔題19、(1)證明見解析(2)【解析】(1)結(jié)合線面垂直的判定定理來證得結(jié)論成立.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法來求得二面角的大小.【小問1詳解】設(shè),由于四邊形是等腰梯形,是的中點,,所以,所以四邊形是平行四邊形,由于,所以四邊形是菱形,所以,由于,是的中點,所以,由于,所以平面.【小問2詳解】由于,所以三角形、三角形、三角形是等邊三角形,設(shè)是的中點,設(shè),則,所以,所以,由于兩兩垂直.以為空間坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,,,平面的法向量為,設(shè)平面法向量為,則,故可設(shè),由圖可知,二面角為鈍角,設(shè)二面角為,,則.20、(1)證明見解析(2)30°【解析】(1)連接BD,借助三角形中位線可證;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法直接可求.【小問1詳解】連接BD,與AC交于點O,在中,因為O,M分別為BD,PD的中點,則,又平面ACM,平面ACM,所以平面ACM.【小問2詳解】設(shè)E是AB的中點,連接PE,因為為正三角形,則,又因為平面底面ABCD,平面平面,則平面ABCD,過點E作EF平行于CB,與CD交于點F,以E為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示,則,,,,,,所以,,設(shè)平面CBM的法向量為,則,令,則,因為平面ABCD,則平面ABCD的一個法向量為,所以,所以平面MBC與平面DBC所成角大小為30°21、(1)點為MC的中點,理由見解析;(2)【解析】(1)由線面垂直得到線線垂直,進(jìn)而由三線合一得到點為MC的中點;(2)作出輔助線,找到二面角的平面角,利用勾股定理求出各邊長,用余弦定理求出答案.【小問1詳解】點為MC的中點,理由如下:因為平面,平面,所以,,又,由三線合一得:點為MC的中點【小問2詳解】取AB的中點H,連接PH,CH,則由(1)知:,結(jié)合點為MC的中點,所以PA=PB,故由三線合一得:PH⊥AB,且CH⊥AB,所以∠CHP即為二面角的平面角,因為,,,所以,,,由勾股定理得:,,,在△PCH中,由余弦定理得:,故二面角的余弦值為22、(1);(2),,,;(3)存在,或,證明見解析.【解析】(1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,易知,設(shè),,代入求解即可;(2)分析圓,圓的方程即可求解;(3)利用圓的參數(shù)方程,設(shè),,利用,即可求解,再利用線段PQ上
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