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安徽省合肥市肥東縣新城高升學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.算盤是中國古代的一項(xiàng)重要發(fā)明.現(xiàn)有一種算盤(如圖1),共兩檔,自右向左分別表示個位和十位,檔中橫以梁,梁上一珠撥下,記作數(shù)字5,梁下五珠,上撥一珠記作數(shù)字1(如圖2中算盤表示整數(shù)51).如果撥動圖1算盤中的兩枚算珠,可以表示不同整數(shù)的個數(shù)為()A.8 B.10C.15 D.162.設(shè)太陽光線垂直于平面,在陽光下任意轉(zhuǎn)動棱長為一個單位的立方體,則它在平面上的投影面積的最大值是()A.1 B.C. D.3.如圖甲是第七屆國際數(shù)學(xué)家大會(簡稱ICME—7)的會徽圖案,其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知,,,,為直角頂點(diǎn),設(shè)這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為,令,為數(shù)列的前項(xiàng)和,則()A.8 B.9C.10 D.114.已知函數(shù)滿足對于恒成立,設(shè)則下列不等關(guān)系正確是()A. B.C. D.5.已知,則條件“”是條件“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件.6.命題:“?x<1,x2<1”的否定是()A.?x≥1,x2<1 B.?x≥1,x2≥1C.?x<1,x2≥1 D.?x<1,x2≥17.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》中描述了圓錐曲線共性,并給出了圓錐曲線的統(tǒng)一定義,只可惜對這一定義歐幾里得沒有給出證明.經(jīng)過了500年,到了3世紀(jì),希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在他的著作《數(shù)學(xué)匯篇》中,完善了歐幾里得關(guān)于圓錐曲線的統(tǒng)一定義,并對這一定義進(jìn)行了證明.他指出,到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線;當(dāng)時,軌跡為橢圓;當(dāng)時,軌跡為拋物線;當(dāng)時,軌跡為雙曲線.現(xiàn)有方程表示的曲線是雙曲線,則的取值范圍為()A. B.C. D.8.設(shè),,則“”是“”的A.充要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件9.若直線與直線垂直,則()A.6 B.4C. D.10.已知拋物線:的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l上有兩點(diǎn)A,B,若為等腰直角三角形且面積為8,則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A. B.C.或 D.11.已知E、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn),傾斜角為的直線l過點(diǎn)E,且與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則的周長為A.10 B.12C.16 D.2012.曲線與曲線的A.長軸長相等 B.短軸長相等C.離心率相等 D.焦距相等二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知命題:,總有.則為______14.若把英語單詞“”的字母順序?qū)戝e了,則可能出現(xiàn)的錯誤有______種15.函數(shù),若,則的值等于_______16.已知雙曲線:的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線引垂線,垂足為,交另一條漸近線于,若,則雙曲線的漸近線方程為__________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)阿基米德(公元前年—公元前年)不僅是著名的物理學(xué)家,也是著名的數(shù)學(xué)家,他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積.已知平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:的面積為,兩焦點(diǎn)與短軸的一個頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點(diǎn)的直線與交于不同的兩點(diǎn),求面積的最大值.18.(12分)新高考取消文理分科,采用選科模式,這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán).新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級將來高考選考物理的情況,隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生,將他們某次物理測試成績(滿分100分)按照,,,,分成5組,制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求圖中的值并估計這100名學(xué)生本次物理測試成績的中位數(shù).(2)根據(jù)調(diào)查,本次物理測試成績不低于60分的學(xué)生,高考將選考物理科目;成績低于60分的學(xué)生,高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測試成績在,的學(xué)生中選取5人,再從這5人中任意選取2人,求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.19.(12分)直線:和:(1)若兩直線垂直,求m的值;(2)若兩直線平行,求平行線間的距離20.(12分)等差數(shù)列中,首項(xiàng),且成等比數(shù)列(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和21.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時,求函數(shù)在內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù).22.(10分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)設(shè)為的導(dǎo)數(shù),若方程的兩根為,且,當(dāng)時,不等式對任意的恒成立,求正實(shí)數(shù)的最小值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定條件分類探求出撥動兩枚算珠的結(jié)果計算得解.【詳解】撥動圖1算盤中的兩枚算珠,有兩類辦法,由于撥動一枚算珠有梁上、梁下之分,則只在一個檔撥動兩枚算珠共有4種方法,在每一個檔各撥動一枚算珠共有4種方法,由分類加法計數(shù)原理得共有8種方法,所以表示不同整數(shù)的個數(shù)為8.故選:A2、C【解析】確定正方體投影面積最大時,是投影面與平面AB'C平行,從而求出投影面積的最大值.【詳解】設(shè)正方體投影最大時,是投影面與平面AB'C平行,三個面的投影為兩個全等的菱形,其對角線為,即投影面上三條對角線構(gòu)成邊長為的等邊三角形,如圖所示,所以投影面積為故選:C3、B【解析】由題意可得的邊長,進(jìn)而可得周長及,進(jìn)而可得,可得解.【詳解】由,可得,,,,所以,,所以前項(xiàng)和,所以,故選:B.4、A【解析】由條件可得函數(shù)為上的增函數(shù),構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性比較的大小,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定各選項(xiàng)的對錯.【詳解】設(shè),則,∵,∴,∴函數(shù)在上為增函數(shù),∵,∴,故,所以,C錯,令(),則,當(dāng)時,,當(dāng)時,∴函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù),又,∴,∴,即,∴,故,所以,D錯,,故,所以,A對,,故,所以,B錯,故選:A.5、A【解析】若命題,則p是q的充分不必要條件,q是p的必要不充分條件【詳解】因?yàn)?,所以,所?故選:A6、C【解析】將特稱命題否定為全稱命題即可【詳解】根據(jù)含有量詞的命題的否定,則“?x<1,x2<1”的否定是“?x<1,x2≥1”.故選:C.7、C【解析】對方程進(jìn)行化簡可得雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù),進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】已知方程可以變形為,即,∴其表示雙曲線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線之比為常數(shù),又由,可得,故選:C.8、C【解析】不能推出,反過來,若則成立,故為必要不充分條件.9、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知,即故選:A.10、C【解析】分或()兩種情況討論,由面積列方程即可求解【詳解】由題意得,當(dāng)時,,解得;當(dāng)或時,,解得,所以拋物線的方程是或.故選:C.11、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結(jié)果【詳解】橢圓,可得,三角形的周長,,所以:周長,由橢圓的第一定義,,所以,周長故選D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓簡單性質(zhì)的應(yīng)用,橢圓的定義的應(yīng)用,三角形的周長的求法,屬于基本知識的考查12、D【解析】分別求出兩橢圓的長軸長、短軸長、離心率、焦距,即可判斷【詳解】解:曲線表示焦點(diǎn)在軸上,長軸長10,短軸長為6,離心率為,焦距為8曲線表示焦點(diǎn)在軸上,長軸長為,短軸長為,離心率為,焦距為8對照選項(xiàng),則正確故選:【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的方程和性質(zhì),考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、,使得【解析】全稱命題改否定,首先把全稱量詞改成特稱量詞,然后把后面結(jié)論改否定即可.【詳解】解:因?yàn)槊},總有,所以的否定為:,使得故答案為,使得【點(diǎn)睛】本題考查了全稱命題的否定,全稱命題(特稱命題)改否定,首先把全稱量詞(特稱量詞)改成特稱量詞(全稱量詞),然后把后面結(jié)論改否定即可.14、23【解析】先計算該單詞所有字母能夠組成的所有排列情況,然后減去正確的,即是可能出現(xiàn)錯誤的情況.【詳解】因?yàn)椤啊彼膫€字母組成的全排列共有(種)結(jié)果,其中只有排列“”是正確的,其余全是錯誤的,故可能出現(xiàn)錯誤的共有(種).故答案為:23.15、【解析】對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),把代入導(dǎo)函數(shù)中,化簡即可求出的值.【詳解】函數(shù).故答案為:.16、【解析】由題意得雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0),設(shè)一漸近線OM的方程為,則另一漸近線ON的方程為.設(shè),∵,∴,∴,解得∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為,又,∴,整理得,∴雙曲線的漸近線方程為答案:點(diǎn)睛:(1)已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時,只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程,即方程就是雙曲線的兩條漸近線方程(2)求雙曲線的漸進(jìn)線方程的關(guān)鍵是求出的關(guān)系,并根據(jù)焦點(diǎn)的位置確定出漸近線的形式,并進(jìn)一步得到其方程三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】(1)根據(jù)題意計算得到,得到橢圓方程.(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立方程,根據(jù)韋達(dá)定理得到,,表示出,解得答案.【詳解】(1)依題意有解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(2)由題意直線的斜率不能為,設(shè)直線的方程為,由方程組得,設(shè),,所以,,所以,所以,令(),則,,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以當(dāng),即時,面積取得最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程,橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.18、(1),中位數(shù)為;(2).【解析】(1)由頻率和為1求參數(shù)a,根據(jù)直方圖及中位數(shù)性質(zhì)求中位數(shù)即可.(2)首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數(shù)分布情況,再應(yīng)用列舉法求古典概型的概率即可.【小問1詳解】由圖知:,解得.學(xué)生成績在的頻率為;學(xué)生成績在的頻率為.設(shè)這100名學(xué)生本次物理測試成績的中位數(shù)為,則,解得,故估計這100名學(xué)生本次物理測試成績的中位數(shù)為.【小問2詳解】由(1)知,學(xué)生成績在的頻數(shù)為,學(xué)生成績在的頻數(shù)為.按分層抽樣的方法從中選取5人,則成績在的學(xué)生被抽取人,分別記為,,成績在的學(xué)生被抽取人,分別記為,,.從中任意選取2人,有,,,,,,,,,這10種選法,其中至少有1人高考選考物理科目的選法有,,,,,,,,這9種,∴這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.19、(1);(2)【解析】(1)由直線一般方程的垂直公式,即得解;(2)由直線一般方程的平行公式,求得,再由平行線的距離公式,即得解.【小問1詳解】∵兩直線垂直,∴,解得【小問2詳解】∵兩直線平行,∴,解得或1,經(jīng)過驗(yàn)證時兩條直線重合,舍去.∴可得:直線:,:∴兩直線間的距離20、(1)(2)【解析】(1)根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出,進(jìn)而得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)根據(jù)裂項(xiàng)相消求和法得出前項(xiàng)和為和.【小問1詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以即,解得,所以;【小問2詳解】因?yàn)?,,?1、(1)當(dāng),在單調(diào)遞增;當(dāng),在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(2)0.【解析】(1)求得,對參數(shù)分類討論,即可由每種情況下的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)性;(2)根據(jù)題意求得,利用進(jìn)行放縮,只需證即,再利用導(dǎo)數(shù)通過證明從而得到恒成立,則問題得解.【小問1詳解】以為,其定義域?yàn)?,又,故?dāng)時,,在單調(diào)遞增;當(dāng)時,令,可得,且令,解得,令,解得,故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.綜上所述:當(dāng),在單調(diào)遞增;當(dāng),在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.【小問2詳解】因?yàn)椋士傻?,則,;下證恒成立,令,則,故在單調(diào)遞減,又當(dāng)時,,故在恒成立,即;因?yàn)?,故,令,下證在恒成立,要證恒成立,即證,又,故即證,令,則,令,解得,此時該函數(shù)單調(diào)遞增,令,解得,此時該函數(shù)單調(diào)遞減,又當(dāng)時,,也即;令,則,令,解得,此時該函數(shù)單調(diào)遞減,令,解得,此時該函數(shù)單調(diào)遞增,又當(dāng)時,,也即;又,故恒成立,則在恒成立,又,故當(dāng)時,恒成立,則在上的零點(diǎn)個數(shù)是.【點(diǎn)睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性,以及函數(shù)零點(diǎn)問題的處理;本題第二問處理的關(guān)鍵是通過分離參數(shù)和構(gòu)造函數(shù),證明恒成立,屬綜合困難題.22、(1)
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