一線三等角問(wèn)題探究

一線三等角問(wèn)題探究動(dòng)點(diǎn)——?jiǎng)又腥§o板演：四邊形ABCD是矩形，三角板的直角頂點(diǎn)M在BC邊上運(yùn)動(dòng)，直角邊分別與射線BA、射線CD交于E、F，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，哪些關(guān)系保持不變？證明：∵矩形ABCD∴∠B=∠C=90°∴∠2+∠3=90°∵∠EMF=90°∴∠2+∠1=90°∴∠1=∠3∴△EBM∽△MCF類(lèi)比上述做法，用60°角和45°角分別在等邊三角形和等腰直角三角三角形的BC邊上運(yùn)動(dòng)，得到哪些結(jié)論？并證明練習(xí)1（2010沈陽(yáng)）在等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，則△ABC的邊長(zhǎng)為（）A9B12C15D182如圖所示，四邊形OABC是一張?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在X軸上，點(diǎn)C在Y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處，已知折痕CE=，且tan∠ADE=(1)判斷△OCD與△ADE是否相似？請(qǐng)說(shuō)明理由（2）求直線CE與X軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)3（2010南通）如圖，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常數(shù))，BC=8,E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與BC重合）.連接DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE=x,BF=y,(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（2）若m=8，求x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？（3）若，要使△DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？答案：（1）如圖正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)p是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)p不與點(diǎn)B、C重合），連接AP,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AP交DC于點(diǎn)Q，設(shè)BP的長(zhǎng)為x，CQ的長(zhǎng)為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍（2011南充）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD中CD邊上一點(diǎn)，△BCE沿BE折疊為△BFE，點(diǎn)F落在AD上求證：△ABF∽△DFE若sin∠DFE=，求tan∠EBC的值（東城一模）24.等邊△ABC邊長(zhǎng)為6，P為BC邊上一點(diǎn)，∠MPN=60°，且PM、PN分別于邊AB、AC交于點(diǎn)E、F.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為BC的三等分點(diǎn)，且PE⊥AB時(shí)，判斷△EPF的形狀；（2）如圖2，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，且保持PE⊥AB，設(shè)BP=x，四邊形AEPF面積的y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；（3）如圖3，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)，且∠MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF=AE=2時(shí)，求PE的長(zhǎng).圖1圖2圖324.（本小題滿分7分）（1）△EPF為等邊三角形.--------------1分（2）設(shè)BP=x，則CP＝6－x.由題意可△BEP的面積為.△CFP的面積為.△ABC的面積為.設(shè)四邊形AEPF的面積為y.∴=.自變量x的取值范圍為3＜x＜6.--------------4分（3）可證△EBP∽△PCF.∴.設(shè)BP=x，則.解得.∴PE的長(zhǎng)為4或.--------------7分（延慶一模ABDCE第25題圖1）25.在中，，點(diǎn)在所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作（按逆時(shí)針?lè)较颍瓵BDCE第25題圖1（1）如圖1，若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，交于．①求證：；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．（2）①如圖2，若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，的反向延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，寫(xiě)出所有點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由；CDBAECABDE第25題圖2第25題圖3②如圖3CDBAECABDE第25題圖2第25題圖325.①證明：在中，∵∴∠B=∠C=45°又∠ADE=45°………………1分∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠………………1分………………2分∴∠ADB=∠………………2分∴②當(dāng)是等腰三角形時(shí),分以下三種情況討論第一種情況：DE=AE∵DE=AE∴∠ADE=∠DAE=45°………………3分∴∠AED=90………………3分∴AE=AC=1.第二種情況：AD=AE（D與B重合）AE=2第三種情況：AD=AE如果AD=DE，由于，∴△ABD≌△DCE,∴BD=CE,AB=DC,設(shè)BD=CE=在中，∵，∴BC=,DC=－∴－=2,解得，=－2，∴AE=4－2………………4分綜上所述：AE的值是1，2，………………4分(2)①存在?！?分當(dāng)D在BC的延長(zhǎng)線上，且CD=CA時(shí)，………………5分證明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′,∴∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°,∴∠ADC=∠DEC,又CD=CA，∴∠CAD=∠CDA,∴∠CAD=∠CED,∴DA=DE′,………………6分∴………………6分②不存在.因?yàn)椤螦CD=45°＞∠E,∠ADE=45°………………7分∴∠ADE………………7分∴不可能是等腰三角形。（朝陽(yáng)一模）23．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，，CA=CD，E、F分別是線段AD、AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A、D不重合），且∠FEC=∠ACB，設(shè)DE=x，CF=y.（1）求AC和AD的長(zhǎng)；（2）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，求x的值.23.解：（1）∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠ACB=∠CAD.∴tan∠ACB=tan∠CAD=.∴.∵AB=8，∴BC=6.則AC=10.……………………1分過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD于點(diǎn)H，∴CH=AB=8,則AH=6.∵CA=CD,∴AD=2AH=12..………………………2分（2）∵CA=CD,∴∠CAD=∠D.∵∠FEC=∠ACB，∠ACB=∠CAD，∴∠FEC=∠D.∵∠AEC=∠1+∠FEC=∠2+∠D，∴∠1=∠2.∴△AEF∽△DCE.……………………3分∴，即.∴..……………4分（3）若△EFC為等腰三角形.①當(dāng)EC=EF時(shí)，此時(shí)△AEF≌△DCE，∴AE=CD.由12-x=10，得x=2..…………………5分②當(dāng)FC=FE時(shí)，有∠FCE=∠FEC=∠CAE，∴CE=AE=12-x.在Rt△CHE中，由，解得.……6分③當(dāng)CE=CF時(shí)，有∠CFE=∠CEF=∠CAE，此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，故點(diǎn)E與點(diǎn)D也重合，不合題意，舍去.…7分綜上，當(dāng)△EFC為等腰三角形時(shí)，x=2或.已知：如圖，在正方形ABCD中,E為BC上任意一點(diǎn)（與B、C不重合）∠AEF=90°.觀察圖形：（1）△ABE與△ECF是否相似？并證明你的結(jié)論。（2）若E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AF,圖中有哪些相似三角形？ABABCEDFBCEFDA（圖1）練習(xí)：CBCBPQAD求PQ的長(zhǎng)。ＡＥＤＦＣＢ例2．如圖,在梯形中，，，，點(diǎn)分別在線段上（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且，設(shè)，．ＡＥＤＦＣＢ⑴求與的函數(shù)表達(dá)式；⑵當(dāng)為何值時(shí)，有最大值，最大值是多少？作業(yè)：1．已知如圖，B是AC上一點(diǎn)，AD⊥AB,EC⊥BC,∠DBE=90°.求證：△ABD∽△CEB.2.已知：等邊△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，∠B=∠C=∠EDF=60°,BE=6,CD=3,CF=4,EBEBCDADFF3．如圖，梯形中，∥，，，點(diǎn)分別在線段上，且，若，求長(zhǎng)．4.已知在等腰三角形中，，是的中點(diǎn)，是上的動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，射線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn).（1）求證：∽；（2）設(shè).①