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PAGEPAGE4三角形三條高線交于一點(diǎn)的證明證法一:運(yùn)用同一法證三條高兩兩相交的交點(diǎn)是同一點(diǎn)。已知:△ABC的兩條高BE、CF相交于點(diǎn)O,第三條高AD交高BD于點(diǎn)Q,交高CF于點(diǎn)P。求證:P、Q、O三點(diǎn)重合證明:如圖,∵BE⊥AC,CF⊥AB∴∠AEB=∠AFC=90°又∵∠BAE=∠CAF∴△ABE∽△ACF∴,即AB·AF=AC·AE又∵AD⊥BC∴△AEQ∽△ADC,△AFP∽△ADB∴,即AC·AE=AD·AQ,AB·AF=AD·AP∵AB·AF=AC·AE,AC·AE=AD·AQ,AB·AF=AD·AP∴AD·AQ=AD·AP∴AQ=AP∵點(diǎn)Q、P都在線段AD上∴點(diǎn)Q、P重合∴AD與BE、AD與CF交于同一點(diǎn)∵兩條不平行的直線只有一個(gè)交點(diǎn)∴BE與CF也交于此點(diǎn)∴點(diǎn)Q、P、O重合。證法二:連結(jié)一頂點(diǎn)和兩高交點(diǎn)的線垂直于第三邊,運(yùn)用四點(diǎn)共圓性質(zhì)。已知:△ABC的兩條高AD、BE相交于點(diǎn)O,第三條高CF交高AB于點(diǎn)F,連結(jié)CO交AB于點(diǎn)F。求證:CF⊥AB。證明:∵AD⊥BC于D,BE⊥AC于E∴A、B、D、E四點(diǎn)共圓∴∠1=∠ABE同理∠2=∠1∴∠2=∠ABE∵∠ABE+∠BAC=90°,∴∠2+∠BAC=90°即CF⊥AB。注:證法一和證法二是證明共點(diǎn)線的常用方法。設(shè)ΔABC,三條高線為AD、BE、CF,AD與BE交于H,連接CF。向量HA=向量a,向量HB=向量b,向量HC=向量c。
因?yàn)锳D⊥BC,BE⊥AC,
所以向量HA·向量BC=0,向量HB·向量CA=0,
即向量a·(向量c-向量b)=0,
向量b·(向量a-向量c)=0,
亦即
向量a·向量c-向量a·向量b=0
向量b·向量a-向量b·向量c=0
兩式相加得
向量c·(向量a-向量b)=0
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