04南航戴華《矩陣論》第四章l矩陣的因子分解剖析

第4章矩陣的因子分解4.1初等矩陣4.2滿秩分解4.3三角分解4.4QR分解4.5Schur定理與正法規(guī)陣4.6奇異值分解4.1初等矩陣4.1.1初等矩陣4.1.2初等下三角矩陣4.1.3Householder矩陣4.1.1初等矩陣設(shè)，σ為一復(fù)數(shù)，如下形式的矩陣稱為初等矩陣.初等矩陣E(u,v,σ)具有如下性質(zhì)：4.1.2初等下三角矩陣稱為初等下三角矩陣,即對(duì)初等下三角矩陣，當(dāng)i<j時(shí)，有用初等下三角矩陣Li左乘一個(gè)矩陣A，等于從A的第k行減去第i行乘以。對(duì)于，假設(shè)，取4.1.3Householder矩陣取u=v=w,σ=2，并且w是單位向量，即||w||=1，初等矩陣稱為Householder矩陣或初等Hermite矩陣。并且假設(shè)上述條件成立，則使H(w)a=b成立的單位向量w可取為其中θ為任一實(shí)數(shù)。Householder矩陣H(w)具有如下性質(zhì)：4.2滿秩分解定理4.2.1〔滿秩分解定理〕設(shè)m×n矩陣A的秩為r>0,則存在m×r矩陣B和r×n矩陣C使得并且rank(B)=rank(C)=r.什么是矩陣的滿秩分解？矩陣的滿秩分解是否存在？假設(shè)存在，滿秩分解是否唯一？如何計(jì)算矩陣的滿秩分解？滿秩分解有什么應(yīng)用？滿秩分解的應(yīng)用：有關(guān)結(jié)論的證明。計(jì)算廣義逆矩陣。4.3三角分解設(shè)A=(aij)是n階矩陣，假設(shè)A的對(duì)角線下(上)方的元素全為零，即對(duì)i>j,aij=0〔對(duì)i<j,aij=0〕，則稱矩陣A為上〔下〕三角矩陣。上三角矩陣和下三角矩陣統(tǒng)稱為三角矩陣。對(duì)角元全為1的上〔下〕三角矩陣稱為單位上〔下〕三角矩陣。什么是矩陣的LU分解？矩陣的LU分解是否存在？假設(shè)存在，LU分解是否唯一？如何計(jì)算矩陣的LU分解？LU分解有什么應(yīng)用？上〔下〕三角矩陣的性質(zhì)〔LU分解定理〕設(shè)A是n階非奇異矩陣，則存在唯一的單位下三角矩陣L和上三角矩陣U使得的充分必要條件是A的全部挨次主子式均非零,即〔LDU分解定理〕設(shè)A是n階非奇異矩陣,則存在唯一的單位下三角矩陣L，對(duì)角矩陣D=diag(d1,d2,…,dn)和單位上三角矩陣U使得的充分必要條件是A的全部挨次主子式均非零，即，并且分解式稱為矩陣A的LDU分解。一般說(shuō)來(lái)，即使A是n階非奇異矩陣，A未必能作LU分解和LDU分解。定義設(shè)ei是n階單位矩陣的第i列(i=1,2,…n)，以為列作成的矩陣稱為n階排列矩陣，其中是1,2,…n的一個(gè)排列。定理設(shè)A是n階非奇異矩陣，則存在排列矩陣P使得其中L是單位下三角矩陣,是上三角矩陣，U是單位上三角矩陣，D是對(duì)角矩陣。LU分解的應(yīng)用：

求解線性方程組。4.4QR分解定理設(shè)A是n階非奇異實(shí)〔復(fù)〕矩陣，則存在正交〔酉〕矩陣Q和非奇異實(shí)〔復(fù)〕上三角矩陣R使得什么是矩陣的QR分解？矩陣的QR分解是否存在？假設(shè)存在，QR分解是否唯一？如何計(jì)算矩陣的QR分解？QR分解有什么應(yīng)用？設(shè)A是矩陣，且，則存在m階正交〔酉〕矩陣Q和行滿秩矩陣R使得或A有分解設(shè)A是實(shí)〔復(fù)〕矩陣，且其n個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，則存在m階正交〔酉〕矩陣Q和n階非奇異實(shí)〔復(fù)〕上三角矩陣R使得QR分解的應(yīng)用：

求解線性方程組。

求解矩陣特征值問(wèn)題。

求解線性最小二乘問(wèn)題。4.5Schur定理與正法規(guī)陣則稱A正交〔酉〕相像于B。定理4.5.1(Schur定理)任何一個(gè)n階復(fù)矩陣A都酉相似于一個(gè)上三角矩陣，即存在一個(gè)n階酉矩陣U和一個(gè)n階上三角矩陣R使得其中R的對(duì)角元是A的特征值，它們可以按要求的次序排列。則稱A為正法規(guī)陣。n階矩陣A酉相像于一個(gè)對(duì)角矩陣的充分必要條件為A是正法規(guī)陣。假設(shè)A是n階Hermite矩陣，則A必酉相像于實(shí)對(duì)角矩陣，即存在n階酉矩陣U使得(4.5.6)式稱為Hermite矩陣A的譜分解式。設(shè)A，B均為n階正法規(guī)陣，并且AB=BA，則存在n階酉矩陣U使得與同時(shí)為對(duì)角矩陣。定理4.5.4任何n階實(shí)矩陣A都正交相像于一個(gè)擬上三角矩陣，即存在一個(gè)n階正交矩陣Q和一個(gè)n階擬上三角矩陣R使得其中R是塊上三角矩陣〔或稱擬上三角矩陣〕,其對(duì)角塊為1階塊或2階塊,每個(gè)1階塊是A的實(shí)特征值,而每個(gè)2階塊的兩個(gè)特征值是A的一對(duì)共軛復(fù)特征值,且R的對(duì)角塊可以按要求的次序排列。假設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，則A正交相像于實(shí)對(duì)角矩陣，即存在n階正交矩陣Q使得4.6奇異值分解則稱σ為A的奇異值，u和v分別稱為A對(duì)應(yīng)于奇異值σ的右奇異向量和左奇異向量。由(4.6.2)可得假設(shè)A是正法規(guī)