《高等數(shù)學(xué)（下冊）》（陽平華）646-1教案 第8章 第2課 常數(shù)項級數(shù)的審斂法

第課第課常數(shù)項級數(shù)的審斂法2常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法第課2PAGE2 PAGE2PAGE9 PAGE9常數(shù)項級數(shù)的審斂法常數(shù)項級數(shù)的審斂法第課2

課題常數(shù)項級數(shù)的審斂法課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）掌握正項級數(shù)的定義及其審斂法（2）掌握交錯級數(shù)的定義及其審斂法（3）掌握絕對收斂與條件收斂的定義及其判定方法思政育人目標(biāo)：通過學(xué)習(xí)常數(shù)項級數(shù)的斂散性，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；樹立學(xué)生實(shí)事求是、一絲不茍的科學(xué)精神教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：正項級數(shù)的定義及其審斂法、交錯級數(shù)的定義及其審斂法教學(xué)難點(diǎn)：絕對收斂與條件收斂的判定教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實(shí)踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第1節(jié)課：第2節(jié)課：知識講解（20min）（10min）→課堂小結(jié)（5min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】清點(diǎn)上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況知識講解

（33min）【教師】講解正項級數(shù)的定義及其審斂法，并通過例題介紹其應(yīng)用定義1如果級數(shù)的每一項，則該級數(shù)稱為正項級數(shù)．顯然，正項級數(shù)的部分和數(shù)列是遞增數(shù)列，即．如果數(shù)列有上界，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)有界準(zhǔn)則可知部分和數(shù)列有極限，從而級數(shù)收斂．反之，若級數(shù)收斂，則有極限，故數(shù)列必有界．于是就得到了下面判定正項級數(shù)斂散性的基本定理．定理1正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界．定理2（比較審斂法）設(shè)和都是正項級數(shù)，且則有（1）若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；（2）若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散．證明記，，由于，因此．（1）若級數(shù)收斂，其和記為，則

，即部分和數(shù)列有上界，由定理1，可知級數(shù)收斂．（2）是（1）的逆否命題，即（2）也成立．例1討論級數(shù)的斂散性，其中常數(shù)．解當(dāng)時，，因調(diào)和級數(shù)發(fā)散，由比較審斂法知，級數(shù)發(fā)散．當(dāng)時，若時，則有，所以．對于級數(shù)，其部分和為，表明數(shù)列有界，由定理1可得原級數(shù)收斂．綜上所述，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)收斂．例2證明級數(shù)是發(fā)散的．證明因為，而級數(shù)是發(fā)散的，根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的．定理3（比較審斂法的極限形式）設(shè)和都是正項級數(shù)，如果，則有（1）當(dāng)時，級數(shù)和級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散；（2）當(dāng)且收斂時，也收斂；（3）當(dāng)且發(fā)散時，也發(fā)散．例3判別級數(shù)的收斂性．解因為，而級數(shù)發(fā)散，根據(jù)比較審斂法的極限形式知，級數(shù)發(fā)散．定理4（比值審斂法，達(dá)朗貝爾判別法）設(shè)為正項級數(shù)，如果，則有（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)（或）時，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．例4判斷下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）．解（1）因為，根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂．（2）因為，根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散．（3）因為，由于用比值審斂法無法判斷其收斂性，因此改用比較審斂法進(jìn)行判斷，具體過程如下：因為，級數(shù)收斂，故級數(shù)收斂．*定理5（根值審斂法，柯西判別法）設(shè)是正項級數(shù)，如果它的一般項的次根極限等于，即，則有（1）當(dāng)時，級數(shù)收斂；（2）當(dāng)（或）時，級數(shù)發(fā)散；（3）當(dāng)時，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散．例5證明級數(shù)是收斂的．解因為，由根值審斂法可知所給級數(shù)收斂．例6判別級數(shù)的斂散性．解因為，由根值審斂法知所給級數(shù)收斂．【學(xué)生】掌握正項級數(shù)的定義及其審斂法學(xué)習(xí)正項級數(shù)的定義及其審斂法。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（20min）【教師】講解交錯級數(shù)的定義及其審斂法，并通過例題講解介紹其應(yīng)用各項符號依次正負(fù)相間的常數(shù)項級數(shù)，或，稱為交錯級數(shù)．交錯級數(shù)的一般形式為，其中．對于交錯級數(shù)的斂散性，有以下判定法則．定理6（萊布尼茨定理）如果交錯級數(shù)滿足條件：（1）；（2），則該級數(shù)收斂，且其和，其余項的絕對值．例7判斷下列級數(shù)的斂散性：（1）；（2）；（3）．解（1）這是一個交錯級數(shù)，且滿足，，由萊布尼茨定理知，該級數(shù)是收斂的．（2）這是一個交錯級數(shù)，且滿足，，由萊布尼茨定理知，該級數(shù)是收斂的．（3）這是一個交錯級數(shù)，且滿足，，由萊布尼茨定理知，該級數(shù)是收斂的．例8判定級數(shù)的斂散性．解這是一個交錯級數(shù)．先考慮通項中的取連續(xù)變量時的情形，記，有．當(dāng)時，，即時，單調(diào)遞減．從而當(dāng)時，也單調(diào)遞減，即成立．再由洛必達(dá)法則，可得，于是有，由萊布尼茨定理知，交錯級數(shù)是收斂的．【學(xué)生】理解交錯級數(shù)的定義及其審斂法【教師】講解絕對收斂與條件收斂的定義，并通過例題介紹解其判定方法定義2設(shè)有一般常數(shù)項級數(shù)，取各項的絕對值構(gòu)成級數(shù)．（1）若絕對值級數(shù)收斂，則稱絕對收斂；（2）若原級數(shù)收斂，而發(fā)散，則稱條件收斂．絕對收斂和收斂之間有如下關(guān)系．定理7（絕對收斂準(zhǔn)則）如果級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)必定收斂．證明由于，有．因為收斂，由正項級數(shù)的比較審斂法，可得也收斂．又，而級數(shù)和都收斂，由級數(shù)性質(zhì)知，級數(shù)收斂．例9判斷下列級數(shù)是否收斂，若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？（1）；（2）；（3）．解由例7知以上級數(shù)都收斂．下面討論它們是絕對收斂還是條件收斂．（1），而調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的．因此是條件收斂．（2），利用比值審斂法可知是收斂的．因此是絕對收斂．（3），利用比值審斂法可知是收斂的．因此是絕對收斂．【學(xué)生】理解絕對收斂與條件收斂的定義，并掌握其判定方法學(xué)習(xí)交錯級數(shù)的定義及其審斂法，絕對收斂與條件收斂的定義及其判定方法。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實(shí)現(xiàn)教學(xué)做一體化問題討論

（10min）【教師】組織學(xué)生討論以下問題1．適用比較審斂法或比值審斂法的正項級數(shù)各有什么特點(diǎn)？2．如果級數(shù)發(fā)散，我們能不能斷定級數(shù)也發(fā)散？請舉例說明．3．“一個級數(shù)要么絕對收斂，要么條件收斂”這句話對嗎？【學(xué)生】討論、發(fā)言通過課堂討論，活躍課堂氣氛，加深學(xué)生對知識點(diǎn)的理解課堂測驗（10min）【教師】出幾道測試題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題過程【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學(xué)生對知識點(diǎn)的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂小結(jié)

（5min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點(diǎn)本節(jié)課上大家掌握了正項級數(shù)的定義及其審斂法，交錯級數(shù)的概念及其審斂法，絕對收斂與條件收斂的定義及其判定，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知。【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點(diǎn)【教師】布置課后