【數(shù)學】2023-2024學年高一上人教A版（2019）必修第一冊 同角三角函數(shù)的基本關系

第五章三角函數(shù)5.2.2同角三角函數(shù)的基本關系課標要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關系式.2.會用同角三角函數(shù)的基本關系式進行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明.素養(yǎng)要求通過同角三角函數(shù)式的應用，重點提升學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng).問題導學預習教材必備知識探究1互動合作研析題型關鍵能力提升2拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成3內容索引CONTENTS問題導學預習教材必備知識探究WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU一、同角三角函數(shù)的基本關系1.問題計算下列式子的值：(1)sin20°＋cos20°；(2)sin245°＋cos245°；(3)sin260°＋cos260°.由此你能得出什么結論？提示3個式子的值均為1.猜想：設任意角α，有sin2α＋cos2α＝1.3.填空(1)同角三角函數(shù)的基本關系 ①平方關系：sin2α＋cos2α＝____.1語言敘述：同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的______.(2)同角三角函數(shù)基本關系的變形①sin2α＝________________；cos2α＝________________.②sinα＝______________________；cosα＝正切1－cos2α1－sin2αcosαtanα溫馨提醒注意“同角”，這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角(在使函數(shù)有意義的前提下)關系式都成立，即與角的表達形式無關，如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立.×4.思考辨析正確的在后面的括號內打“√”，錯誤的打“×”.√××B二、sinα±cosα，sinαcosα之間的關系1.問題利用sin2α＋cos2α＝1，你能否發(fā)現(xiàn)(sinα＋cosα)2與sinαcosα的關系？能否用sinαcosα表示sinα－cosα？

提示

(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，1－2sinαcosα＝(sinα－cosα)2.解析左邊＝1＋2sinαcosα＋1－2sinαcosα＝2.2.填空(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝________.2CHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動合作研析題型關鍵能力提升2題型一基本關系的簡單應用∴α是第二或第三象限角.(1)當α是第二象限角時，則(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解思維升華(2)若沒有給出角α是第幾象限角，則應分類討論，先由已知三角函數(shù)的值推出α的終邊可能在的象限，再分類求解.例2已知tanα＝3，求下列各式的值：題型二三角函數(shù)式的求值角度1弦切互化求值函關于sinα，cosα的齊次式的求值方法(1)關于sinα，cosα的齊次式，可以通過分子、分母同除以cosα或cos2α轉化為關于tanα的式子后再求值.(2)假如代數(shù)式中不含分母，可以視分母為“1”，靈活地進行“1”的代換，由1＝sin2α＋cos2α代換后，再同除以cos2α，構造出關于tanα的代數(shù)式.數(shù)思維升華角度2

sinα±cosα型求值問題由上知，θ為第二象限角，所以sinθ－cosθ>0，1.已知sinα±cosα，sinαcosα求值問題，一般利用三角恒等式，采用整體代入的方法求解.2.涉及的三角恒等式有： (1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ； (2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ； (3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2； (4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ.

上述三角恒等式告訴我們，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ中的任何一個，則另兩個式子的值均可求出.思維升華∴sinα－3cosα＝－sinα－cosα，則sinα＝cosα.因此sin2α＋sinαcosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.∴tanα＝1.題型三三角函數(shù)式的化簡與證明角度1化簡三角函數(shù)式1.化切為弦，即把正切函數(shù)都化為正、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)名稱，達到化繁為簡的目的.2.對于含有根號的，常把根號里面的部分化成完全平方式，然后去根號達到化簡的目的.思維升華角度2三角恒等式的證明所以原等式成立.1.證明三角恒等式的常用方法：(1)由繁到簡，從結構復雜的一邊入手，經過適當?shù)淖冃?、配湊，向結構簡單的一邊化簡，或從等式兩邊同時入手，使它們等于同一個數(shù)(式).(2)從已知或已證的恒等式出發(fā)，根據定理、公式進行恒等變形，推導出求證的恒等式.(3)比較法，證明待證等式的左、右兩邊之差為0.2.證明三角恒等式關鍵在于消除差異，有目的的化簡.思維升華所以原等式成立.所以原等式成立.課堂小結拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達成1第章TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENGACA.銳角三角形

B.鈍角三角形C.等邊三角形

D.等腰直角三角形B由α是三角形的內角，知sinα>0，∴cosα<0，則α為鈍角，△ABC為鈍角三角形.4.化簡sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的結果是(

)C解析原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)＝sin2α＋cos2α＝1.AB則tanα＝2.21109.已知tanα＝2，求下列代數(shù)式的值：所以原等式成立.B(2)任取一個α的值，分別計算sin4α－cos4α，sin2α－cos2α，你又有什么發(fā)現(xiàn)？則有sin4α－cos4α＝1；sin2α－cos