兩個計數(shù)原理經(jīng)典案例（共9張）

1.1.2兩個計數(shù)原理(二)-----------經(jīng)典案例聯(lián)系：分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是關(guān)于完成一件事情的不同方法的種數(shù)問題；區(qū)別：分類要做到“不重不漏”，各種方法是相互獨立的，用任何一種方法都能完成這件事；分步要做到“步驟完整”，各個步驟都完成才能完成這修的事情．復(fù)習(xí)回顧題型一主客體須分清例1.有四位同學(xué)參加三項不同的競賽．(1)每位學(xué)生必須參加且只能參加一項競賽，有多少種不同結(jié)果？(2)每項競賽只許一位學(xué)生參加，且每人參加的項數(shù)不限,有多少種不同結(jié)果？(3)每項競賽只許一位學(xué)生參加，且每人至多參加一項,有多少種不同結(jié)果？解析:(1)學(xué)生可以選擇競賽項目，而競賽項目對于學(xué)生無條件限制，所以每位學(xué)生均有3個不同的機會．要完成這件事必須是每位學(xué)生參加的競賽全部確定下來才行，因此需分四步．而每位學(xué)生均有3個不同機會，所以用分步乘法計數(shù)原理．故3×3×3×3＝34＝81(種)．題型一主客體須分清例1.有四位同學(xué)參加三項不同的競賽．(1)每位學(xué)生必須參加且只能參加一項競賽，有多少種不同結(jié)果？(2)每項競賽只許一位學(xué)生參加，且每人參加的項數(shù)不限,有多少種不同結(jié)果？(3)每項競賽只許一位學(xué)生參加，且每人至多參加一項,有多少種不同結(jié)果？(2)競賽項目可挑選學(xué)生，而學(xué)生無選擇項目的機會，每一個項目可挑選4個不同學(xué)生中的一個．要完成這件事必須是每項競賽所參加的學(xué)生全部確定下來才行，因此需分三步，用分步乘法計數(shù)原理．故4×4×4＝43＝64(種)．(3)競賽項目可挑選學(xué)生,分成三步:4×3×2＝12(種)鞏固練習(xí)解:(1)分三步,每位旅客有4種不同的住宿方法,由分步計數(shù)原理得共有4×4×4＝43(2)分四步,每封信有3種不同的投遞法,由分步計數(shù)原理得共有3×3×3×3＝34

變式:將4封信投入3個郵筒,每個郵筒至少一封信,共有多少不同的投法?答案：36練設(shè)A={a,b,c,d,e,f},B={x,y,z},從A到B共有多少種不同的映射?題型二染色問題例2

用5種不同顏色給下列圖中四個區(qū)域涂色,每個區(qū)域涂一種顏色,若要求相鄰(有公共邊)的區(qū)域不同色,那么共有多少種不同的涂色方法?1234(1)(2)ABCD(3)共180種涂法共260種涂法共320種涂法(4)3412共320種涂法鞏固練習(xí)ABCD1.A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上4種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？2.如圖所示,一環(huán)形花壇分成A,B,C,D四個區(qū)域,現(xiàn)有4種不同的花可供選種,要求在每個區(qū)域里種1種花,且相鄰的2個區(qū)域種不同的花,問有多少種不同的種法?共48種共84種題型三錯位問題

例3

同室四人各寫一張賀年卡,先集中起來,然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡,則四張賀年卡不同的分配方案有()(A)6種(B)9種(C)11種(D)23種分析：不妨讓甲乙丙丁四人寫的卡片分別標(biāo)上號碼1，2，3，4，完成這件事情需要四個步驟：（1)不妨讓甲先拿，有3種方法；（2）讓甲拿的編號的人去拿，有3種方法；(3)(4)讓剩下兩個去拿各有1種方法，所以3×3×1×1=9種鞏固練習(xí)將1，2，3，4填入標(biāo)有1，2，3，4的四個方格里內(nèi)(1)每格填一個數(shù)，共有多少種不同的填法？(2)每格填一個數(shù),且每個方格所填入的數(shù)字與方格的標(biāo)號都不同的填法有多少種？(1)4×3×2×1=24種(2)3×3×1×1=9種1234五、綜合問題:1

若直線方程ax+by=0中的a,b可以從0,1,2,3,4這五個數(shù)字中任取兩個不同的數(shù)字,則方程所表示的不同的直線共有多少條?2、乘積展開后共有幾項？3、75600有多少個正約數(shù)?有多少個奇約數(shù)?解:由于75600=24×33×52×775600的每個約數(shù)都可以寫成的形式,其中,

,

,

于是,要確定75600的一個約數(shù),可分四步完成,即i,j,k,l分別在各自的范圍內(nèi)任取一個值,這樣i有5種取法,j有4種取法,k有3種取法,l有2種取法,根據(jù)分步計數(shù)原理得約數(shù)的個數(shù)為5×4×3×2=120個.

解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類又需兩步完成,所以,

第一類,m1=1×2=2條第二類,m2=1×2=2條第三類,m3=1×2=2條所以,根據(jù)加法原理,從頂點A到頂點C1最近路線共有N=2+2+2=6條。4.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路線共有多少條？5、如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有（）對A.12B.24C.36D.48B

6.如圖,從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？甲地乙地丙地丁地

解:從總體上看,由甲到丙有兩類不同的走法,

第一類,由甲經(jīng)乙去丙,又需分兩步,所以m1=2×3=