三角形的內(nèi)角和定理

三角形的內(nèi)角和推理的方法任意一個(gè)三角形的內(nèi)角和一定等于180°

三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°

想一想問題：有什么方法可以得到１８０°１．平角的度數(shù)是１８０°２．兩直線平行，同旁內(nèi)角的和是１８０°求證三角形的內(nèi)角和等于1800

BAC

證明：如圖，過A作EF∥BC∴∠B=∠BAE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)∠C=∠CAF(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)又∵∠BAE+∠BAC+∠CAF=180°(平角的定義)∴∠B+∠C+∠BAC=180°BCEFA

三角形內(nèi)角和定理:

三角形的內(nèi)角和等于1800.

注意：

為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。做輔助線是幾何證明過程中常用到的方法。輔助線通常畫成虛線。

延長BC到D，過C作CE∥BA，

∵

CE∥BA∴∠A=∠1(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

∠B=∠2(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA證明3提醒

輔助線的添加方法，證明思路為將三角形的三個(gè)角為180o轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.解：因?yàn)锳D平分∠BAC，∠BAC=40°，所以∠DAB=20°，因?yàn)椤螧=75°，所以∠ADB=180°-∠DAB-∠B=180°-20°-75°=85°.

對(duì)于求某個(gè)角的度數(shù)，一般是分析這個(gè)角是哪一個(gè)三角形的內(nèi)角，其他兩個(gè)角是否已知度數(shù)或已知三角之間的數(shù)量關(guān)系，然后利用三角形的內(nèi)角和進(jìn)行求解.解題策略分析：根據(jù)角平分線的定義求出∠DAB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到∠ADB=180°-∠DAB-∠B，代入求出即可.在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△BAC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).DCBA例1

例1.如圖，C島在A島的北偏東500方向,B島在A島的北偏東800方向,C島在B島的北偏西400方向.從C島看A,B兩島的視角∠ACB是多少度?

ABC北北DE500800400解：∠CAB=∠BAD-∠DAC=800-500=300

由AD∥BE可得∠DAB+∠EBC=1800∴∠ABE=1800-∠BAD=1800-800=1000∠ABC=∠ABE-∠EBC=1000-400=600

在△ABC中，∠ACB=1800-∠ABC-∠CAB=1800-600-300=900答:從C島看A,B兩島的視角∠ACB是90度.ABC北北DE500800400檢驗(yàn)一下自己吧!1、

在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,則∠C=__。2、已知三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1:3:5，則這三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為——————。3、一個(gè)三角形中最多有——個(gè)銳角，最少有——個(gè)銳角，最多有——個(gè)鈍角5002006001000321P74練習(xí)：

1.如圖,從A處觀測C處時(shí)仰角∠CAD=30°從B處觀測C處時(shí)仰角∠CBD=45°.從C處觀測A、B兩處時(shí)視角∠ACB是多少？2.如圖,一種滑翔傘的形狀是左右對(duì)稱的四邊形ABCD,其中∠A=150°,∠B=∠D=40°,求∠C的度數(shù)ACDB150°40°ADCB40°解：∵∠CBD=45°∴∠ABC=135°∴∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-45°-135°=15°解：∵四邊形ABCD左右對(duì)稱

∴

∠BAC

=∠DAC=75°∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=

180°-40°-75°