2023-2024學年湘教版必修第一冊 計算函數(shù)零點的二分法 課件（29張）

1.了解用二分法求方程近似解的思路.2.能借助計算工具用二分法求方程的近似解.課標要求素養(yǎng)要求用二分法求方程的近似解，體會“逐步逼近”的方法，提升學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng).課前預(yù)習課堂互動分層訓練內(nèi)容索引課前預(yù)習知識探究1用二分法求函數(shù)零點的一般步驟已知函數(shù)y＝f(x)定義在區(qū)間D上，其圖象是一條連續(xù)曲線，求它在D上的一個零點x0的近似值x，使它與零點的誤差不超過給定的正數(shù)ε，即使得|x－x0|≤ε.用二分法求函數(shù)零點的一般步驟如下：(1)在D內(nèi)取一個閉區(qū)間[a，b]?D，使f(a)與f(b)______，即______________，零點位于區(qū)間[a，b]中.異號f(a)·f(b)＜0(3)如果|m－a|<ξ，則取m為f(x)的零點近似值，計算終止.(4)計算f(m)，如果______________，則m就是f(x)的零點，計算終止.(5)f(m)與f(a)同號，則令________，否則令b＝m，再執(zhí)行(2).f(m)＝0a＝m1.思考辨析，判斷正誤 (1)二分法所求出的方程的解都是近似解.(

)

提示如函數(shù)f(x)＝x－2用二分法求出的解就是精確解. (2)如果函數(shù)零點兩側(cè)函數(shù)值同號，不適合用二分法求此零點的近似值.() (3)用二分法求函數(shù)零點的近似值時，每次等分區(qū)間后，零點必定在右側(cè)區(qū)間內(nèi).(

)

提示函數(shù)的零點也可能是區(qū)間的中點或在左側(cè)區(qū)間內(nèi).×√×2.用二分法求函數(shù)f(x)的一個正實數(shù)零點時，經(jīng)計算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，則函數(shù)的一個精確度為0.1的正實數(shù)零點的近似值為(

) A.0.9 B.0.7 C.0.5 D.0.4

解析

由題意可知函數(shù)的零點在(0.68，0.72)內(nèi)，四個選項中只有0.7，滿足|0.7－0.68|<0.1，故選B.B3.用二分法研究函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1的零點時，第一次計算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次應(yīng)計算f(x1)，則x1等于(

)A.1 B.－1C.0.25 D.0.75C4.二分法求函數(shù)的零點的近似值適合于(

)A.零點兩側(cè)函數(shù)值異號的函數(shù)B.零點兩側(cè)函數(shù)值同號的函數(shù)C.所有函數(shù)都適合D.所有函數(shù)都不適合解析

由函數(shù)零點存在定理可知選A.A課堂互動題型剖析2題型一二分法概念的理解【例1】

(1)下列函數(shù)中，能用二分法求零點的為(

)B解析函數(shù)圖象連續(xù)不斷，函數(shù)零點附近的函數(shù)值異號，這樣的函數(shù)零點才能使用二分法求解，觀察四個函數(shù)圖象，只有B選項符合.(2)用二分法求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)的零點時，需要的條件是(

)①f(x)在區(qū)間[a，b]內(nèi)連續(xù)不斷；②f(a)·f(b)＜0；③f(a)·f(b)＞0；④f(a)·f(b)≥0.A.①② B.①③C.①④ D.①②③解析由二分法的定義，知選A.A1.準確理解“二分法”的含義.二分就是平均分成兩部分.二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，逐步逼近零點的方法，找到零點附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點.2.“二分法”與判定函數(shù)零點的定義密切相關(guān)，只有滿足函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)且在該零點左右函數(shù)值異號才能應(yīng)用“二分法”求函數(shù)零點.思維升華【訓練1】

(1)下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是(

)(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在區(qū)間(1，3)內(nèi)的根，取區(qū)間的中點為x0＝2，那么下一個有根的區(qū)間是________.解析

(1)觀察圖象與x軸的交點，若交點附近的函數(shù)圖象連續(xù)，且在交點兩側(cè)的函數(shù)值符號相異，則可用二分法求零點，而B不能用二分法求零點.(2)設(shè)f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零點所在的區(qū)間為(1，2)，∴方程2x＋3x－7＝0有根的區(qū)間是(1，2).B(1，2)題型二用二分法求函數(shù)零點【例2】

用二分法求方程x2－10＝0在區(qū)間[3.1，3.2]上的近似解(誤差不超過0.001，即ε＝0.001).解設(shè)f(x)＝x2－10，則f(3.1)＝－0.39，f(3.2)＝0.24.取a0＝3.1，b0＝3.2，有f(a0)·f(b0)＜0.列表計算：nanbnbn－anf(an)f(bn)xn＝03.10003.20000.1000－0.39000.24003.150013.15003.20000.0500－0.07750.24003.175023.15003.17500.0250－0.07750.08063.162533.15003.16250.0125－0.07750.00143.156343.15633.16250.0062－0.03780.00143.159453.15943.16250.0031－0.01820.00143.161063.16103.16250.0015－0.00810.00143.1618給定ε，用二分法求f(x)零點近似值的步驟如下：(1)確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)＜0；(2)求區(qū)間(a，b)的中點c；(3)計算f(c)；①若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點；②若f(a)·f(c)＜0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))；③若f(a)·f(c)＞0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b)).(4)重復(fù)第(3)步，可得到一系列有限區(qū)間，其中每個區(qū)間的長度都是它前一個區(qū)間長度的一半，當所在區(qū)間值小于2ε時，區(qū)間中點或區(qū)間端點就是函數(shù)f(x)的近似零點.思維升華【訓練2】

用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1，1.5]內(nèi)的一個零點(精確度為0.01).

解

經(jīng)計算，f(1)<0，f(1.5)>0，所以函數(shù)在[1，1.5]內(nèi)存在零點x0.

取區(qū)間(1，1.5)的中點x1＝1.25，經(jīng)計算f(1.25)<0，因為f(1.25)·f(1.5)<0，所以x0∈(1.25，1.5).

如此繼續(xù)下去，得到函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間，如下表：(a，b)(a，b)的中點中點函數(shù)值符號(1，1.5)1.25f(1.25)<0(1.25，1.5)1.375f(1.375)>0(1.25，1.375)1.3125f(1.3125)<0(1.3125，1.375)1.34375f(1.34375)>0(1.3125，1.34375)1.328125f(1.328125)>0(1.3125，1.328125)1.3203125f(1.3203125)<0因為|1.328125－1.3203125|＝0.0078125<0.01，所以函數(shù)f(x)＝x3－x－1的一個精確度為0.01的近似零點可取為1.328125.1.用二分法求方程的近似解，用“逐步逼近”的方法，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)和邏輯推理素養(yǎng).2.二分法就是通過不斷地將所選區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，直至找到零點附近足夠小的區(qū)間，根據(jù)所要求的精確度，用此區(qū)間的某個數(shù)值近似地表示真正的零點.3.并非所有函數(shù)都可以用二分法求其零點，只有滿足：(1)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷；(2)f(a)·f(b)<0.上述兩條的函數(shù)，方可采用二分法求得零點的近似值.

課堂小結(jié)分層訓練素養(yǎng)提升3一、選擇題1.為了求函數(shù)f(x)＝2x－x2的一個零點，某同學利用計算器，得到自變量x和函數(shù)值f(x)的部分對應(yīng)值(f(x)的值精確到0.01)如下表如示：則函數(shù)f(x)的一個零點所在的區(qū)間是(

)A.(0.6，1.0) B.(1.4，1.8) C.(1.8，2.2) D.(2.6，3.0)解析∵f(1.8)·f(2.2)＝0.24×(－0.25)＜0，∴零點在區(qū)間(1.8，2.2)上.故選C.Cx0.61.01.41.82.22.63.0f(x)1.161.000.680.24－0.25－0.70－1.002.函數(shù)f(x)＝ln2x－3lnx＋2的零點是(

)A.(e，0)或(e2，0) B.(1，0)或(e2，0)C.(e2，0) D.e或e2解析f(x)＝ln2x－3lnx＋2＝(lnx－1)(lnx－2)，由f(x)＝0得x＝e或x＝e2.D3.用“二分法”可求近似解，對于精度ε說法正確的是(

)A.ε越大，零點的精度越高B.ε越大，零點的精度越低C.重復(fù)計算次數(shù)就是εD.重復(fù)計算次數(shù)與ε無關(guān)B解析

依“二分法”的具體步驟可知，ε越大，零點的精度越低.4.在用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值時，第一次所取的區(qū)間是[－2，4]，則第三次所取的區(qū)間可能是(

)D解析

∵第一次所取的區(qū)間是[－2，4]，∴第二次所取的區(qū)間可能為[－2，1]，[1，4]，5.若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個零點(正數(shù))附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如下表：Df(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似解(精確度為0.04)為(

)A.1.5 B.1.25C.1.375 D.1.4375解析由參考數(shù)據(jù)知f(1.40625)·f(1.4375)<0，且1.4375－1.40625＝0.03125<0.04，所以方程的一個近似解可取為1.4375.二、填空題解析令f(x)＝lnx－2＋x，∵f(1)＝－1＜0，f(2)＝ln2＞0，7.若函數(shù)f(x)的圖