湖南省高三高考數(shù)學(xué)沖刺試卷（三）

2021年湖南省高考數(shù)學(xué)沖刺試卷（三）已知p：?x0∈R，使得2x0A.?x∈R，2x<x2 B.?x0∈R，棣莫弗公式(cosx+isinx)n=cosA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限已知奇函數(shù)y=f(x)為R上的增函數(shù)，且在區(qū)間[-2,3]上的最大值為9，最小值為-6A.3 B.1 C.-1 D.魏晉時期，數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)割圓術(shù).他在《九章算術(shù)》之方田章之圓田術(shù)中指出：“割圓之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”這是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程.數(shù)學(xué)中這類問題多著呢!比如：在正數(shù)121+121+....中的“…”代表無限重復(fù)，設(shè)x=121+121+....，則可列方程x=12A.3 B.5 C.7 D.9某商場經(jīng)營的某種包裝的大米質(zhì)量ξ(單位：kg)服從正態(tài)分布N(10,σ2)，根據(jù)檢測結(jié)果可知P(9.9≤ξA.10 B.20 C.30 D.40已知三棱錐P-ABC的底面是邊長為3的正三角形，且PA=3，PB=4，PC=5，則三棱錐A.3 B.10 C.11 D.2已知a>0，b<0，則x=2a，y=A.x>z>y B.y>x已知函數(shù)f(x)=ex+e-A.f(a2+1)≥f(2a) 一道四個選項的選擇題，趙、錢、孫、李各選了一個選項，且選的恰好各不相同.

趙說：“我選的是A.”

錢說：“我選的是B，C，D之一.”

孫說：“我選的是C.”

李說：“我選的是D.”

已知四人中只有一人說了假話，則說假話的人可能是A.趙 B.錢 C.孫 D.李已知數(shù)列{an}滿足a1=a，aA.?a>0，?n≥2，使得an<2

B.?a>0，?n≥2，使得an<a已知焦點在x軸上的橢圓過點(3,0)且離心率為63，則(?)A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y23=1

B.橢圓經(jīng)過點(0,23)

某人決定就近打車前往目的地，前方開來三輛車，且車況分別為“好”“中”“差”.他決定按如下兩種方案打車.方案一：不乘第一輛車，若第二輛車好于第一輛車，就乘此車，否則直接乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車.若三輛車開過來的先后次序等可能，記方案一和方案二坐到車況為“好”的車的概率分別為p1，p2，則下列判斷不正確的是(?)A.p1=p2=12 B.p1=p已知函數(shù)g(x)的圖象向左平移π6個單位長度，得到函數(shù)f(設(shè)a，b是正數(shù)，若兩直線l1：(m-1)x+(3-2m)y+1=0(已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin2A+sin2B-若關(guān)于x的方程2|x-1|+a如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，側(cè)面是正方形，∠DAB=60°，經(jīng)過對角線AC1的平面和側(cè)棱BB1相交于點F，且B1F=2BF.

(1)求證：平面記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c=2，b=1，且(sinA+sinB+C2)(sinA-sinB+C2)=0.

(1)求∠A的大小和邊a的長；

(2)若點P在△ABC的內(nèi)部或邊上運(yùn)動記點P到邊BC，CA的距離分別為x，y，點P數(shù)學(xué)建模是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一個組成部分.數(shù)學(xué)建模能力是應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的重要表現(xiàn).為全面推動數(shù)學(xué)建?；顒拥拈_展，某學(xué)校舉行了一次數(shù)學(xué)建模競賽活動.已知該競賽共有60名學(xué)生參加，他們成績的頻率分布直方圖如圖.

(1)為了對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，將60分以下的成績定為不合格，60分以上(含60分)的成績定為合格.為科學(xué)評估該校學(xué)生數(shù)學(xué)建模水平，決定利用分層抽樣的方法從這60名學(xué)生中選取10人，然后從這10人中抽取4人參加座談會.記ξ為抽取的4人中，成績不合格的人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)已知這60名學(xué)生的數(shù)學(xué)建模競賽成績X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，其中μ可用樣本平均數(shù)近似代替，σ2可用樣本方差近似代替(用一組數(shù)據(jù)的中點值作代表)，若成績在46分以上的學(xué)生均能得到獎勵.本次數(shù)學(xué)建模競賽滿分為100分，試估計此次競賽受到獎勵的人數(shù).(結(jié)果根據(jù)四舍五入保留到整數(shù)位)

解題中可參考使用下列數(shù)據(jù)：

P(μ-σ<X≤設(shè)m個互異的正偶數(shù)與n個互異的正奇數(shù)的和為99.

(1)求證：m2+m+n2≤99；

(2)求m+n的最大值.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B，且滿足BF1?BF2=0.

(1)求橢圓C的離心率e函數(shù)f(x)=lnex-1x，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f(an).答案和解析1.【答案】C

【解析】解：命題為特稱命題，則命題的否定為?x∈R，2x≥x2，

故選：C.

【解析】解：由(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx，

得(cosπ5+isinπ【解析】解：因為函數(shù)y=f(x)為R上的增函數(shù)，

則f(x)在[-2,3]上是增函數(shù)且最大值為f(3)=9，最小值為f(-2)=-6，

又∵f(x)是奇函數(shù)，

∴f(-3)=-【解析】解：依題意，得5x=x

，解得x=5，

經(jīng)過驗證滿足題意，

∴x=5.

故選：B.

依題意，得5x=【解析】解：∵考試的成績ξ服從正態(tài)分布N(10,σ2).

∴考試的成績ξ關(guān)于ξ=10對稱，

∵P(9.9≤ξ≤10.1)=0.96，

∴P(ξ<9.9)=1-0.962=0.02，

∴公司有2000名職工，則分發(fā)到的大米質(zhì)量在9.9kg以下的職工數(shù)大約為0.02×21000=20.

故選：B.

根據(jù)考試的成績ξ服從正態(tài)分布N(10,σ2).【解析】解：∵三棱錐P-ABC的底面是邊長為3的正三角形，PA=3，PB=4，PC=5，

∴PB2+BC2=PC2，∴PB⊥BC，∴△PBC是直角三角形，

如圖，由斜線長相等，則射影長相等，可得A在平面PBC內(nèi)的射影H為直角三角形PBC的外心，

故H為△PBC斜邊PC的中點，

∵AP=AC=3，H為PC中點，且PC=5，則AH=32-(52)2=9-25【解析】解：∵a>0，b<0，

∴2a>2b>0，a+1>1，log12(a+1)<log121=0，

∴x>【解析】【分析】

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性以及不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

由f(-x)=f(x)，可得f(x)在R上是偶函數(shù)，函數(shù)f(x)=ex+e-x+2cosx，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

【解答】

解：∵f(-x)=f(x)，

∴f(x)在R上是偶函數(shù)．

函數(shù)f(x)=ex+e-x+2cosx，

f'(x)=【解析】解：假設(shè)趙說了假話，則錢、孫、李說的是真話，錢、孫、李分別選了B，C，D，因為選的恰不相同，故趙選A，即趙沒有說假話，矛盾；

假設(shè)錢說了假話，則錢選的是A，而趙選A說的是假話，矛盾；

假設(shè)孫說了假話，則趙、錢、李說的是真話，一種可能是孫選的是B，錢選的是C，沒有矛盾；

假設(shè)李說了假話，則趙、錢、孫說了真話，一種可能性是李選了B，錢選了D，也沒有矛盾．

故說假話的可能是孫、李．

故選：CD.

分別假設(shè)趙、錢、孫、李說了假話，由此進(jìn)行推理，即可得到答案．

本題考查了簡單的合情推理的實際應(yīng)用，考查了學(xué)生分析問題的能力與邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題．

10.【答案】ABC【解析】解：對于A：由于?a1=a>0，

當(dāng)n≥1時，an+1=an2+1an≥2an2?1an=2，當(dāng)且僅當(dāng)an=2時，等號成立，

所以對一切n≥2(n∈N+)都有an≥2，故A錯誤；【解析】解：焦點在x軸上的橢圓過點(3,0)且離心率為63，可得a=3，c=6，所以b=3，

所以橢圓方程為：x29+y23=1.所以A正確；

因為b=3，所以B不正確；

橢圓的焦點坐標(biāo)(±6,0)，雙曲線x2-y2=3的焦點坐標(biāo)為(±6,0)，所以C正確；

直線y-1=k(【解析】解：設(shè)“好”“中”“差”三輛車的序號分別為1，2，3，

三輛車出車的順序可能為：123，132，213，231，312，321，

方案一坐車可能為：213，231，312，∴P1=36=12，

方案二坐車可能為：123，132，∴P2=26=13.

故選：ABD.

【解析】解：函數(shù)f(x)=3cos2x+sinxcosx-3=3×1+cos2x2+sin2【解析】解：設(shè)a，b是正數(shù)，

若兩直線l1：(m-1)x+(3-2m)y+1=0(m∈R)和l2：ax+by+2=0恒過同一定點，

而(m-1)x+(3-2m)y+1=0(m∈R)，即m(x-2y)-x+3y+1=0，經(jīng)過定點(-2,-1)，

故ax+by+2=0也經(jīng)過定(-2,-1)，故-【解析】解：由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，

∵sin2A+sin2B-sin2Cc=sinAsinBacosB+bcosA，

∴a2+b【解析】解：令t=|x-1|≥0，則原方程可化為2|t|=-acost，

又y=2|t|，y=-acost均為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，而方程只有一個解，

故-a=1，解得a=-1.

故答案為：{-1}.

令t=|x-1|≥0，則原方程可化為2|t|=-acost，而y=2|t|，y=-acost均為偶函數(shù)，由題意可知，方程的解只能為t=0，由此求得a的值．

本題考查函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，考查對稱性，考查分析問題解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．

17.【答案】解：(1)證明：設(shè)C1F的延長線交CB的延長線于點E，連接AE，

設(shè)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，

∵B1F=2BF，△B1C1F∽△BEF，∴BE=a2，

由∠DAB=60°=∠ABE，∠ABC=120°，

得AE=3a2，AC=3a，

∵CE=3a2，∴AE2+CE2=AC2，∴AE⊥CE，

∵ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，C1C⊥平面ABCD，【解析】(1)設(shè)四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長為a，由已知推導(dǎo)出AE⊥CE，由直四棱柱性質(zhì)得C1C⊥ABCD，從而AE⊥平面BCC1B1，由此能證明平面AC1E⊥平面BCC1B1.

(2)過C作CG⊥AC1于G，CH⊥C1F于H，連接GH，由已知得∠CGH是二面角E-AC1-C的平面角，由此能求出二面角E-AC1-C的平面角的余弦值．

本題考查面面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心思想，是中檔題．

18.【答案】解：(1)∵(sinA+sinB+C2)(sinA-sinB+C2)=0，可得sin2A=sin2B+C2.

【解析】(1)利用三角函數(shù)的倍角公式，結(jié)合余弦定理進(jìn)行求解即可．

(2)點P到AB邊的距離為z，根據(jù)S△ABC=S△PBC+S△PAC+S△PAB，建立方程關(guān)系，結(jié)合距離公式建立不等式組關(guān)系進(jìn)行求解即可．

本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合余弦定理，三角函數(shù)的倍角公式以及三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．

19.【答案】解：(1)由頻率分布直方圖和分層抽樣的方法，可知抽取的10人中合格的人數(shù)為(0.01+0.02)×20×10=6，不合格的人數(shù)為10-6=4，因此ξ的可能取值為0，1，2，ξ01234

P

1

8

3

41∴ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85；

(2)由題意可知，μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64，σ2=(30-64【解析】(1)分析可知ξ的可能取值為0，1，2，3，4，求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列，由此求出期望；

(2)求出μ及σ的值，由X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，可計算P(46<X≤82)，P(X>82)，P(X>46)，由此得解．

本題考查分層抽樣，頻率分布直方圖，離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，正態(tài)分布等知識點，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

20.【答案】解：(1)證明：記m個互異的正偶數(shù)為a1，a2，...，am，n個互異的正奇數(shù)為b1，b2，...，bn，

則a1+a2+...+am+b1+b2+...+bn=99，

由a1+a2+...+am≥2+4+6+...+2m【解析】(1)記m個互異的正偶數(shù)為a1，a2，...，am，n個互異的正奇數(shù)為b1，b2，...，bn，運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì)，即可得證；

(2)由均值不等式可得[(m+12)+n2]2≤(m+12)2+n22=99+142，化簡整理，結(jié)合m，n為正整數(shù)，可得所求最大值．

本題考查等差數(shù)列的求和，以及均值不等式的運(yùn)用：求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理能力，屬于中檔題．

21.【答案】解：(1)因為BF1?BF2=0，所以△BF1F2為等腰直角三角形，則b=c，

又a2=b2+c2=2c2，可得e=ca=22；

(2)由(1)可得b=c，a=2c，則橢圓的方程為x22c2+y【解析】(1)由向量的數(shù)量積的性質(zhì)，可得b=c，結(jié)合a，b，c的關(guān)系和離心率公式，可得所求值；

(2)由直徑所對的圓周角為直角，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及點滿足橢圓方程，求得P的坐標(biāo)，以及圓的半徑，假設(shè)存在過點F2的直線與該圓相切，

由點到直線的距離公式，解方程可得所求斜率．

本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線和橢圓、