n元齊次線性方程組有解定理的應(yīng)用

n元齊次線性方程組有解定理的應(yīng)用

n個未知方程的齊次線性方程組擁有非零解的填充條件，系數(shù)行為零，但只有零解的充要條件為系數(shù)行的填充條件，而不是零。這一理論在高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。例如，文獻中列出了“非零解條件”在分析和幾何中的應(yīng)用，文獻中列出了“非零解條件”在代數(shù)和幾何中的應(yīng)用。在這項工作中，我們試圖應(yīng)用齊次線性方程的解決方案，并使用齊次方程的解決方案。在中學(xué)數(shù)學(xué)解算中的應(yīng)用中，n元齊次線性方程組的非零解需求被應(yīng)用于中學(xué)數(shù)學(xué)。1．方程有唯一零解n元齊次線性方程組：其系數(shù)矩陣為：根據(jù)齊次線性方程組有解定理，該方程組一定有解，當D的秩等于n時，方程組有唯一零解；當D的秩小于n時，方程組有非零解.而若是n個未知數(shù)n個方程的方程組有非零解的充要條件則是系數(shù)行列式等于零，只有零解的充要條件為系數(shù)行列式不為零.2采用齊次線性方程組理論下面給出n個未知數(shù)n個方程的方程組有解定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中證明不等式、整除問題和三角恒等式三個方面的應(yīng)用.2.1-alg5例已知log215=a,log521=b,log335=c,log27=d,求證：bc+ad(b+c)>證明：∵log215=a,∴l(xiāng)g2-alg3-alg5=0，同理將其他三個式子展開得非齊次線性方程組：即知(lg2,lg3,lg5,lg7)是關(guān)于(x,y,z,w)的齊次線性方程組化簡得：bc+ad(b+c)=1-2abcd又因為2abcd=2log715·log521·log335·log72結(jié)論：該題如果直接代入證明難度較大，已知給出了四個未知數(shù)的方程，要證明的問題是bc+ad(b+c)與3/4的關(guān)系，而根據(jù)方程組有非零解條件恰好可以找到bc+ad(b+c)，從而可將問題轉(zhuǎn)化.2.2．2.2水平上的零解例已知f(x5)+xg(x5)+x2h(x5)+x3h(x5)=(1+x+x2+x3+x4)l(x)，其中f(x),g(x),h(x),k(x),l(x)均為多項式，求證：x-1能整除f(x),g(x),h(x),k(x),l(x).證明因為x5-1=(1+x+x2+x3+x4)(x-1)1+x+x2+x3+x4=0的四個根，則wk≠1，且wi≠wj,于是：又因為其系數(shù)行列式：所以方程組只有零解，因此f(1)=0,g(1)=0,h(1)=0,k(1)=0,l(1)=0,即1為f(x)=0,g(x)=0,h(x)=0,k(x)=0,l(x)=0的根，所以x-1能整除f(x)，g(x),h(x),k(x),l(x)，得證.結(jié)論：該題是將x-1能整除f(x)，g(x),h(x),k(x),l(x)問題轉(zhuǎn)化成了證明1為方程f(x)=0,g(x)=0,h(x)=0,k(x)=0,l(x)=0的解，從而證明方程組有只有零解，而構(gòu)造的方程組顯然只有零解.2.3構(gòu)造方程的系數(shù)例在△ABC中，已知a=ccosB+bcosC,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA求證：(1)c2=a2+b2-2abcosC;證明根據(jù)已知條件構(gòu)造方程組：所以方程組有非零解(cosA,cosB,1)即得c2=a2+b2-2abcosC方程組有非零解(a,b,c)，所以即得(2)cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1結(jié)論：根據(jù)問題利用已知靈活地構(gòu)造齊次方程組，如(1)中只有a.b,c,cosC，構(gòu)造的方程組的系數(shù)行列式中也只有a,b,c,cosC；而(2)中構(gòu)造的方程組的系數(shù)行列式中根據(jù)結(jié)論只能含有cosA,cosB,cosC，這樣就能將問題很好解決.3確定組合問題的方法以上通過幾個例子指出了如何利用已知條件與待解問題之間的關(guān)系構(gòu)造齊次線性方程組的方法，說明了如何利用齊次線線性方程組有非零解的條件來解決中學(xué)