北師大版九年級數(shù)學(xué)下冊 （確定二次函數(shù)的表達式）二次函數(shù)教育教學(xué)課件

2.3確定二次函數(shù)的表達式第二章二次函數(shù)

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式.(難點）2.會根據(jù)待定系數(shù)法解決關(guān)于二次函數(shù)的相關(guān)問題.（重點）1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)有幾個待定系數(shù)？通常需要已知幾個點的坐標(biāo)求出它的表達式？2.求一次函數(shù)表達式的方法是什么？它的一般步驟是什么？2個2個待定系數(shù)法(1)設(shè)：（表達式）(2)代：（坐標(biāo)代入）(3)解：方程（組）(4)還原：（寫表達式）復(fù)習(xí)引入關(guān)于y軸對稱∴特殊條件的二次函數(shù)的表達式已知二次函數(shù)y＝ax2＋c的圖象經(jīng)過點(2,3)和(－1,－3)，求這個二次函數(shù)的表達式．

解:∵該圖象經(jīng)過點（2,3）和(－1,－3)，

3=4a+c，－3=a+c，∴所求二次函數(shù)表達式為

y=2x2－5.a=2，c=－5.解得{{新課講解1例11.已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx的圖象經(jīng)過點(－2，8)和(－1，5)，求這個二次函數(shù)的表達式．

解:∵該圖象經(jīng)過點（－2,8）和（－1,5），圖象經(jīng)過原點8=4a－2b，5=a－b，∴

解得a=－1,b=－6.∴y=－x2－6x.{新課講解針對訓(xùn)練頂點法求二次函數(shù)的表達式

選取頂點（－2，1）和點（1，－8），試求出這個二次函數(shù)的表達式.解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達式是y=a(x－h(huán))2＋k,把頂點（－2，1）代入y=a(x－h(huán))2＋k得

y=a(x＋2)2＋1，再把點（1，－8）代入上式得

a(1＋2)2＋1=－8，

解得a=－1.∴所求的二次函數(shù)的表達式是y=－(x＋2)2＋1

或y=－x2－4x－3.新課講解2例2頂點法求二次函數(shù)的方法這種知道拋物線的頂點坐標(biāo)，求表達式的方法叫做頂點法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達式是y=a(x－h(huán))2＋k；②先代入頂點坐標(biāo)，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將另一點的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達式.歸納總結(jié)2.

一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)點(0,1)，它的頂點坐標(biāo)為(8,9)，求這個二次函數(shù)的表達式.解：因為這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)為(8,9)，因此，可以設(shè)函數(shù)表達式為

y=a(x－8)2＋9.又由于它的圖象經(jīng)過點(0,1)，可得

1=a(0－8)2＋9.

解得∴所求的二次函數(shù)的表達式是新課講解針對訓(xùn)練

解：∵（－3，0）（－1，0）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點.所以可設(shè)這個二次函數(shù)的表達式是y=a(x－x1)(x－x2).(其中x1、x2為交點的橫坐標(biāo).因此得

y=a(x＋3)(x＋1).再把點（0，－3）代入上式得a(0＋3)(0＋1)=－3，解得a=－1，∴所求的二次函數(shù)的表達式是y=－(x＋3)(x＋1),即y=－x2－4x－3.

選?。ǎ?，0），（－1，0），（0，－3），試求出這個二次函數(shù)的表達式.

xyO12-1-2-3-4-1-2-3-4-512新課講解交點法求二次函數(shù)的表達式3例3交點法求二次函數(shù)表達式的方法這種知道拋物線與x軸的交點，求表達式的方法叫做交點法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達式是y=a(x－x1)(x－x2)；②先把兩交點的橫坐標(biāo)x1,x2代入到表達式中，得到關(guān)于

a的一元一次方程；③將另一點的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達式.歸納總結(jié)

確定二次函數(shù)的這三點應(yīng)滿足什么條件？任意三點不在同一直線上（其中兩點的連線可平行于x軸，但不可以平行于y軸.新課講解問題一般式法求二次函數(shù)的表達式

（1）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中有幾個待定系數(shù)？需要幾個拋物線上的點的坐標(biāo)才能求出來？3個3個（2）下面是我們用描點法畫二次函數(shù)的圖象所列表格的一部分：x－3－2－1012y010－3－8－15新課講解4問題1解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達式是y=ax2+bx+c,把（－3，0），（－1，0），（0，－3）代入y=ax2+bx+c得①選?。ǎ?，0），（－1，0），（0，－3），

試求出這個二次函數(shù)的表達式.

9a－3b+c=0，a－b+c=0，c=－3，解得a=－1，b=－4，c=－3.∴所求的二次函數(shù)的表達式是y=－x2－4x－3.待定系數(shù)法步驟：1.設(shè)：（表達式）2.代：（坐標(biāo)代入）3.解：方程（組）4.還原：（寫表達式）新課講解這種已知三點求二次函數(shù)表達式的方法叫做一般式法.其步驟是：①設(shè)函數(shù)表達式為y=ax2＋bx＋c；②代入后得到一個三元一次方程組；③解方程組得到a,b,c的值；④把待定系數(shù)用數(shù)字換掉，寫出函數(shù)表達式.一般式法求二次函數(shù)表達式的方法新課講解

3.

一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(0,1)、(2,4)、(3,10)三點，求這個二次函數(shù)的表達式.解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達式是y=ax2+bx+c,由于這個函數(shù)經(jīng)過點(0,1)，可得c=1.又由于其圖象經(jīng)過(2,4)、(3,10)兩點，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解這個方程組，得∴所求的二次函數(shù)的表達式是新課講解針對訓(xùn)練1.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)圖象的表達式應(yīng)是

.

注y=ax2與y=ax2＋k、y=a(x－h(huán))2、y=a(x－h(huán))2+k一樣都是頂點式，只不過前三者是頂點式的特殊形式.注意xyO12-1-2-3-421345隨堂即練2.過點（2，4），且當(dāng)x=1時，y有最值為6，則其表達式是

.頂點坐標(biāo)是（1，6）y=－2(x－1)2＋6隨堂即練3.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(－1，－5)，(0，－4)

和(1，1)．求這個二次函數(shù)的表達式．解：設(shè)這個二次函數(shù)的表達式為y＝ax2＋bx＋c．依題意得∴這個二次函數(shù)的表達式為y＝2x2＋3x－4.a＋b＋c＝1，c＝－4，a-b＋c＝－5，解得b＝3，c＝－4，a＝2，隨堂即練4.已知拋物線與x軸相交于點A(－1，0)，B(1，0)，且過點M(0，1)，求此函數(shù)的表達式．解：因為點A(－1，0)，B(1，0)是圖象與x軸的交點，所以設(shè)二次函數(shù)的表達式為y＝a(x＋1)(x－1)．又因為拋物線過點M(0，1)，所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，所以所求拋物線的表達式為y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.隨堂即練5.綜合題：如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(2，0)，B(0，－6)兩點．(1)求這個二次函數(shù)的表達式；(2)設(shè)該二次函數(shù)的對稱軸與x軸交于點C，連接BA，BC，

求△ABC的面積．ABCxyO(1)(2)△ABC的面積是6.隨堂即練6.已知一條拋物線經(jīng)過E（0，10），F(xiàn)（2，2），G（4，2），H（3，1）四點，選擇其中兩點用待定系數(shù)法能求出拋物線解析式的為（）A．E，F(xiàn)B．E，GC．E，HD．F，GC隨堂即練7.如果拋物線y=x2－6x+c－2的頂點到x軸的距離是3，那么c的值等于（）A．8B．14C．8或14D．－8或－14C隨堂即練8.如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c過點A(－4，－3)，與y軸交于點B，對稱軸是x＝－3，請解答下列問題：(1)求拋物線的表達式；解：把點A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.∵對稱軸是x＝－3，∴＝－3，∴b＝6，∴c＝5，∴拋物線的表達式是y＝x2＋6x＋5；隨堂即練(2)若和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點，點C

在對稱軸左側(cè)，且CD＝8，求△BCD的面積．∵CD∥x軸，∴點C與點D關(guān)于x＝－3對稱．∵點C在對稱軸左側(cè)，且CD＝8，∴點C的橫坐標(biāo)為－7，∴點C的縱坐標(biāo)為(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.∵點B的坐標(biāo)為(0，5)，∴△BCD中CD邊上的高為12－5＝7，∴△BCD的面積＝×8×7＝28.隨堂即練①已知三點坐標(biāo)②已知頂點坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值③已知拋物線與x軸的兩個交點已知條件所選方法用一般式法：y=ax2+bx+c用頂點法：y=a(x－h(huán))2+k用交點法：y=a(x－x1)(x－x2)

(x1,x2為交點的橫坐標(biāo)）待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式課堂小結(jié)確定二次函數(shù)的表達式

第二章二次函數(shù)知識點1

用一般式(三點式)確定二次函數(shù)表達式1.圖象經(jīng)過(1,0),(2,0)和(0,2)三點的二次函數(shù)的表達式是

(D)A.y=2x2+x+2 B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3 D.y=x2-3x+22.若y=ax2+bx+c,則由表格中信息可知,y與x之間的函數(shù)表達式為

(A)A.y=x2-4x+3 B.y=x2-3x+4C.y=x2-3x+3 D.y=x2-4x+83.拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過點A(2,-3),與x軸負半軸交于點B,與y軸交于點C,且OC=3OB,求拋物線的表達式.解:由y=ax2+bx-3得點C(0,-3),∴OC=3.∵OC=3OB,∴OB=1,∴點B(-1,0).把點A(2,-3),B(-1,0)代入y=ax2+bx-3,∴拋物線的表達式為y=x2-2x-3.知識點2

用頂點式確定二次函數(shù)表達式4.某二次函數(shù)的圖象如圖所示,則它的表達式為

(D)

A.y=2x2-4x B.y=-x(x-2)C.y=-(x-1)2+2 D.y=-2x2+4x5.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的頂點坐標(biāo)為(-2,5),且經(jīng)過點(1,-4),試確定a,b,c的值.解:由題意可設(shè)二次函數(shù)的表達式為y=a(x+2)2+5,把點(1,-4)代入上式,得-4=a(1+2)2+5,解得a=-1,∴二次函數(shù)的表達式為y=-(x+2)2+5=-x2-4x+1,∴a=-1,b=-4,c=1.知識點3

用交點式確定二次函數(shù)表達式6.拋物線與x軸交點的橫坐標(biāo)為-2和1,且過點(2,8),則它對應(yīng)的二次函數(shù)表達式為

(D)A.y=2x2-2x-4 B.y=-2x2+2x-4C.y=x2+x-2 D.y=2x2+2x-47.已知某拋物線與x軸的交點坐標(biāo)是A(-3,0),B(2,0),且經(jīng)過點C(1,4),求該拋物線的表達式.解:(1)設(shè)該拋物線的表達式為y=a(x+3)(x-2)(a≠0).則-4a=4,解得a=-1,則y=-(x+3)(x-2),即該拋物線的表達式為y=-x2-x+6.綜合能力提升練8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四條拋物線如圖所示,其表達式中的二次項系數(shù)一定小于1的是

(A)

A.y1 B.y2 C.y3 D.y49.如圖為拋物線y=ax2+bx+c的圖象,A,B,C為拋物線與坐標(biāo)軸的交點,且OA=OC=1,則下列關(guān)系中正確的是

(B)

A.a+b=-1 B.a-b=-1C.b<2a D.ac<010.若拋物線C:y=ax2+bx+c與拋物線y=x2-2關(guān)于x軸對稱,則拋物線C的表達式為

(C)A.y=x2-2 B.y=-x2-2

C.y=-x2+2D.y=x2+211.將拋物線y=x2+bx+c的圖象先向右平移2個單位,再向下平移3個單位,所得圖象的表達式為y=x2-2x-3,則b,c的值分別為

(B)A.2,2 B.2,0 C.-2,-1D.-3,212.若二次函數(shù)y=x2-8x+c的最小值是0,則c的值是

(D)A.4 B.8 C.-4 D.1613.二次函數(shù)y=x2-3x+m的頂點在x軸上,則m的值是

.

14.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=-3,圖象經(jīng)過點(1,6),且與y軸的交點為(1)求該二次函數(shù)的表達式;(2)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值y隨x值的增大而增大?15.(赤峰中考)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象交x軸于A,B兩點,交y軸于點D,點B的坐標(biāo)為(3,0),頂點C的坐標(biāo)為(1,4).(1)求二次函數(shù)的表達式和直線BD的表達式;(2)P是直線BD上的一個動點,過點P作x軸的垂線,交拋物線于點M,當(dāng)點P在第一象限時,求線段PM長度的最大值.解:(1