2021.06.03-71個(gè)模型 模型33-34：?jiǎn)尉€段 雙線段 三線段的最值問題 模型分析 經(jīng)典例題 鞏固提升盡有?。ǜ絯ord）

模型33單線段的最值問題類型一：動(dòng)點(diǎn)軌跡--直線型動(dòng)點(diǎn)軌跡為一條直線時(shí)，利用“垂線段最短”求最值。當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡確定時(shí)可直接運(yùn)用垂線段最短求最值當(dāng)動(dòng)點(diǎn)軌跡不易確定是直線時(shí)，可通過以下三種方法進(jìn)行確定=1\*GB3①觀察動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到特殊位置時(shí)，如中點(diǎn)，端點(diǎn)等位置時(shí)是否存在動(dòng)點(diǎn)與定直線的端點(diǎn)連接后的角度不變，若存在該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線。=2\*GB3②當(dāng)某動(dòng)點(diǎn)到某條直線的距離不變時(shí)，該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為直線。=3\*GB3③當(dāng)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)以某個(gè)字母的代數(shù)式表示時(shí)，若可化為一次函數(shù)，則點(diǎn)的軌跡為直線。類型二：動(dòng)點(diǎn)軌跡--圓或圓弧型動(dòng)點(diǎn)的軌跡為定圓時(shí)，可利用：“一定點(diǎn)與圓上的動(dòng)點(diǎn)距離最大值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之和，最小值為定點(diǎn)到圓心的距離與半徑之差”的性質(zhì)求解。確定動(dòng)點(diǎn)軌跡為圓或者圓弧型的方法:動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離不變，則點(diǎn)的軌跡是圓或者圓弧。當(dāng)某條邊與該邊所對(duì)的角是定值時(shí)，該角的頂點(diǎn)的軌跡是圓，具體運(yùn)用如下;=1\*GB3①見直角，找斜邊，想直徑，定外心，現(xiàn)圓形=2\*GB3②見定角，找對(duì)邊，想周角，轉(zhuǎn)心角，現(xiàn)圓形類型三：動(dòng)點(diǎn)軌跡--不確定型動(dòng)點(diǎn)軌跡非圓或直線時(shí)，基本上將此線段轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形中，（1）利用三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求最值。（2）在轉(zhuǎn)化較難進(jìn)行時(shí)，可借助直角三角形斜邊上的中線及中位線或構(gòu)建全等圖形進(jìn)一步轉(zhuǎn)化求最值。

【經(jīng)典例題】例1．（2020·安徽馬鞍山市·馬鞍山八中九年級(jí)期末）如圖，拋物線y＝x2－4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，P是以點(diǎn)C（0，3）為圓心，2為半徑的圓上的動(dòng)點(diǎn)，Q是線段PA的中點(diǎn)，連結(jié)OQ，則線段OQ的最大值是（）A．1.5 B．3 C．3.5 D．4

例2．（2020·河南安陽市·九年級(jí)期中）如圖，矩形和正方形中，，，正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最小值為______

例3．（2020·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A在拋物線y＝﹣x2+6x上，且橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，直線AB與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，2）（1）求線段AB的長(zhǎng)（2）點(diǎn)P為線段AB上方拋物線上的任一點(diǎn)，過P作AB的垂線交AB于點(diǎn)H，點(diǎn)F為y軸上一點(diǎn)，當(dāng)△PBE的面積最大時(shí)，求PH+HF+FO的最小值（3）在（2）中，當(dāng)PH+HF+FO取得最小值時(shí)，將△CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后得到，過點(diǎn)作的垂線與直線AB交于點(diǎn)Q，點(diǎn)R為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，M為平面直角坐標(biāo)系中的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在使以點(diǎn)D，Q，R，M為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在請(qǐng)直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由

【鞏固提升】1．（2020·浙江杭州市·樹蘭中學(xué)九年級(jí)月考）如圖所示，是半圓的直徑，，，是弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)，不含端點(diǎn)），連接，過點(diǎn)作于，連接，在點(diǎn)移動(dòng)的過程中，的取值范圍是（）A． B．C． D．

2．（2020·臺(tái)州市路橋?qū)嶒?yàn)中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，邊長(zhǎng)為2a的等邊△ABC中，D為BC中點(diǎn)，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN，則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是（）A．a(chǎn) B． C． D．

3．（2021·湖北鄂州市·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，，，分別以、為邊作等邊、等邊，連接．則線段長(zhǎng)的最大值為______．

4．（2020·常州二十四中學(xué)九年級(jí)月考）如圖，在等腰直角△ABC中，斜邊AB的長(zhǎng)度為8，以AC為直徑作圓，點(diǎn)P為半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，取BP的中點(diǎn)M，CM的最小值為______．

5．（2018·云南昆明市·云大附中九年級(jí)期末）定義：長(zhǎng)寬比為（為正整數(shù)）的矩形稱為矩形．下面，我們通過折疊的方式折出一個(gè)矩形，如圖所示．操作1：將正方形沿過點(diǎn)的直線折疊，使折疊后的點(diǎn)落在對(duì)角線上的點(diǎn)處，折痕為．操作2：將沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)、點(diǎn)分別落在邊、上，折痕為．則四邊形為矩形．（1）證明：四邊形為矩形；（2）點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)．①如圖，是對(duì)角線的中點(diǎn)，若點(diǎn)在邊上，，連接．求的值；②若，點(diǎn)在邊上，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，求的值．③連接，作，垂足為．若，則的最小值為．

6．（2020·鹽城市初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）[閱讀材料]如圖1所示，對(duì)于平面內(nèi)⊙P，在⊙P上有弦AB，取弦AB的中點(diǎn)M，我們把弦AB的中點(diǎn)M到某點(diǎn)或某直線的距離叫做弦AB到這點(diǎn)或者這條直線的“密距”例如：圖1中線段MO的長(zhǎng)度即為弦AB到原點(diǎn)O的“密距”，過點(diǎn)M作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)N線段MN的長(zhǎng)度即為弦AB到y(tǒng)軸的“密距”．[類比應(yīng)用]已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2，弦AB的長(zhǎng)度為2，弦AB的中點(diǎn)為M．（1）當(dāng)AB//y軸時(shí)，如圖2所示，圓心P到弦AB的中點(diǎn)M的距離是____，此時(shí)弦AB到原點(diǎn)O的“密距”是；（2）①如果弦AB在⊙P上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，圓心P到弦AB的中點(diǎn)M的距離變化嗎?若不變化，請(qǐng)求出PM的長(zhǎng)，若變化，請(qǐng)說明理由．②直接寫出弦AB到原點(diǎn)O的“密距”d的取值范圍；[拓展應(yīng)用]如圖3所示，已知⊙P的圓心為P（0，4），半徑為2,點(diǎn)A（0，2），點(diǎn)B為⊙P上白一動(dòng)點(diǎn)，有直線y=-x-3，弦AB到直線y=-x-3的“密距”的最大值是．（直接寫出答案）

模型34多線段的最值問題【模型分析】

【經(jīng)典例題】例1．（2020·樂山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，等腰的底邊，面積為120，點(diǎn)P在邊BC上，且，是腰AC的垂直平分線，若點(diǎn)D在上運(yùn)動(dòng)，則周長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．17

例2．（2020·浙江嘉興市·八年級(jí)期末）如圖，內(nèi)有一定點(diǎn)P，且，在上有一動(dòng)點(diǎn)Q，上有一動(dòng)點(diǎn)R，若周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是___________．

例3．（2020·浙江金華市·九年級(jí)期末）如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸于點(diǎn)B，在x軸上有動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線交直線于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M．（1）求a的值和直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)的周長(zhǎng)為的周長(zhǎng)為，若，求m的值；（3）如圖2，當(dāng)，將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角為，連接，求的最小值．

【鞏固提升】1．（2020·廣西貴港市·真題）如圖，動(dòng)點(diǎn)在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)，且，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，則線段的最小值為（）A． B． C． D．

2．（2021·廣東肇慶市·八年級(jí)期末）如圖，等邊△ABC中，BD⊥AC于D，AD=3.5cm，點(diǎn)P、Q分別為AB、AD上的兩個(gè)定點(diǎn)且BP=AQ=2cm，在BD上有一動(dòng)點(diǎn)E使PE+QE最短，則PE+QE的最小值為（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

3．（2020·廣州白云廣雅實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)為D，且與軸分別交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），P為拋物線對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____

4．（2020·陜西渭南市·九年級(jí)期末）如圖，是⊙的一條弦，點(diǎn)是⊙上一動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，直線與⊙交于、兩點(diǎn)，若⊙的半徑為，則的最大值為_______

5．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)八年級(jí)期末）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，直線分別交x軸，y軸于點(diǎn)D，E，且直線于點(diǎn)C．（1）如圖1，在y軸上有一長(zhǎng)為的線段（點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方），當(dāng)線段在y軸正半軸移動(dòng)時(shí)，求的最小值．（2）如圖2，將沿直線方向平移至點(diǎn)E恰好位于x軸上時(shí)，記作，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角度為，旋轉(zhuǎn)中的三角形記作，在旋轉(zhuǎn)過程中，邊所在的直線分別交直線于點(diǎn)K，H，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

6．（2020·遼寧沈陽市·九年級(jí)期末）如圖，在邊長(zhǎng)為16的菱形中