第三章 剛體力學(xué)

第三章剛體力學(xué)第1頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月2剛體運動的分類只要確定剛體內(nèi)不在同一直線上的三點的位置，即就確定了剛體的位置。三點的空間位置的確定，原則上需九個獨立變量，但事實上，由于剛體內(nèi)任意兩點的距離是固定不變的，所以三個質(zhì)點受到三個約束方程，從而從九個獨立變量減少的六個獨立變量在某些限制條件下，剛體可做少于六個獨立變量的運動I平動在剛體運動過程中，如

剛體內(nèi)任意兩點的連線在各個時刻都保持平行，則稱剛體做平動。運動軌跡可是直線或曲線第2頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月特點：剛體內(nèi)任意一點都具有相同的速度，加速度，所以任意一點的運動都可代表剛體的運動。所以只需3個獨立變量，就能描述剛體的平動。II定軸轉(zhuǎn)動剛體運動時始終有兩個質(zhì)點不動，即剛體只能繞這兩點的連線做轉(zhuǎn)動，即定軸轉(zhuǎn)動。不動的兩點的連線就成了確定的轉(zhuǎn)軸。顯然，只需確定繞定軸轉(zhuǎn)了多少度，就能描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動，因而只需1個獨立變量來描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動。

第3頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月III平面平行運動剛體運動時，其中任意一點始終平行于某一固定的平面的運動，就叫做平面平行運動。剛體可做平行于固定平面的平動和垂直于固定平面的轉(zhuǎn)軸做轉(zhuǎn)動.只需3個獨立變量來描述。IV定點轉(zhuǎn)動剛體運動時，只有一點固定不動，整個剛體圍繞著通過這一點的某一瞬時轉(zhuǎn)動軸轉(zhuǎn)動，這樣的運動稱為定點轉(zhuǎn)動。只需3個獨立變量來描述，兩個確定瞬時轉(zhuǎn)動軸的空間取向，一個確定剛體繞該軸線轉(zhuǎn)了多少度。第4頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月V一般運動剛體運動時，不受任何限制。此時可把剛體的運動分解為質(zhì)心的平動（3個獨立變量）和繞通過質(zhì)心的某直線的定點轉(zhuǎn)動（3個獨立變量。因而描述剛體的一般運動需6個獨立變量，正好與剛體空間位置的確定的獨立變量數(shù)相同?！?.2角速度矢量一、有限轉(zhuǎn)動和無限小轉(zhuǎn)動第5頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月yzxxxyyyzxzzxzyxyz原來的位置繞在z軸轉(zhuǎn)90度繞在y軸轉(zhuǎn)90度原來的位置繞在y軸轉(zhuǎn)90度1.有限轉(zhuǎn)動第6頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月有限轉(zhuǎn)動不能對易，所以有限轉(zhuǎn)動不是矢量或者說有限角位移不是矢量。2.無限小轉(zhuǎn)動角位移：剛體繞通過定點O的某軸線轉(zhuǎn)個微小角度，像位移應(yīng)是一矢量，我們在轉(zhuǎn)軸上取有向線段來表示其大小和方向，有大?。悍较颍河沂致菪▌t有大小和方向，還需證明其滿足平行四邊行法則才是矢量第7頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月角位移的矢量性證明如圖所示，設(shè)某剛體繞通過定點O的某軸線做轉(zhuǎn)動，。其中一質(zhì)點在P點對點O的位矢為，經(jīng)微小過程，發(fā)生的位移為，運動到P’點，此時該質(zhì)點的位矢OMP’P目標(biāo)：證剛體經(jīng)過兩次微小的轉(zhuǎn)動所發(fā)生的角位移和可對易，即我們知是可對易，若能用表達出，則問題就可能解決注意：既然是無限小轉(zhuǎn)動，就可把轉(zhuǎn)軸看做是不變的。所以，在定軸轉(zhuǎn)動下討論問題第8頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月必垂直與和構(gòu)成的平面轉(zhuǎn)動前是：轉(zhuǎn)動后：通過類比，再轉(zhuǎn)動后的位矢：略去二階小量，第二次轉(zhuǎn)動所發(fā)生的位矢的變化量第9頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月則因所以即為矢量角速度矢量

角速度：既然角位移是矢量，則角速度也是矢量，且與角位移的方向相同轉(zhuǎn)動瞬軸：定點轉(zhuǎn)動時某時刻的轉(zhuǎn)軸第10頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月線速度：因轉(zhuǎn)動而具有的速度線速度和角速度之間的關(guān)系：為剛體內(nèi)某質(zhì)點到點O的位矢，是剛體繞通過該點某軸線的角速度注：剛體內(nèi)不同的質(zhì)點到點O的位矢不同，線速度就不同，但角速度是整個剛體所共有，剛體內(nèi)任意質(zhì)點的角速度都一樣。重要推論：從線速度的表達式，可看出某矢量因轉(zhuǎn)動而引起的對時間的變化率（實際就是該矢量方向?qū)r間變化率)等于該矢量轉(zhuǎn)動的角速度與該矢量的叉積第11頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月比如在第一章：第12頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.3歐拉角一歐拉角描述剛體定點轉(zhuǎn)動時的三個獨立變量

歐拉角的選取：設(shè)O為定點，為靜止坐標(biāo)系，為固定在剛體上的隨動坐標(biāo)系，并選z軸為瞬時轉(zhuǎn)動軸。開始二者重合，如圖ηξO第13頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月為讓兩坐標(biāo)系分離：’繞O轉(zhuǎn)動，ON稱為節(jié)線ηξx’Ny’O繞ON節(jié)線轉(zhuǎn)θηξy’’zθNx’O第14頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月繞Oz轉(zhuǎn)ψy,ηzx,ξy’’zθNx’yxψψM經(jīng)三步可達任何位置，由此定義出的稱為進動角，章動角，自轉(zhuǎn)角，相應(yīng)的取值范圍0≤≤2π，0≤θ≤π，0≤ψ≤2πON總是與轉(zhuǎn)動瞬軸z垂直，ON動（只能在固定平面繞O點轉(zhuǎn)動）則Oz必動（反過來不成立）所以轉(zhuǎn)動瞬軸z的空間取向由和確定，O注意在第三次轉(zhuǎn)動前oz,,oy’’在同一個平面，但Oy’’繞Oz轉(zhuǎn)到Oy后，已不在Oxz這個平面第15頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月二，歐拉運動學(xué)方程

如剛體繞著通過頂點O的某一軸線以轉(zhuǎn)動，則在活動坐標(biāo)系的投影為實際上，據(jù)剛才的分析，可認(rèn)為是剛體繞軸轉(zhuǎn)動的角速度，繞ON軸轉(zhuǎn)動的角速度，和繞z軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和Oy,ηzx,ξy’’zθNx’yxψψM注意角速度是以靜止坐標(biāo)系為參考，因而某時刻在xyz的分量是絕對的，而不是相對于隨動坐標(biāo)系的角速度，因隨坐標(biāo)系本身就固著在剛體上，與剛體具有相同的角速度，本身相對本身那角速度就是零了，顯然失去了研究的意義。第16頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月y,ηzx,ξy’’zθNx’yxψψMxy已知,θ(t),ψ(t)可以求得ω，反之亦然。第17頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.4剛體運動方程與平衡方程一、力系（外力組成的力系）的簡化

力的可傳性原理：剛體所受的力可沿作用線滑移而不改變其作用效果的性質(zhì)BAFF-F對剛體來講，力成為可滑移矢量力的作用線可否隨意移動？第18頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月I平面非平行力系的化簡

利用力的可傳性原理，先將其中兩力匯交于一點，再利用平行四邊行法則求和得兩力的合力，又利用力的可傳性原理，讓該合力再與第三個力匯交于一點，依次類推，就能求的n個平面非平行力系的合力第19頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月II平面平行力系的化簡

顯然由于不能匯交于一點，平行四邊形法則失效，但平面平行力系的合力量值和方向容易確定。合力的作用線可用力矩關(guān)系確定，即合力對垂直于各力所在平面的某軸線的力矩應(yīng)與各分力對同一軸線的力矩的代數(shù)和相等yzx第20頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月力偶：大小相等方向相反彼此平行的一對力AB力偶臂：兩平行力之間的垂直距離如圖所示的O1O2PO1O2力偶對任意一點P的力矩等于兩平行力對同一點P的力矩之代數(shù)和力偶矩：力和力偶臂的乘積，方向右手螺旋法則力偶面：力偶所在的平面即為力偶面矩心P是任意的，但力偶矩的大小和方向是確定的，所以力偶矩與矩心無關(guān)，力偶矩可在垂直于力偶面隨意滑動，因而是一“自由矢量”，其唯一的作用效果就是產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)第21頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月若以的作用點A為參考，為的作用點B指向點A的位矢則合力矩，反過來也行III空間共點力系和平行力系的化簡與共面力系相同，共點力系兩兩合成，平行力系先得合力大小方向，再利用合力的對某垂直平行力的軸線之力矩等于各分力對同軸線力矩之代數(shù)來確定合力的作用線

第22頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月III空間任意力系的簡化設(shè)為作用在剛體A點上的一個力，P點為空間任意一點，但不在的作用線上。在P點添加兩個與的作用線平行的力,,并讓這兩個力大小都等于，但方向相反，即AP顯然這樣添加之后，給沒添加的作用效果完全一樣，因而我們可以把力的作用效果分解為過指定的P點的一個力和一個力偶的作用效果。該力：大小方向與相同，即把遷移到了P點，但要消除遷移的影響，必加上一力偶，相對于P，該力偶矩。而P點稱為簡化中心。本質(zhì)就是加上該力對簡化中心的力矩.因而我們也可以說某力對某點的力矩等價于一力偶第23頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月推廣到n個力組成的任意力系，我們可采用同樣的方法，確定一簡化中心P，對每一個力進行遷移并加上相應(yīng)的一力偶，從而可在P點形成共點的n個力和n個力偶相應(yīng)的力偶矩，對它們矢量求和，即可得合力和合力偶矩，并分別稱為主矢和主矩在剛體力學(xué)中，通常以質(zhì)心作為簡化中心，于是主矢使剛體質(zhì)心的平動運動狀態(tài)發(fā)生變化，而外力對質(zhì)心的主矩則使剛體繞通過質(zhì)心的軸線的轉(zhuǎn)動運動狀態(tài)發(fā)生變化。若主矢和主矩都為零，則剛體處于平衡態(tài)；僅主矩為零，剛體只做平動；僅主矢為零，剛體只做轉(zhuǎn)動；都不為零，既做平動也做轉(zhuǎn)動。第24頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月二、剛體的運動微分方程1.質(zhì)心運動方程根據(jù)質(zhì)心運動定理，取質(zhì)心為簡化中心，則

分量式：

繞質(zhì)心的運動方程則為：

分量式：

剛體對質(zhì)心的總角動量對時間的微商等于剛體所受諸外力對質(zhì)心的力矩之矢量和，即等于以質(zhì)心為簡化中心的主矩為剛體質(zhì)心相對于某定點O的位矢第25頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月轉(zhuǎn)動相對于固定坐標(biāo)系某定點O而言，角動量定理也具有相同的形式此時以定點O為簡化中心從剛才的分析，處理剛體的運動，通常分解為剛體質(zhì)心的平動和繞剛體質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，應(yīng)用質(zhì)心運動定理（動量定理）和對質(zhì)心的角動量定理求解。共六個方程，而剛體的一般運動只需用六個獨立變量來描述，因而正好可以求解第26頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月對剛體的動能定理，與對普通質(zhì)點組有所不同，此時由于兩質(zhì)點間的距離不在發(fā)生變化,內(nèi)力所做的功等于零，剛體總動能的微分僅僅等于所有外力所做的元功O21若諸外力都是保守力，則剛體的機械能守恒剛體的動能定理或機械能守恒定律為輔助方程，可代替前面六個方程的任何一個來進行求解第27頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月三、剛體的平衡方程從前面的分析，剛體在任意力系下，要平衡，就必須滿足以任意點為簡化中心的主矢和主矩分別為零，即或者通俗的說剛體平衡要求剛體所受的合外力和諸外力對任意點的力矩必為零，若寫成分量形式即為與剛體的運動微分方程相似，剛體有六個獨立變量，上面的六個分量方程剛好規(guī)定了一剛體在外力作用下的平衡位形第28頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月對共面力系（以力系所在平面為xoy面）：（1）對共面共點力系（包括定點或定軸所施加的作用力都通過該點），對剛體無轉(zhuǎn)動效果，力矩必然是零，所以合力為零即可（2）對平行力系，如與y軸平行，則只需（3）對只受三非平行共面力系，剛體平衡要求三力必交匯于一點。因不交匯于一點就必有轉(zhuǎn)動效果,如圖F1F3F2該條件也等價于共面力系對不共線的三點的力矩為零。由于共面力系等價于一力或一力偶（視參考點來說的），又因力偶的矩心是任意的，所以只要對一點的力矩為零，則力共面力系不能簡化為一力偶；對不共線的三點力矩為零，則不可能簡化為一單力（兩點可以,單力剛好通過該兩點）第29頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例1，如圖一根均勻的棍子，重為P，長為今將其一端置于粗糙的地面上，又以其上的C點靠在墻上，墻離地面的高度為h,當(dāng)棍子與地面的角度成最小值時，棍子在上述位置仍處于平衡狀態(tài)，求棍與地面的摩擦因素xyN1N2PfAC第30頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月例2，長為的均質(zhì)棒，一端抵在光滑墻上而棒身則斜靠在與墻相距為的光滑菱角上，求棒在平衡時與水平面的夾角N1N2GAByx可用平衡方程和三線匯交于一點的幾何方法第31頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月§3.5轉(zhuǎn)動慣量一、剛體的動量矩（角動量）1.矢量式假設(shè)剛體在某一時刻以角速度繞某瞬時軸線做定點轉(zhuǎn)動，在其內(nèi)部任取一質(zhì)點，質(zhì)量為，速度為。若該質(zhì)點相對于定點O的位矢是，則它對定點O的角動量為Oxyz整個剛體的角動量則為第32頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月由于兩矢量點積是一標(biāo)量，所以上式表明和一般不共線，而是成一定的夾角。只有當(dāng)下面兩種情況，不僅共線而且同向（1）剛體做平面平行運動繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動，在上述表達式的第二項，以質(zhì)心為，所以為零，因而

（2）剛體做定點轉(zhuǎn)動，但轉(zhuǎn)軸為慣量主軸（本節(jié)后面部分）也可從任意一平行于固定平面的薄片能代表整個剛體的運動來理解，o點在薄片上，從特殊到一般第33頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月2.剛體角動量的分量式在某固定坐標(biāo)系下（下面求和符號均表示是從i到n求和）??????++--=-++-=)()(2222iiiziiiyiiixziiiziiiyiiixyyxmyzmxzmJzymxzmxymJwwwwww類比于上式第34頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月定義則?????????+==-==+====+=)()()(222222iiizziiizyiiizxiiiyziiiyyiiiyxiiixziiixyiiixxyxmIyzmIxzmIzymIxzmIxymIzxmIyxmIzymI比較有規(guī)律，對角線上為正，非對角為負(fù)，系數(shù)（正負(fù)包括在內(nèi)）則是慣量張量。第35頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月二、剛體的轉(zhuǎn)動動能剛體的轉(zhuǎn)動動能的另一種表達形式：轉(zhuǎn)動慣量O’Oriωθi第36頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月三、轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量，是表征物體轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣性大小的一種量度，與平動時的質(zhì)量相當(dāng)。有大小沒有方向。轉(zhuǎn)動慣量總是針對于某軸來說的，因此其大小，一方面取決于質(zhì)量的分布，一方面取決于轉(zhuǎn)動軸。比如，一根均質(zhì)棒繞垂直于端點和繞垂直于中心的軸線轉(zhuǎn)動，顯然其轉(zhuǎn)動慣性的大小不一樣，所以其轉(zhuǎn)動慣量也不一樣。練習(xí)求均質(zhì)圓盤或圓環(huán)繞x和z軸的轉(zhuǎn)動慣量；可以以它們?yōu)槲⒃髮嵭那蚧驁A柱體，空心球或圓筒的繞通過圓心的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。微元相對于轉(zhuǎn)軸的垂直距離離散連續(xù)第37頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月（離散的采用求和，連續(xù)的采用積分）但存在著本質(zhì)的區(qū)別。除概念上的不同外，另一方面，一質(zhì)點組確定后，質(zhì)心則是確定的，不因參考點的不同而不同（相對剛體的空間位置），但剛體對不同的轉(zhuǎn)動軸線，如前面所講是不同的。對于質(zhì)量分布不均或形狀不規(guī)則，兩者均從實驗得出對質(zhì)量均勻分別或按一定規(guī)律分布的剛體，求轉(zhuǎn)動慣量的方法與求質(zhì)心類似。第38頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月平行軸定理：對質(zhì)量為m的剛體，若對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為，則對任意一平行于質(zhì)心軸，相距為d的軸線的轉(zhuǎn)動慣量為對任意兩平行軸，則要經(jīng)過一定的變換分別為兩軸線到與它們平行的質(zhì)心軸的距離

回轉(zhuǎn)半徑：對質(zhì)量按一定規(guī)律分布的剛體，可認(rèn)為在轉(zhuǎn)動中，等效于質(zhì)量集中在某一點上的一個質(zhì)點的質(zhì)量，該點離某軸線的垂直距離為K,則剛體對該軸線的轉(zhuǎn)動慣量與該等效質(zhì)點對同一軸線的轉(zhuǎn)動慣量相等，即稱為回轉(zhuǎn)半徑第39頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月四、慣量張量和慣量橢球1.對xyz軸的轉(zhuǎn)動慣量和慣量積在某靜止坐標(biāo)系下，對質(zhì)量分布均勻，且形狀規(guī)則的剛體分別稱為剛體對x,y,z軸的轉(zhuǎn)動慣量而叫做慣量積2.在靜止坐標(biāo)系，剛體對通過原點O的任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量第40頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月若某一通過點O的瞬時軸線（取角速度的方向為正向）對x,y,z軸的方向余弦為則代入上式則得剛體對通過原點o的任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量只需某時刻三個對軸的轉(zhuǎn)動慣量和三個慣量積（隨時間可能變化），則對任意過o點瞬軸的轉(zhuǎn)動慣量便可通過該式求解第41頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月3.慣量張量該矩陣稱為對O點慣量張量。具有九個分量的物理量是二階張量，因而對O點慣量張量是一二階張量，其組元稱為慣性系數(shù)，其如此排列的原因一方面取決于二階張量形式，另一方面取決于下面原因固定坐標(biāo)系：三個軸轉(zhuǎn)動慣量和六個慣量積作為統(tǒng)一的物理量來代表剛體轉(zhuǎn)動時轉(zhuǎn)動慣性的量度可按一定規(guī)律排成下列矩陣形式第42頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）對過靜止坐標(biāo)系原點o的任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量，可通過該矩陣用矩陣乘法得之（2）對靜止坐標(biāo)系原點o的角動量的分量即可表為矩陣相乘是行乘列再相加第43頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月4.以隨動坐標(biāo)系為參考，對過原點o任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量的求解選固連在剛體上的坐標(biāo)系為參考（隨動坐標(biāo)系），則剛體對各軸的轉(zhuǎn)動慣量及慣量積是常數(shù)在轉(zhuǎn)動軸上截取一線段I為繞該軸線的轉(zhuǎn)動慣量第44頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月這是Q點所滿足的方程，是一以o為中心的二次曲面，Q點在該二次曲面上變動。該曲面一般為閉合面,（I有限，R有限）且閉合面是一中心在O點的橢球面，通常稱為慣量橢球，若o點正好是質(zhì)心，則為中心慣量橢球，所以上述方程也稱為慣量橢球方程第45頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月用處在于：可利用慣量橢球求對過原點o任意軸線的轉(zhuǎn)動慣量。因慣量橢球確定后，任意過o點軸線與橢球面的交點能確定，o點到任該Q點的的距離R便確定，據(jù)xyzO’Q若知慣量系數(shù)則可作出慣量橢球第46頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月五、慣量主軸及其求法1.慣量主軸利用上面的慣量橢球方法，原則上可求對任意軸的轉(zhuǎn)動慣量，但慣量系數(shù)的確定十分麻煩，應(yīng)近一步簡化。在剛體上選取適當(dāng)坐標(biāo)軸以消去慣量積。方法：由于每一慣量橢球都有三條相互垂直的主軸，橢球?qū)υ撊龡l主軸是對稱的，若以該三軸為坐標(biāo)軸（或旋原來的坐標(biāo)軸讓其與三坐標(biāo)軸重合），則含有異坐標(biāo)相乘的項將消去

慣量主軸：慣量橢球的主軸第47頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月以慣量主軸為坐標(biāo)軸則慣性系數(shù)只有,并通常記為即第48頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月2.確定慣量主軸的方法（1）解析法橢球與主軸交點的位矢與該點法線方向一致（2）幾何法適用于幾何對稱，質(zhì)量分布均勻的剛體10若剛體有一對稱軸，如oz軸，則該軸為慣量主軸

第49頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月20如剛體有一對稱面，則此面的垂線為慣量主軸

與xoy面垂直的z軸就是慣量主軸例，均勻長方體的邊長為a和b,求此長方形薄片繞其對角線轉(zhuǎn)動是的轉(zhuǎn)動慣量第50頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月1）直接積分法第51頁，課件共60頁，創(chuàng)作于2023年2月xyabθ2