第七章 系統(tǒng)函數(shù)

第七章系統(tǒng)函數(shù)第1頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性主要內(nèi)容：一、系統(tǒng)的零點(diǎn)與極點(diǎn)二、系統(tǒng)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)三、系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應(yīng)第2頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、系統(tǒng)的零點(diǎn)與極點(diǎn)LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s或z的有理分式,它是s或z的有理多項(xiàng)式B(·)與A(·)之比。對(duì)于連續(xù)系統(tǒng)第3頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于離散系統(tǒng)A(·)=0的根p1，p2，······，pn稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)H(·)的極點(diǎn)；B(·)=0的根ζ1，ζ2，······，ζm稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)H（·）的零點(diǎn)

極點(diǎn)pi和零點(diǎn)ζi的值可能是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或復(fù)數(shù)。由于A(·)和B(·)的系數(shù)都是實(shí)數(shù)，所以零、極點(diǎn)若為虛數(shù)或復(fù)數(shù)，則必共軛成對(duì)。第4頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1、已知系統(tǒng)函數(shù)如下所示，請(qǐng)求出系統(tǒng)的零、極點(diǎn)，并畫(huà)出其分布圖解：零點(diǎn)：＝－2；極點(diǎn)：p1=p2=-1;p3=j;p4=-j將零點(diǎn)、極點(diǎn)畫(huà)在復(fù)平面上得到零、極點(diǎn)分布圖（2）j

j-j-1-2極點(diǎn)用“

”表示；零點(diǎn)用“o”表示。本題：由H(s)得到零極點(diǎn)圖第5頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2、已知H(s)的零、極點(diǎn)分布圖如下圖所示，并且h(0+)=2,求H(s)的表達(dá)式。j

j2-j2-1解：極點(diǎn)p1＝-1＋j2;p2=-1-j2零點(diǎn)＝0所以根據(jù)初值定理，有本題：由零極點(diǎn)圖得到H(s)第6頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、系統(tǒng)函數(shù)H(·)與時(shí)域響應(yīng)h(·)沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H(.)的極點(diǎn)確定。下面討論H(.)極點(diǎn)的位置與其時(shí)域響應(yīng)的函數(shù)形式。所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。1．連續(xù)因果系統(tǒng)

H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為:在左半開(kāi)平面、虛軸和右半開(kāi)平面三類(lèi)。

（1）在左半平面若系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實(shí)單極點(diǎn)p=–α(α>0)，則A(s)中有因子(s+α)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為Ke-αtε(t)第7頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(b)若有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p12=-α±jβ，則A(s)中有因子[(s+α)2+β2]---

Ke-αtcos(βt+θ)ε(t)

(c)若有r重極點(diǎn)，則A(s)中有因子(s+α)r或[(s+α)2+β2]r，其響應(yīng)為Kitie-αtε(t)或Kitie-αtcos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)以上三種情況：當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于0。暫態(tài)分量。（2）在虛軸上(a)單極點(diǎn)p=0或p12=±jβ，則響應(yīng)為Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)-----穩(wěn)態(tài)分量

(b)r重極點(diǎn)，相應(yīng)A(s)中有sr或(s2+β2)r，其響應(yīng)函數(shù)為Kitiε(t)或Kiticos(βt+θ)ε(t)(i=0,1,2,…,r-1)—遞增函數(shù)

第8頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）在右半開(kāi)平面：均為遞增函數(shù)。

綜合結(jié)論：LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。①H(s)在左半平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減的。即當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于0。②H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)分量。③H(s)在虛軸上的高階極點(diǎn)或右半平面上的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞增的。即當(dāng)t→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于∞。第9頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2．離散因果系統(tǒng)

H(z)按其極點(diǎn)在z平面上的位置可分為:在單位圓內(nèi)、在單位圓上和在單位圓外三類(lèi)。根據(jù)z與s的對(duì)應(yīng)關(guān)系，有結(jié)論：①H(z)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列為衰減的。即當(dāng)k→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于0。②H(z)在單位圓上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。③H(z)在單位圓上的高階極點(diǎn)或單位圓外的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列都是遞增的。即當(dāng)k→∞時(shí)，響應(yīng)均趨于∞。第10頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與其極點(diǎn)的關(guān)系：根據(jù)收斂域的定義，H(.)收斂域不能含H(.)的極點(diǎn)。例3、某離散系統(tǒng)函數(shù)為（1）若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k)；（2）若系統(tǒng)為反因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k)；（3）若系統(tǒng)為雙邊序列，求單位序列響應(yīng)h(k)；解：（1）因?yàn)橄到y(tǒng)為因果系統(tǒng)，所以收斂域?yàn)閨Z|>3;所以第11頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）因?yàn)橄到y(tǒng)為反因果系統(tǒng)，所以收斂域?yàn)閨Z|<1/2;所以（3）因?yàn)橄到y(tǒng)為雙邊序列，所以收斂域?yàn)?/2<|Z|<3;所以問(wèn)：因果系統(tǒng)的極點(diǎn)在…第12頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、系統(tǒng)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng)時(shí)域特性能反映響應(yīng)變化的快慢、上升、下降時(shí)間長(zhǎng)短及衰減的程度等。系統(tǒng)的自由響應(yīng)（P42）的函數(shù)（或序列）形式由A(·)的根確定，亦即由H(·)的極點(diǎn)確定，而沖擊響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式也由H(·)極點(diǎn)確定。第13頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月××××××××jωσtttttt

H(s)的極點(diǎn)與所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)1、連續(xù)系統(tǒng)>0第14頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：1）LTI連續(xù)系統(tǒng)的自由響應(yīng)（書(shū)P42）、沖擊響應(yīng)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。2）H(s)在左半開(kāi)平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)是衰減的，當(dāng)t->∞時(shí)，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)趨近于零。極點(diǎn)全部在左半平面的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)（見(jiàn)§7.2）。3）H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)的幅度不隨時(shí)間變化。4）H(s)在虛軸上的二階及二階以上的極點(diǎn)或在右半開(kāi)平面上的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都隨t的增長(zhǎng)而增大，當(dāng)t趨于無(wú)限時(shí)，它們都趨于無(wú)窮大。這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。見(jiàn)書(shū)P237第15頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)，按其在z平面的位置可分為：在單位圓內(nèi)、單位圓上和單位圓外三類(lèi)。S域與Z域的關(guān)系T為取樣周期S表示為直角坐標(biāo)形式Z表示為坐極標(biāo)形式可見(jiàn)，S平面的左半平面(<0)對(duì)應(yīng)Z平面的圓內(nèi)(|Z|=<1);在S平面以虛軸為界，Z平面以|Z|=1的單位圓為界第16頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月S平面映射到Z平面第17頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月kko××kkkk×××××××Im[z]Re[z]H(z)的極點(diǎn)與所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)離散系統(tǒng)第18頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：1)、LTI離散系統(tǒng)的自由響應(yīng)、單位序列響應(yīng)的函數(shù)形式由H(z)的極點(diǎn)確定。2)、H(z)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列是衰減的，當(dāng)k->∞時(shí)，對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列趨近于零。極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)。3)、H(z)在單位圓上的一階極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列的幅度不隨時(shí)間變化。4)、H(z)在單位圓上的二階及二階以上的極點(diǎn)或在單位圓外的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列都隨k的增長(zhǎng)而增大，當(dāng)k趨于無(wú)限時(shí)，它們都趨于無(wú)窮大。這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。第19頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、系統(tǒng)函數(shù)與頻域響應(yīng)在s平面上，任意復(fù)數(shù)（常數(shù)或變數(shù)）都可以用有向線(xiàn)段表示ζj

φj

θi

pi

jωjωσoAiBj×零、極點(diǎn)矢量圖1、連續(xù)系統(tǒng)要求系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)都在左半開(kāi)平面第20頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于任意極點(diǎn)pi和零點(diǎn)ζj令式中Ai、Bj分別是差矢量（jω-pi)和（jω-ζj）的模，θi、φj是它們的輻角。于是，系統(tǒng)函數(shù)可以寫(xiě)為：第21頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相頻響應(yīng)：式中幅頻響應(yīng)：提示：把頻率從0（或-）變化到+,根據(jù)各矢量模和幅角的變化，就可大致畫(huà)出幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)曲線(xiàn)。第22頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1、某線(xiàn)性系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)如圖所示,已知H(0)=1。(1)求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)(2)若該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為求其激勵(lì)(3)大致畫(huà)出系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性j

-1-2-30第23頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解:(1)根據(jù)零極點(diǎn)圖，得因?yàn)镠(0)=1K=6（2）第24頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月(3)因?yàn)闃O點(diǎn)均在左半開(kāi)平面，所以根據(jù)上式可分別畫(huà)出其幅頻曲線(xiàn)和相頻曲線(xiàn)j

-1-2-30A1A2

2

1第25頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幅頻曲線(xiàn)相頻曲線(xiàn)第26頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月全通函數(shù)：

如果系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jω)對(duì)所有的ω均為常數(shù)，則稱(chēng)該系統(tǒng)為全通系統(tǒng)，相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)稱(chēng)為全通函數(shù)。以二階系統(tǒng)為例說(shuō)明。如有二階系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)在左平面有一對(duì)共軛極點(diǎn)：p1,2=－α±jβ，令s1=－p1，s2=－p2，它在右半平面上有一對(duì)共軛零點(diǎn)ζ1=α＋jβ=s1，ζ2=α－jβ=s2，那么系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn)對(duì)于jω軸是鏡像對(duì)稱(chēng)的。其系統(tǒng)函數(shù)可寫(xiě)為：第27頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其頻率特性為：對(duì)所有的ω有A1=B1，A2=B2，所以幅頻特性相頻特性：上述幅頻響應(yīng)為常數(shù)的系統(tǒng)，對(duì)所有頻率的正弦信號(hào)都一律平等地傳輸，因而被稱(chēng)為全通系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)稱(chēng)為全通函數(shù)。無(wú)失真?zhèn)鬏敚?？?8頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月φ1

θ1

jωjωoA1B1s2

-s1-s2θ2φ2s1A2B2××2π

1H|jω|H|jω|Φ(ω)

Φ(ω)ω如下圖所示：最小相移函數(shù):右半開(kāi)平面沒(méi)有零點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)稱(chēng)為最小相移函數(shù)。全通函數(shù):若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)|H(jω)|為常數(shù)，則稱(chēng)為全通系統(tǒng)，其相應(yīng)的H(s)稱(chēng)為全通函數(shù)。凡極點(diǎn)位于左半開(kāi)平面，零點(diǎn)位于右半開(kāi)平面，并且所有零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于虛軸為一一鏡像對(duì)稱(chēng)的系統(tǒng)函數(shù)即為全通函數(shù)。第29頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、離散因果系統(tǒng)的頻率響應(yīng)若H(z)的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則它在單位圓上也收斂，頻率響應(yīng)為：式中＝Ts,為原來(lái)信號(hào)的角頻率，Ts為取樣周期系統(tǒng)的頻率響應(yīng)就是系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)第30頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7.1-2某離散因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)求其頻率響應(yīng)。解：由H(z)的表達(dá)式可知，其極點(diǎn)在p=1/3處，故收斂域包括單位圓，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（=Ts）第31頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其幅頻響應(yīng)為相頻響應(yīng)為響應(yīng)曲線(xiàn)？？第32頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、系統(tǒng)的因果性因果系統(tǒng)指的是，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(·)不出現(xiàn)于激勵(lì)f(·)之前的系統(tǒng)。即對(duì)于任意的f(.)=0,t(或k)<0,如果系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)都有yzs(.)=0,t(或k)<0，就稱(chēng)該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，否則稱(chēng)為非因果系統(tǒng)。連續(xù)因果系統(tǒng)的充分和必要條件是：或者，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域?yàn)椋?/p>

0>0;0<0;0=0??§7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性第33頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月離散因果系統(tǒng)的充分和必要條件是：或者，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域?yàn)榧雌涫諗坑驗(yàn)榘霃降扔?/p>

0的圓外區(qū)域，或者說(shuō)H(z)的極點(diǎn)都在收斂圓|z|=0內(nèi)部第34頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性一個(gè)系統(tǒng)（連續(xù)的或離散的），如果對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱(chēng)該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。也就是說(shuō)，設(shè)Mf，My為正常數(shù)，如果系統(tǒng)對(duì)于所有的激勵(lì)其零狀態(tài)響應(yīng)則稱(chēng)該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分和必要條件：連續(xù)因果系統(tǒng)第35頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月離散系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充分和必要條件：離散因果系統(tǒng)

若H(z)的收斂域包括單位圓，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；對(duì)于既是穩(wěn)定的又是因果的連續(xù)系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)都在s平面的左半開(kāi)平面；其逆也成立。若存在虛軸上的一階極點(diǎn)，按上面的定義是不穩(wěn)定的，但有時(shí)也稱(chēng)為邊界穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)于既是穩(wěn)定的又是因果的離散系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點(diǎn)都在z平面的單位圓內(nèi)；其逆也成立。第36頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1、如圖所示的反饋因果系統(tǒng)，問(wèn)當(dāng)k滿(mǎn)足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其中子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為F(s)G(s)KY(s)X(s)解：設(shè)加法器的輸出信號(hào)為X(s),有第37頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月H(s)的極點(diǎn)為為使極點(diǎn)在左半平面，必須K<2第38頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2、y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)=f(k-1)(1)若為因果系統(tǒng)，求h(k),并判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；（2）若為穩(wěn)定系統(tǒng)，求h(k)。解：若為因果系統(tǒng)，則|z|>2系統(tǒng)不穩(wěn)定（2）若系統(tǒng)是穩(wěn)定的，0.5<|z|<2;所以問(wèn)，該系統(tǒng)是因果系統(tǒng)嗎？若|z|<0.5，系統(tǒng)穩(wěn)定嗎？第39頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3、下圖為離散因果系統(tǒng)框圖，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，求常量a的取值范圍。F(z)Z－1Y(z)2a解：設(shè)加法器輸出信號(hào)為X(z),有為使系統(tǒng)穩(wěn)定，H(z)的極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)，即有|a|<1第40頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7.2-2如圖7.2-4所示的離散系統(tǒng)，當(dāng)K滿(mǎn)足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？F(z)Y(z)Z－1Z－1k3X(z)12解：設(shè)系統(tǒng)左端加法器的輸出為X(z),則有第41頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所以系統(tǒng)函數(shù)為當(dāng)k1/4時(shí)，為實(shí)極點(diǎn)，為使極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，必須滿(mǎn)足K>0當(dāng)k>1/4時(shí)，為復(fù)極點(diǎn)，為使極點(diǎn)在單位圓內(nèi)，必須滿(mǎn)足|p1,2|<1,可得k<1;所以當(dāng)0<k<1時(shí)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。第42頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則——羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則

所有的根均在左半平面的多項(xiàng)式稱(chēng)為霍爾維茲多項(xiàng)式。1、必要條件—簡(jiǎn)單方法一實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式A(s)=ansn+…+a0=0的所有根位于左半開(kāi)平面的必要條件是：（1）所有系數(shù)都必須非0，即不缺項(xiàng)；（2）系數(shù)的符號(hào)相同。例1

A(s)=s3+4s2-3s+2符號(hào)相異，不穩(wěn)定例2

A(s)=3s3+s2+2，a1=0，不穩(wěn)定例3

A(s)=3s3+s2+2s+8需進(jìn)一步判斷，非充分條件。對(duì)因果系統(tǒng)，只要判斷H(s)的極點(diǎn)，即A(s)=0的根（稱(chēng)為系統(tǒng)特征根）是否都在左半平面上，即可判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不必知道極點(diǎn)的確切值。第43頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、羅斯列表將多項(xiàng)式A(s)的系數(shù)排列為如下陣列—羅斯陣列第1行anan-2an-4…第2行an-1an-3an-5…第3行cn-1cn-3cn-5…它由第1，2行，按下列規(guī)則計(jì)算得到：…第4行由2，3行同樣方法得到。一直排到第n+1行。羅斯準(zhǔn)則指出：若第一列元素具有相同的符號(hào)，則A(s)=0所有的根均在左半開(kāi)平面。若第一列元素出現(xiàn)符號(hào)改變，則符號(hào)改變的總次數(shù)就是右半平面根的個(gè)數(shù)。第44頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特例：對(duì)于二階系統(tǒng)A(s)=a2s2+a1s+a0，若a2>0，不難得出，A(s)為霍爾維茲多項(xiàng)式的條件為：a1>0，a0>0例1A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2羅斯陣列：212218028.502第1列元素符號(hào)改變2次，因此，有2個(gè)根位于右半平面。注意：在排羅斯陣列時(shí)，可能遇到一些特殊情況，如第一列的某個(gè)元素為0或某一行元素全為0，這時(shí)可斷言：該多項(xiàng)式不是霍爾維茲多項(xiàng)式。

第45頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2已知某因果系統(tǒng)函數(shù)為使系統(tǒng)穩(wěn)定，k應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？解列羅斯陣列331+k(8-k)/31+k所以，–1<k<8，系統(tǒng)穩(wěn)定。第46頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、離散因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)則——朱里準(zhǔn)則

為判斷離散因果系統(tǒng)的穩(wěn)定性，要判斷A(z)=0的所有根的絕對(duì)值是否都小于1。朱里提出一種列表的檢驗(yàn)方法，稱(chēng)為朱里準(zhǔn)則。朱里列表：第1行anan-1an-2……a2a1a0第2行a0a1a2……an-2an-1an第3行cn-1cn-2cn-3……c1c0第4行c0c1c2……cn-2cn-1第5行dn-2dn-3dn-4……d0第6行d0d1d2……dn-2

……第2n-3行r2r1r0第47頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第3行按下列規(guī)則計(jì)算：…一直到第2n-3行，該行有3個(gè)元素。朱里準(zhǔn)則指出，A(z)=0的所有根都在單位圓內(nèi)的充分必要的條件是:(1)A(1)>0(2)(-1)nA(-1)>0

(3)an>|a0|cn-1>|c0|dn-2>|d0|……r2>|r0|奇數(shù)行，其第1個(gè)元素必大于最后一個(gè)元素的絕對(duì)值。特例：對(duì)二階系統(tǒng)。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得A(1)>0A(-1)>0a2>|a0|第48頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例A(z)=4z4-4z3+2z-1解4-402-1-120-4415-140440-1415209

-210564>1，15>4，209>56所以系統(tǒng)穩(wěn)定。

(-1)4A(-1)=5>0排朱里列表A(1)=1>0第49頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7.3信號(hào)流圖主要內(nèi)容信號(hào)流圖梅森公式第50頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月信號(hào)流圖是用有向的線(xiàn)段和點(diǎn)描述線(xiàn)性方程組變量間因果關(guān)系的一種圖。信號(hào)流圖用來(lái)描述系統(tǒng)較方框圖更為簡(jiǎn)便；而且通過(guò)梅森公式將系統(tǒng)函數(shù)與相應(yīng)的信號(hào)流圖聯(lián)系起來(lái)，不僅有利于系統(tǒng)分析，而且也便于系統(tǒng)模擬。一.信號(hào)流圖第51頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Y(z)H(s)F(s)Y(s)H(s)F(s)Y(s)H(z)F(z)H(z)F(z)Y(z)方框圖信號(hào)流圖一般而言，信號(hào)流圖是一種賦權(quán)的有向圖。它由連接在結(jié)點(diǎn)間的有向支路構(gòu)成。它的一些術(shù)語(yǔ)定義如下：第52頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2、源點(diǎn)：僅有出支路的結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為源點(diǎn)。匯點(diǎn)：僅有入支路的結(jié)點(diǎn)稱(chēng)為匯點(diǎn)。信號(hào)流圖基本術(shù)語(yǔ)1、結(jié)點(diǎn)和支路

信號(hào)流圖中的每個(gè)結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于一個(gè)變量或信號(hào)，連接兩結(jié)點(diǎn)間的有向線(xiàn)段稱(chēng)為支路，每條支路的權(quán)值（支路增益）就是該兩結(jié)點(diǎn)間的系統(tǒng)函數(shù)（轉(zhuǎn)移函數(shù)）。3、通路

從任一結(jié)點(diǎn)出發(fā)沿著箭頭方向連續(xù)經(jīng)過(guò)各相連的不同的支路和結(jié)點(diǎn)到達(dá)另一結(jié)點(diǎn)的路徑稱(chēng)為通路。通路包含有：開(kāi)通路、閉通路或回路（或環(huán)路）、不接觸回路、自回路（自環(huán)）等。第53頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月前向通路：從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的開(kāi)通路。閉通路或回路（或環(huán)路）:通路的起點(diǎn)就是通路的終點(diǎn)（與其余節(jié)點(diǎn)相遇不多于一次）不接觸回路:相互沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)的回路。自回路（自環(huán)）:只有一個(gè)節(jié)點(diǎn)和一條支路的回路。開(kāi)通路:如果通路與任一節(jié)點(diǎn)相遇不多于一次；第54頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月dx5x4x3x2x11abcgfe前向通路：x1x2x3x4x5;x1x2x3x5回路:x2x3x2;x2x3x4x2;x4x4不接觸回路：

x2x3x2與x4x4自回路：

x4x4通路(開(kāi)通路或回路)中各支路增益的乘積稱(chēng)為通路增益（或回路增益）第55頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月流圖化簡(jiǎn)的規(guī)則

（2）兩條增益分別為a和b的支路相并聯(lián)，可以合并為一條增益為（a+b）的支路。（1）兩條增益分別為a和b的支路相串聯(lián)，可以合并為一條增益為a·b的支路，同時(shí)消去中間的結(jié)點(diǎn)。第56頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（3）一條x1x2x3的通路，如果x1x2支路的增益為a，x2x3的增益為c，在x2處有增益為b的自環(huán)，則可以化簡(jiǎn)為增益為ac/(1-b)的支路，同時(shí)削去結(jié)點(diǎn)x2。第57頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）將串聯(lián)支路合并從而減少結(jié)點(diǎn)；（2）將并聯(lián)支路合并從而減少支路；信號(hào)流圖化簡(jiǎn)步驟（3）消除自環(huán)。反復(fù)運(yùn)用以上步驟，可將復(fù)雜的信號(hào)流圖簡(jiǎn)化為只有一個(gè)源點(diǎn)和一個(gè)匯點(diǎn)的信號(hào)流圖，從而求得系統(tǒng)函數(shù)。第58頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7.3-1求圖下圖所示信號(hào)流圖的系統(tǒng)函數(shù)解

根據(jù)串聯(lián)支路合并規(guī)則，將圖(a)中回路x1

x2

x1和x1

x2

x3

x1化簡(jiǎn)為自環(huán)，如圖b所例7.3-1第59頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月示，將x1到Y(jié)(s)之間各串聯(lián)、并聯(lián)支路合并，得圖（c）。并利用并聯(lián)支路合并規(guī)則，將x1處兩個(gè)自環(huán)合并，然后消除自環(huán)，得圖（d）。于是得到系統(tǒng)函數(shù)這正是二階微分方程的系統(tǒng)函數(shù)。第60頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、梅森公式

梅森公式為式中：Δ稱(chēng)為信號(hào)流圖的特征行列式，其中是所有不同回路的增益之和；是所有兩兩不接觸回路的增益乘積和是所有三個(gè)都互不接觸回路的增益乘積之和。第61頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

i表示由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路的標(biāo)號(hào)；Pi是由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路的增益；

i是第i條前向通路特征行列式的余因子，它是與第i條前向通路不相接觸的子圖的特征行列式。第62頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7.3-2求右圖信號(hào)流圖的系統(tǒng)函數(shù)。例7.3-2解為了求出特征行列式Δ，先求出有關(guān)參數(shù)。上圖共有4個(gè)回路，各回路的增益為

x1

x2

x1回路，L1=－G1H1

x2

x3

x2回路，L2=－G2H2

x3

x4

x3回路，L3=－G3H3

x1

x4

x3

x2

x1回路，L4=－G1G2G3H4它只有一對(duì)兩兩互不接觸的回路x1

x2

x1與x3

x4

x3，第63頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其回路增益乘積為沒(méi)有三個(gè)以上的互不接觸的回路。所以得再求其它參數(shù)。圖中有兩條前向通路，對(duì)于前向通路F

x1

x2

x3

x4

Y

,其增益為由于各回路都與該通路有接觸，故Δ1=1對(duì)于前向通路F

x1

x4

Y

，其增益為第64頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月最后，按式（7.3-8）得不與P2接觸的回路有x2

x3

x2，所以第65頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§7.4系統(tǒng)模擬主要內(nèi)容直接實(shí)現(xiàn)級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn)并聯(lián)實(shí)現(xiàn)為了對(duì)信號(hào)(連續(xù)或離散的信號(hào))進(jìn)行處理（如濾波），就必須構(gòu)造出合適的實(shí)際結(jié)構(gòu)（硬件實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)或軟件運(yùn)算結(jié)構(gòu)）。第66頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)于同一系統(tǒng)函數(shù)，通過(guò)不同的運(yùn)算，可以得到多種形式的實(shí)現(xiàn)方案，常用的有直接形式、級(jí)聯(lián)和并聯(lián)形式等。一、直接實(shí)現(xiàn)將上式分子、分母除以s2,上式可寫(xiě)為設(shè)二階系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)第67頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

根據(jù)梅森公式，上式的分母可看作是特征行列式Δ，括號(hào)內(nèi)表示有兩個(gè)互相接觸的回路，其增益分別為-a1s-1和-a0s-2。H(s)的分子表示三條前向通路，其增益分別為b2、b1s-1和b0s-2，并且不與各前向通路相接觸的子圖特征行列式Δi（i=1,2,3)均等于1，也就是說(shuō)，信號(hào)流圖中的兩個(gè)回路都與各前向回路相接觸，這樣就以得到(a)信號(hào)流圖，其對(duì)應(yīng)的s域框圖如圖(b)。第68頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月還可以得到如下的信號(hào)流圖和框圖。以上的分析方法可以推廣到高階的情形。見(jiàn)書(shū)P348例7.4-1某連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)用直接形式模擬系統(tǒng)。第69頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解

將H(s)改寫(xiě)為根據(jù)梅森公式，可畫(huà)出上式的信號(hào)流圖如圖（a)信號(hào)流圖的轉(zhuǎn)置第70頁(yè)，課件共85頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、級(jí)聯(lián)和并聯(lián)實(shí)現(xiàn)

級(jí)聯(lián)形式是將系統(tǒng)函數(shù)H(z)(或H(s))分解為幾個(gè)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)函數(shù)的乘積，即