概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)輔導(dǎo)課件

引言數(shù)學(xué)是刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具。在自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)的應(yīng)用不斷深入。與計(jì)算機(jī)的結(jié)合，使以前只有理論而無法計(jì)算的內(nèi)容找到了廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。概率和統(tǒng)計(jì)具有不同于其他數(shù)學(xué)分支的思維方式。我們在教學(xué)實(shí)踐中既要體會(huì)概率和統(tǒng)計(jì)思想與其他數(shù)學(xué)思想的不同，但也必須注意到它們與其他數(shù)學(xué)分支之間的密切關(guān)系。要培養(yǎng)利用概率、統(tǒng)計(jì)的思想思考、處理問題的能力。紅樓夢研究20121211a引言紅樓夢研究20121211a1第一部分概率第一節(jié)隨機(jī)事件及其概率A.隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件

概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。紅樓夢研究20121211a第一部分概率概率論就是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分支。紅樓夢研究22研究隨機(jī)現(xiàn)象的第一步：定義事件

在給定條件下，可能發(fā)生這樣的結(jié)果，也可能發(fā)生那樣的結(jié)果，這就是隨機(jī)現(xiàn)象。

特點(diǎn)：一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，我們知道所有可能的結(jié)果有哪些，但是在條件沒有實(shí)現(xiàn)之前，無法判斷會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果。隨機(jī)事件：我們把在給定條件實(shí)現(xiàn)之后，可以判斷是否發(fā)生的結(jié)果叫做隨機(jī)事件，用大些英文字母表示。紅樓夢研究20121211a研究隨機(jī)現(xiàn)象的第一步：定義事件紅樓夢研究20121211a3

例如，研究某個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員的射擊水平。

在正常條件下，他射出一發(fā)子彈，落點(diǎn)會(huì)是隨機(jī)的，都有哪些隨機(jī)事件呢？無窮多個(gè)隨機(jī)事件：A:十環(huán)B:九環(huán)，……，E:沒有脫靶，F(xiàn):脫靶，……，等等等等，這些都是可能發(fā)生的結(jié)果，都是隨機(jī)事件。

只要實(shí)現(xiàn)一次條件，即在正常條件下，他射出一發(fā)子彈，哪個(gè)事件發(fā)生，哪個(gè)沒有發(fā)生，一目了然。紅樓夢研究20121211a例如，研究某個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員的射擊水平。紅樓夢研究4兩個(gè)特例：

不可能事件：用字母Φ表示。例如上面例子里，“既沒有脫靶，也沒有上靶”這個(gè)事件就是不可能事件。

必然事件：用字母Ω表示。

例如上面例子里，“脫靶或沒有脫靶”就是一個(gè)必然事件。紅樓夢研究20121211a兩個(gè)特例：紅樓夢研究20121211a5事件必然事件隨機(jī)事件不可能事件紅樓夢研究20121211a事件必然事件隨機(jī)事件不可能事件紅樓夢研究20121211a6B.事件的概率

事件的概率就是刻劃該事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)量指標(biāo)。設(shè)A是一個(gè)事件，用P(A)表示這個(gè)事件的概率。

概率的第一個(gè)基本性質(zhì)：對于任意事件A，這是一種要求！紅樓夢研究20121211aB.事件的概率這是一種要求！紅樓夢研究20121211a7例：七個(gè)有變異的豌豆特征（P89）子的形狀，子的顏色，豆莢的形狀，豆莢外衣的顏色，未成熟豆莢的顏色，花的位置，豆梗的長度孟德爾把綠色豌豆與黃色豌豆雜交，結(jié)果下一代都是黃色豌豆。對其他六個(gè)特征做試驗(yàn)，也有類似的結(jié)果。我們把這一代叫做雜交第一子代，簡稱為子一代。問題是，用它們作為種子，下一代會(huì)怎樣呢？這是中學(xué)教師孟德爾的問題，這個(gè)問題的解決讓他名崔青史。（1822～1884）紅樓夢研究20121211a例：七個(gè)有變異的豌豆特征（P89）紅樓夢研究201212118

孟德爾把雜交黃色豌豆作為第一子代F1，培育出第二子代F2。在第二子代中豌豆會(huì)是什么顏色的呢？他提出了一種遺傳學(xué)理論，用這個(gè)理論來預(yù)測第二子代的顏色。他的預(yù)言是：

75%的黃色豌豆25%綠色豌豆即兩者比例為3：1。紅樓夢研究20121211a孟德爾把雜交黃色豌豆作為第一子代F1，9

【用G代表綠色基因，Y代表黃色基因，則第一子代F1可表示為YG。

這樣的豌豆自由雜交，在第二子代F2中會(huì)出現(xiàn)四種情況：YY,YG,GY,GG。每種情況出現(xiàn)的機(jī)會(huì)均等。其中

黃色：YY,YG,GY；綠色：GG所以黃色豌豆與綠色豌豆數(shù)量的比例應(yīng)該是3：1?！空n本上89頁表7-1-1的數(shù)據(jù)就是試驗(yàn)觀測結(jié)果。這里用的是頻率估計(jì)概率的思想。紅樓夢研究20121211a【用G代表綠色基因，Y代表黃色基因，則第一子代F10

我們不知道當(dāng)初老孟是先有的數(shù)據(jù)還是先做的理論分析。不過大多數(shù)人相信是

1、先做的試驗(yàn)，

2、然后利用觀測到的現(xiàn)象（概率統(tǒng)計(jì)思想）提出大膽的理論，

3、利用提出的理論對觀測結(jié)果作出解釋，

4、再利用理論作預(yù)測，

5、然后通過試驗(yàn)驗(yàn)證理論預(yù)測的可靠性。這是科學(xué)研究的一種基本方法。紅樓夢研究20121211a我們不知道當(dāng)初老孟是先有的數(shù)據(jù)還是先做的理論分11

為了估計(jì)事件A發(fā)生的概率，我們在相同條件下進(jìn)行重復(fù)試驗(yàn)，記錄試驗(yàn)次數(shù)n和事件A發(fā)生的次數(shù)m，然后用事件A在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率作為事件A發(fā)生的概率的估計(jì)值求概率之基本方法——試驗(yàn)法。有誤差。紅樓夢研究20121211a為了估計(jì)事件A發(fā)生的概率，我們在相同條件下進(jìn)行12概率的第二個(gè)基本性質(zhì)：這不是公式，是一種規(guī)范化要求。紅樓夢研究20121211a概率的第二個(gè)基本性質(zhì)：這不是公式，是一種規(guī)范化要求。紅樓夢13第二節(jié)古典概型

試驗(yàn)或觀測只有有限多種可能的基本結(jié)果，這些結(jié)果具有以下特點(diǎn)：

（1）、這些可能結(jié)果有限多個(gè)；（2）、每次試驗(yàn)，這些結(jié)果中必有一個(gè)會(huì)發(fā)生，而且只有一個(gè)會(huì)發(fā)生；（3）、每個(gè)結(jié)果的發(fā)生是等可能的。

滿足前兩條的結(jié)果叫基本事件。假設(shè)共有n個(gè)基本事件。如果還滿足第三條的話，這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的概率計(jì)算模型就叫做古典概型。紅樓夢研究20121211a第二節(jié)古典概型紅樓夢研究20121211a14古典概型里，每個(gè)基本事件的概率都是

.

如果事件A的發(fā)生等價(jià)于m個(gè)基本事件之一發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率就是紅樓夢研究20121211a古典概型里，每個(gè)基本事件的概率都是.如果15第三節(jié)幾何概型

試驗(yàn)或觀測有無限多種可能的基本結(jié)果，這些結(jié)果具有以下特點(diǎn)：（1）、這些可能結(jié)果有無限多個(gè)；（2）、每次試驗(yàn)，這些結(jié)果中必有一個(gè)會(huì)發(fā)生，而且只有一個(gè)會(huì)發(fā)生；（3）、每個(gè)結(jié)果的發(fā)生是等可能的。這樣的隨機(jī)現(xiàn)象的概率計(jì)算模型就叫做幾何概型。紅樓夢研究20121211a第三節(jié)幾何概型紅樓夢研究20121211a16方程有實(shí)根的概率是多少？

例一、方程中的系數(shù)分別在區(qū)間隨機(jī)取值，那么這個(gè)解：我們把放到一起考慮

，那么任取

中的兩個(gè)值作為

矩形區(qū)域

S

中任取一個(gè)點(diǎn)，把橫坐標(biāo)作為

，可以看作是在平面直角坐標(biāo)系中，縱坐。

坐標(biāo)作為紅樓夢研究20121211a方程有實(shí)根的概率是多少？例一、方程中的系數(shù)分別在區(qū)間隨機(jī)取值17方程有實(shí)根等價(jià)于這等價(jià)于要求點(diǎn)必須取在區(qū)域A中。所以紅樓夢研究20121211a方程有實(shí)根等價(jià)于這等價(jià)于要求點(diǎn)必須取在區(qū)域A中。所以紅樓18例二、怎樣求一個(gè)不規(guī)則圖形的面積？

做正方形S，隨機(jī)向圖中投點(diǎn)，計(jì)算落在A中的點(diǎn)的頻率，A的面積的近似值就是該頻率與S的面積的乘積。紅樓夢研究20121211a例二、怎樣求一個(gè)不規(guī)則圖形的面積？紅樓夢研究2012121119例三貝特朗奇論

在圓內(nèi)任取一弦，問其長度超過內(nèi)接等邊三角形邊長的概率是多少？貝特朗給出了三中求解方法。設(shè)該圓半徑為則內(nèi)接等邊三角形邊長為記弦的長度為

紅樓夢研究20121211a例三貝特朗奇論設(shè)該圓半徑為則內(nèi)接等邊三角形邊長為記弦的長度20（1）、由于弦長只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)，因而可假定弦垂直于某直徑EF。如圖所示：當(dāng)且僅當(dāng)弦AB與圓形的距離小于時(shí)，有所以所求概率為紅樓夢研究20121211a（1）、由于弦長只跟它與圓心的距離有關(guān)，而與方向無關(guān)，因而可21(2)、弦長由其中點(diǎn)唯一確定。當(dāng)且僅當(dāng)弦的中點(diǎn)落到半徑為的同心圓內(nèi)時(shí)，弦長所以，如圖所示，所求概率為紅樓夢研究20121211a(2)、弦長由其中點(diǎn)唯一確定。當(dāng)且僅當(dāng)弦的中點(diǎn)落到的同心圓內(nèi)22（3）、因?yàn)槿魏蜗叶冀粓A于兩點(diǎn)，并且具有對稱性，所以不妨固定弦的一端A于圓周上，另一端在圓周上任意取。如圖，考慮等邊三角形ADE，如B落在角A所對應(yīng)的弧上，則弦長所以所求概率為紅樓夢研究20121211a（3）、因?yàn)槿魏蜗叶冀粓A于兩點(diǎn)，并且具有對稱性，上，則弦長所23第四節(jié)互斥事件與概率兩個(gè)事件互斥一組事件是互斥的

設(shè)是A,B是兩個(gè)互斥事件，我們用A+B表示一個(gè)新的事件，即“A,B中至少有一件發(fā)生”這個(gè)事件。紅樓夢研究20121211a第四節(jié)互斥事件與概率紅樓夢研究20121211a24是一組互斥事件，那么中至少有一個(gè)發(fā)生這個(gè)事件。表示概率的第三個(gè)基本性質(zhì)要求紅樓夢研究20121211a是一組互斥事件，那么中至少有一個(gè)發(fā)生這個(gè)事件。表示概率的第三25例如，

表示某射擊運(yùn)動(dòng)員打中k環(huán)這個(gè)事件，k=1，2，…，10.那么它們是10個(gè)互斥事件。如果知道每個(gè)事件的概率，我們就可以算出許多其它事件的概率。例如打到8環(huán)以內(nèi)這樣的事件的概率。

例如，

紅樓夢研究20121211a例如，表示某射擊運(yùn)動(dòng)員打中k環(huán)這個(gè)事26

對立事件：如果兩個(gè)事件互斥，而且每次試驗(yàn)或觀測兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生，那么這兩個(gè)事件就叫做一對對立事件。如果用A表示其中的一個(gè)事件，另一個(gè)就用來表示。顯然所以或等價(jià)地紅樓夢研究20121211a對立事件：如果兩個(gè)事件互斥，而且每次試驗(yàn)或觀測兩個(gè)事件中27例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。解法一、用A表示“500人中至少有一人生日在今天”，用表示“500人中恰有k人生日在今天”，k=0，1,…,500?；コ?，而且所以則不難發(fā)現(xiàn)這501個(gè)事件紅樓夢研究20121211a例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。表示“500人中28由于所以紅樓夢研究20121211a由于所以紅樓夢研究20121211a29解法二、顯然表示所以“500人中沒有一人在今天過生日”，我們可以求出紅樓夢研究20121211a解法二、顯然表示所以“500人中沒有一人在今天過生日”，我們30比較這兩個(gè)結(jié)果你可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)公式即事實(shí)上，紅樓夢研究20121211a比較這兩個(gè)結(jié)果你可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)公式即事實(shí)上，紅樓夢研究201231第五節(jié)獨(dú)立性概念

積事件：設(shè)A,B是兩個(gè)隨機(jī)事件，稱“事件A與B同時(shí)發(fā)生”這個(gè)事件為事件A與事件B的積事件，記作AB。類似地，用表示一個(gè)新事件，該事件的發(fā)生等價(jià)于這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生。紅樓夢研究20121211a第五節(jié)獨(dú)立性概念表示一個(gè)新事件，該事件的發(fā)生等價(jià)于這n個(gè)事32例如：表示第k次投擲硬幣出現(xiàn)正面，k=1,2,……,就表示“連續(xù)投擲硬幣n次都出現(xiàn)正面”這個(gè)隨機(jī)事件。那么紅樓夢研究20121211a例如：表示第k次投擲硬幣出現(xiàn)正面，k=1,2,……,就表示“33定義：稱事件A,B相互獨(dú)立，如果

一般地，稱一組事件相互獨(dú)立，如果其中任意有限個(gè)同時(shí)發(fā)生的概率等于它們每一個(gè)發(fā)生的概率的乘積。所以，如果知道事件相互獨(dú)立，那么事件同時(shí)發(fā)生的概率就等于每一個(gè)發(fā)生的概率的積。紅樓夢研究20121211a定義：稱事件A,B相互獨(dú)立，如果紅樓夢研究20121211a34例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。

表示不難理解也是相互獨(dú)立的一組事件，而且方法三、用第k個(gè)人在今天過生日，k=1,2,……,500。則我們一般認(rèn)為這500個(gè)事件相互獨(dú)立。顯然紅樓夢研究20121211a例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。表示不難理解也是35所以，紅樓夢研究20121211a所以，紅樓夢研究20121211a36

連續(xù)投擲一枚硬幣n次，計(jì)算其中恰好出現(xiàn)k次正面的概率，

這個(gè)問題有如下三點(diǎn)要注意：（1）.每次試驗(yàn)（或觀測）只有兩種可能的結(jié)果，其一記為A,另一個(gè)就是

（2）.每次試驗(yàn)（或觀測）結(jié)果不受其它試驗(yàn)（或觀測）結(jié)果的影響。即各次試驗(yàn)或觀測相互獨(dú)立。

（3）.每次A發(fā)生的概率都相同，記為紅樓夢研究20121211a連續(xù)投擲一枚硬幣n次，計(jì)算其中恰好出現(xiàn)k次正面的概37這個(gè)問題的答案就是二項(xiàng)概率公式：

這種隨機(jī)試驗(yàn)或觀測我們叫做獨(dú)立試驗(yàn)序列。在研究獨(dú)立試驗(yàn)序列時(shí)，一個(gè)基本問題就是，n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率是多少？紅樓夢研究20121211a這個(gè)問題的答案就是二項(xiàng)概率公式：這種隨38特別地所以每個(gè)人是否在今天過生日相互獨(dú)立。所以500人中恰有k人在今天過生日的概率為

方法四、每個(gè)人在今天過生日的概率都是例、求500人中至少有一人生日在今天的概率。紅樓夢研究20121211a每個(gè)人是否在今天過生日相互獨(dú)立。所以500人中恰有k人在今天39

某車間有十臺機(jī)床，彼此獨(dú)立工作。據(jù)統(tǒng)計(jì)每臺機(jī)床每小時(shí)有12分鐘在工作，工作時(shí)需8千瓦的電力。供電部門供多少電給該車間合適呢？

該車間恰好有k臺機(jī)床在同時(shí)工作的概率為

解：用A表示一臺機(jī)床在工作，則紅樓夢研究20121211a某車間有十臺機(jī)床，彼此獨(dú)立工作。據(jù)統(tǒng)計(jì)每臺機(jī)床每小時(shí)有40我們把恰好有0，1，2，……，10臺機(jī)床在同時(shí)工作的概率都計(jì)算出來，列在下表里：從表中數(shù)據(jù)可以看出，所以，供給千瓦電力就可以保證有0.9936的概率不會(huì)誤事。完全沒有必要供給80千瓦的電力。紅樓夢研究20121211a我們把恰好有0，1，2，……，10臺機(jī)床在同時(shí)工作的概率都計(jì)41第五節(jié)隨機(jī)變量簡介

隨機(jī)變量是這樣的一種“函數(shù)”，它把隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)基本結(jié)果對應(yīng)成一個(gè)實(shí)數(shù)。例如，擲一枚硬幣有兩個(gè)基本結(jié)果，正面和反面。我們?nèi)是這樣的一種對應(yīng)法則：

如果擲出正面，取X=1，如果擲出反面，取X=-1.則X就是一個(gè)隨機(jī)變量，取-1和1兩個(gè)值，到底取哪個(gè)在實(shí)驗(yàn)沒有結(jié)束之前不能確定，即取值是隨機(jī)的。所有可能取值的概率總和必為1。紅樓夢研究20121211a第五節(jié)隨機(jī)變量簡介所有可能取值的概率總和必為1。紅樓夢研究42

我們關(guān)心的是隨機(jī)變量的取某個(gè)值或取值落在某個(gè)范圍里的概率。怎樣計(jì)算，依不同情況而定。隨機(jī)變量有兩種類型，一種是它的所有可能的取值可以一一列舉出來。例如上面提到的。這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量。對于這樣的隨機(jī)變量，我們要搞清楚它可能取的每一個(gè)值，而且要求出取每一個(gè)值的概率。

例如，投擲一個(gè)硬幣100次，用X表示其中出現(xiàn)的正面次數(shù)，則所有可能的取值是0，1，2，……，100，且所有可能取值的概率總和必為1。

紅樓夢研究20121211a我們關(guān)心的是隨機(jī)變量的取某個(gè)值或取43

對于隨機(jī)變量，我們常常會(huì)求它的取值的平均值，還要考慮它的取值的分散程度。那么這個(gè)運(yùn)動(dòng)員的水平該怎樣評價(jià)呢？我們計(jì)算一下他打一槍平均來說可能的環(huán)數(shù)：這個(gè)數(shù)叫隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望。

例如，X表示一個(gè)射擊運(yùn)動(dòng)員命中的環(huán)數(shù)，則它是一個(gè)隨機(jī)變量。假設(shè)我們已經(jīng)知道X取每一個(gè)值的概率，如下表所示：紅樓夢研究20121211a對于隨機(jī)變量，我們常常會(huì)求它的取值的平44

相對于數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量的取值有時(shí)偏大，有時(shí)偏小，那么平均偏差該怎樣計(jì)算呢？先把這些偏差做平方，然后再平均?？紤]到每一個(gè)偏差出現(xiàn)的可能性實(shí)際上就是原先的取值對應(yīng)的概率，所以也要用求數(shù)學(xué)期望那樣的方法來求偏差平方的平均值。例如，上面的X，由上表可見，偏差平方的平均值為這個(gè)數(shù)叫隨機(jī)變量X的方差。紅樓夢研究20121211a相對于數(shù)學(xué)期望，隨機(jī)變量的取值有時(shí)偏大，有時(shí)偏小，45

隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映了它取值的平均大小，是一個(gè)平均值；

隨機(jī)變量的方差反映了它相對于平均值而言的分散程度。方差越小，取值的分散程度越小。如果方差為0，那這個(gè)隨機(jī)變量就幾乎是一個(gè)常數(shù)。紅樓夢研究20121211a隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望反映了它取46

例：據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)下月有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01。設(shè)工地上有一臺大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案：1、運(yùn)走設(shè)備，需花費(fèi)3800元；2、建一保護(hù)墻，需花費(fèi)2000元。但無法抵御大洪水，大洪水來臨的話，設(shè)備受損，損失60000元；

3、不采取任何措施，祈禱不發(fā)生洪水。大洪水來臨損失60000元，小洪水來臨損失10000元。試比較哪種方案好。紅樓夢研究20121211a例：據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)下月有小洪水的概率為047解：分別用X,Y,Z表示三種方案下可能帶來的費(fèi)用，則都是隨機(jī)變量。我們把各個(gè)隨機(jī)變量的分布列在下表里：則E(X)=3800E(Y)=2600E(Z)=3100平均來說，方案二比較好。紅樓夢研究20121211a解：分別用X,Y,Z表示三種方案下可能帶來的費(fèi)用，則都是隨機(jī)48第二部分統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)在我們國家有兩種意義：社會(huì)統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)我們要討論的是數(shù)理統(tǒng)計(jì)。紅樓夢研究20121211a第二部分統(tǒng)計(jì)紅樓夢研究20121211a49引言你要研究什么？研究對象——總體由全體成員構(gòu)成。例如1、某地區(qū)高中學(xué)生的身高發(fā)育情況

2、袁隆平新水稻品種的畝產(chǎn)量3、某班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績4、某個(gè)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績5、姚明的技術(shù)水平（投籃，三分球，命中率，籃板等）6、學(xué)習(xí)成績與性別的關(guān)系7、紅樓夢前80回與后40回的用字、用詞的差異紅樓夢研究20121211a引言紅樓夢研究20121211a50為什么要學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)？1、當(dāng)我們要對總體進(jìn)行研究時(shí)，由于種種原因，不可把每個(gè)個(gè)體的特征都記錄研究；2、不可能收集到所有數(shù)據(jù)；3、可能收集到所有數(shù)據(jù)，但是要花費(fèi)大量的財(cái)力物力；4、即使收集到了所有的數(shù)據(jù)資料，面對大量的雜亂無章的數(shù)據(jù)，不用科學(xué)的方法處理，我們也無法得到想要得到的信息。紅樓夢研究20121211a為什么要學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)？紅樓夢研究20121211a51統(tǒng)計(jì)正是處理上面遇到的窘境的理想手段：1、怎樣收集數(shù)據(jù)資料；2、怎樣對收集到的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行科學(xué)的分析處理；3、合理解釋處理結(jié)果。紅樓夢研究20121211a統(tǒng)計(jì)正是處理上面遇到的窘境的理想手段：紅樓夢研究20121252樣本從總體中抽取一部分個(gè)體出來，測量其相應(yīng)的數(shù)量指標(biāo)和特征并記錄。這一部分個(gè)體放到一起就叫做一個(gè)樣本。一般來說，我們總是把測得的數(shù)據(jù)全體叫做樣本。樣本中所考慮的個(gè)體的數(shù)目叫樣本容量。紅樓夢研究20121211a樣本紅樓夢研究20121211a53例如：1、隨機(jī)抽查某地區(qū)100名高中二年級學(xué)生測量身高得到的200個(gè)數(shù)據(jù)；

2、將水稻新品種種植在其他條件相同的10塊試驗(yàn)田里，收割后測得的10個(gè)畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)；紅樓夢研究20121211a例如：1、隨機(jī)抽查某地區(qū)100名高中二年級學(xué)生測量身高得到的54第一節(jié)抽樣方法

A、簡單隨機(jī)抽樣法

從有N個(gè)個(gè)體的總體中不重復(fù)地取出n個(gè)個(gè)體，n<N，每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)被抽到。抽簽法：編號、制簽、攪勻、隨機(jī)抽簽k次隨機(jī)數(shù)表：省掉制簽、攪勻、隨機(jī)抽簽過程紅樓夢研究20121211a第一節(jié)抽樣方法紅樓夢研究20121211a55

隨機(jī)數(shù)表是一個(gè)重要工具。它是一張由數(shù)字0到9構(gòu)成的數(shù)表，可能三個(gè)三個(gè)地由三位數(shù)構(gòu)成。也可能由四位數(shù)構(gòu)成。

我們可以用某種編程語言產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)表。用Excel就可以方便地產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)表：紅樓夢研究20121211a隨機(jī)數(shù)表是一個(gè)重要工具。紅樓夢研究2012121561、在單元格C1里輸入=RAND()

產(chǎn)生一個(gè)0到1之間的隨機(jī)數(shù)，拖拽C1的填充柄就可以產(chǎn)生不同的隨機(jī)數(shù)。65536行，可產(chǎn)生大量隨機(jī)數(shù)。（0，1之間隨機(jī)數(shù)）

2、輸入=INT(100*RAND())產(chǎn)生0到99之間的整隨機(jī)數(shù)。（兩位隨機(jī)數(shù)）3、隨機(jī)數(shù)發(fā)生器選擇工具——數(shù)據(jù)分析——隨機(jī)數(shù)發(fā)生器（隨機(jī)數(shù)）

4、計(jì)算器可能會(huì)有不同的方法，要參考有關(guān)說明書。紅樓夢研究20121211a1、在單元格C1里輸入=RAND()產(chǎn)生一個(gè)0到1之間57B、系統(tǒng)抽樣分成相同的n組，每組隨機(jī)抽取一個(gè)。C、分層抽樣總體由差異明顯的幾個(gè)部分組成，各部分稱為層。根據(jù)比例在各層進(jìn)行抽樣。紅樓夢研究20121211aB、系統(tǒng)抽樣分成相同的n組，每組隨機(jī)抽取一個(gè)。紅樓夢研究58第二節(jié)總體分布的估計(jì)統(tǒng)計(jì)的任務(wù)：

在統(tǒng)計(jì)里我們感興趣的是：如果從總體中任取一個(gè)個(gè)體，這個(gè)個(gè)體的某個(gè)或幾個(gè)數(shù)量指標(biāo)會(huì)有什么特征？我們不知道其指標(biāo)會(huì)是多少。統(tǒng)計(jì)的任務(wù)就是希望搞清楚，任取一個(gè)個(gè)體，其指標(biāo)會(huì)遵循什么規(guī)律。當(dāng)然不會(huì)是一個(gè)確定性的規(guī)律，而是一個(gè)“統(tǒng)計(jì)規(guī)律”，就是一個(gè)具有概率意義的規(guī)律。例如某地某段時(shí)間里高溫出現(xiàn)概率；某校高一年級男生的身高在某個(gè)范圍里的概率。紅樓夢研究20121211a紅樓夢研究20121211a59

從總體中任取一個(gè)個(gè)體，其指標(biāo)不知道會(huì)是多少，就把它作為一個(gè)隨機(jī)變量對待。對總體的研究，就是要達(dá)到搞清楚這個(gè)隨機(jī)變量的分布的目的。這就是統(tǒng)計(jì)的基本目的。在概率論里，我們研究各種分布。在統(tǒng)計(jì)里，我們要利用樣本數(shù)據(jù)確定表示總體指標(biāo)的那個(gè)隨機(jī)變量到底應(yīng)該是什么分布。如果分布完全是已知的，那統(tǒng)計(jì)就沒有任何意義了。紅樓夢研究20121211a從總體中任取一個(gè)個(gè)體，其指標(biāo)不知道會(huì)是多少，就把它60參數(shù)問題：對總體指標(biāo)的數(shù)字特征，比如數(shù)學(xué)期望，方差，中為數(shù)等的估算、刻畫。非參數(shù)問題多個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系問題

紅樓夢研究20121211a參數(shù)問題：對總體指標(biāo)的數(shù)字特征，比如數(shù)學(xué)期望，方差，中為數(shù)等61所以，要知道我們會(huì)遇到的問題：刻劃總體分布刻劃總體數(shù)字特征刻劃各種關(guān)系在所有的問題中，歸根結(jié)底是估計(jì)概率的問題，而估計(jì)概率最基本的方法，就是利用頻率。要計(jì)算頻率，就要抽樣——做實(shí)驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)。紅樓夢研究20121211a所以，要知道我們會(huì)遇到的問題：紅樓夢研究20121211a62

由于我們是從樣本出發(fā)做出的結(jié)論，結(jié)論勢必會(huì)有出錯(cuò)的可能。數(shù)理統(tǒng)計(jì)的結(jié)論不同于其他的結(jié)論，其精華就在于：在給出結(jié)論的同時(shí)，還會(huì)告訴你，這個(gè)結(jié)論出錯(cuò)的概率有多大。

紅樓夢研究20121211a由于我們是從樣本出發(fā)做出的結(jié)論，結(jié)論勢必會(huì)有出63總體分布的估計(jì)方法頻率分布表全距組距頻數(shù)頻率頻率/組距頻率分布直方圖與折線圖頻率直方圖

紅樓夢研究20121211a總體分布的估計(jì)方法紅樓夢研究20121211a64紅樓夢研究20121211a紅樓夢研究20121211a65第三節(jié)總體特征數(shù)的估計(jì)總體分布的特征數(shù)有各種各樣，我們在概率論里叫它們作數(shù)字特征。例如數(shù)學(xué)期望，方差，中位數(shù)，眾數(shù)，等等。在統(tǒng)計(jì)里這些往往都是不知道的。統(tǒng)計(jì)的任務(wù)之一就是利用樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)這些數(shù)字特征。在這里就是要向?qū)W生介紹其中最基本的幾種估計(jì)量。

紅樓夢研究20121211a第三節(jié)總體特征數(shù)的估計(jì)紅樓夢研究20121211a66A、平均數(shù)的估計(jì)平均數(shù)指總體X平均數(shù)，即數(shù)學(xué)期望E(X)，一般用希臘字母μ表示。怎樣用樣本值來估計(jì)這個(gè)數(shù)呢？設(shè)我們得到的樣本為

,那么我們就用來做為μ的估計(jì)值，有時(shí)記為這個(gè)公式叫做樣本均值或樣本平均數(shù)。紅樓夢研究20121211aA、平均數(shù)的估計(jì),那么我們就用來做為μ的估計(jì)值，有時(shí)記為這67

在統(tǒng)計(jì)研究中我們正是要討論這種公式的意義和價(jià)值，而不會(huì)對具體的計(jì)算結(jié)果說它的優(yōu)劣。為什么？因?yàn)樵俸玫墓揭矔?huì)有計(jì)算出糟糕結(jié)果的時(shí)候。例如抽樣的時(shí)候碰巧樣本取的不好，這是有可能的。

紅樓夢研究20121211a在統(tǒng)計(jì)研究中我們正是要討論這種公式的意義和價(jià)值68樣本均值的最大優(yōu)點(diǎn)有兩個(gè)，無偏性和最小方差性：紅樓夢研究20121211a樣本均值的最大優(yōu)點(diǎn)有兩個(gè)，無偏性和最小方差性：紅樓夢研究2069總體X的方差是描述了總體取值相對于其平均值μ的離散程度。我們要估計(jì)方差，就要先算出μ的估計(jì)來，然后看看樣本值相對于這個(gè)估計(jì)值的離散程度有多大。所以就用作為總體方差的估計(jì)值。這就是樣本方差。對其開方，就得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差。紅樓夢研究20121211a總體X的方差是描述了總體取值相對于其平均70

例如，要對一種新的水稻品種和一種老的品種做比較，看看新品種到底好不好，怎樣比？我們需要進(jìn)行抽樣，得到樣本：對每個(gè)品種種植試驗(yàn)，例如，新品種種m塊試驗(yàn)田，得到m個(gè)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)，老品種種n塊試驗(yàn)田，得到n個(gè)畝產(chǎn)數(shù)據(jù)。我們就有了兩個(gè)樣本。分別計(jì)算相應(yīng)的樣本均值和樣本方差。樣本均值越大越好，樣本方差則越小越好。紅樓夢研究20121211a例如，要對一種新的水稻品種和一種老的品種做比較71MODE鍵+3鍵：進(jìn)入統(tǒng)計(jì)模式SHIFT鍵+KAC鍵：開始輸入數(shù)據(jù)每輸入一個(gè)數(shù)據(jù)按一次DATA鍵輸完后，KOUT鍵+n鍵，顯示數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)SHIFT+1鍵：顯示樣本均值SHIFT+2鍵：顯示樣本標(biāo)準(zhǔn)差，再按平方鍵可得樣本方差。KOUT+2鍵可計(jì)算樣本值的總和紅樓夢研究20121211aMODE鍵+3鍵：進(jìn)入統(tǒng)計(jì)模式紅樓夢研究2012121172叫回歸方程。

第四節(jié)線性回歸方程有兩個(gè)量x和y，x的變化會(huì)導(dǎo)致y發(fā)生變化。但是，并不是每一個(gè)x值唯一地對應(yīng)一個(gè)y值，即使已知x的取值，也無法完全確定y的取值，它有隨機(jī)性。y與x之間不是我們以前學(xué)過的函數(shù)關(guān)系，這種關(guān)系我們叫相關(guān)關(guān)系。對于具有相關(guān)關(guān)系的y和x，我們怎樣利用數(shù)學(xué)知識比較準(zhǔn)確地刻畫它們之間的關(guān)系呢？我們希望能夠搞清楚，如果不考慮隨機(jī)因素，y與x之間的確定性關(guān)系是什么？紅樓夢研究20121211a叫回歸方程。第四節(jié)線性回歸方程紅樓夢研究273.

叫回歸方程。這就是傳說中的回歸模型。相應(yīng)的函數(shù)叫回歸函數(shù)，而把

設(shè)這個(gè)確定性關(guān)系可以用函數(shù)f(x)表示。那么y與x之間的相關(guān)關(guān)系應(yīng)該用下式來刻畫：紅樓夢研究20121211a.叫回歸方程。這就是傳說中的回歸模型。相應(yīng)的函數(shù)叫回歸函數(shù)，74回歸分析的基本理論任務(wù)有三個(gè)：1、確定到底有沒有這種回歸關(guān)系？2、如果有，回歸函數(shù)是什么樣子的？3、誤差項(xiàng)作為隨機(jī)變量服從什么分布？至少應(yīng)該估計(jì)出它的數(shù)學(xué)期望和方差。至于它的應(yīng)用，非常廣泛。紅樓夢研究20121211a回歸分析的基本理論任務(wù)有三個(gè)：紅樓夢研究20121211a75

為了解決以上問題，必須有樣本！作n次觀測，每次觀測一個(gè)x值和它相應(yīng)的y值，依次記為這就是樣本。在這一章我們假設(shè)已經(jīng)得到了樣本，下面解決相應(yīng)的問題。樣本一般用一張表列出。紅樓夢研究20121211a為了解決以上問題，必須有樣本！作n次觀測，每次76

的形式。這樣的回歸分析叫線性回歸分析，相應(yīng)的關(guān)系叫線性回歸關(guān)系。我們要先考慮選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后看看這個(gè)函數(shù)是不是合適。在中學(xué)課本里，我們選擇線性函數(shù)，就是取紅樓夢研究20121211a的形式。這樣的回歸分析叫線性回歸分析，相應(yīng)的關(guān)系叫線性77

如果y與x之間完全沒有任何線性依賴關(guān)系，那么給定x對計(jì)算y沒有任何意義。這時(shí)b自然應(yīng)該是0。所以在線性回歸里如果b幾乎是0，那么線性回歸就沒有什么意義了。

我們也正是通過數(shù)據(jù)計(jì)算這兩個(gè)系數(shù)的，而且也是通過判斷b與0的接近程度來判斷y與x之間有沒有線性回歸關(guān)系的。紅樓夢研究20121211a如果y與x之間完全沒有任何線性依賴關(guān)系，那么給定78散點(diǎn)圖紅樓夢研究20121211a散點(diǎn)圖紅樓夢研究20121211a79回歸系數(shù)的計(jì)算選用怎樣的直線最好呢？假如我們選定了一條直線是那么如果不考慮隨機(jī)因素，把x帶入這個(gè)方程計(jì)算出來的

應(yīng)該與觀測到的y值越接近越好。如果把樣本里的所有x的取值依次帶入，就可以計(jì)算得到相應(yīng)的好的直線應(yīng)該使得這里計(jì)算出來的值與相應(yīng)的觀測值相差不大。紅樓夢研究20121211a回歸系數(shù)的計(jì)算那么如果不考慮隨機(jī)因素，把x帶入這個(gè)方程計(jì)算出80把所有的誤差的平方累積起來就是我們要取這樣的，使得達(dá)到最小。最小二乘思想紅樓夢研究20121211a把所有的誤差的平方累積起來就是我們要取這樣的，使得達(dá)到最小。81紅樓夢研究20121211a紅樓夢研究20121211a82紅樓夢研究20121211a紅樓夢研究20121211a83紅樓夢研究20121211a紅樓夢研究20121211a84紅樓夢研究20121211a紅樓夢研究20121211a85其中紅樓夢研究20121211a其中紅樓夢研究20121211a86不難看出，為使達(dá)到最小，只要取就可以了。而且這時(shí)達(dá)到最小值

。紅樓夢研究20121211a不難看出，為使達(dá)到最小，只要取就可以了。而且這時(shí)達(dá)到最小值87我們得到的回歸直線為

帶入到此方程，即可得到一個(gè)相應(yīng)的此值可以看作是的計(jì)算值。把樣本中的

紅樓夢研究20121211a我們得到的回歸直線為帶入到此方程，即可得到一個(gè)相應(yīng)的此88

我們把叫做殘差平方和?；貧w直線就是使殘差平方和達(dá)到最小的那條直線。紅樓夢研究20121211a我們把叫做殘差平方和。回歸直線就是使殘差平方和達(dá)到最小89

越小，說明直線回歸越好。這就部分地解決了我們判斷線性回歸好不好的問題。

這里還得到一個(gè)副產(chǎn)品：從而

所以紅樓夢研究20121211a越小，說明直線回歸越好。這就部分地解決了我90相關(guān)系數(shù)

紅樓夢研究20121211a相關(guān)系數(shù)紅樓夢研究20121211a91可見|r|越接近于1，直線回歸越好。

如果|r|接近于1，F(xiàn)值就會(huì)比較大。但是如果沒有線性相關(guān)關(guān)系，F(xiàn)值較大的可能性很小。所以據(jù)此判斷有線性相關(guān)關(guān)系。事實(shí)上，如果沒有線性相關(guān)關(guān)系，那么紅樓夢研究20121211a可見|r|越接近于1，直線回歸越好。如果|r|接近于92例：教材73頁例一的數(shù)據(jù)。用Excel計(jì)算：1、輸入數(shù)據(jù)2、作散點(diǎn)圖：插入—圖表—散點(diǎn)圖3、作回歸方程：激活散點(diǎn)圖—點(diǎn)一個(gè)散點(diǎn)—右鍵—添加趨勢線—線性—選項(xiàng)卡—顯示公式，R平方值回歸

紅樓夢研究20121211a例：教材73頁例一的數(shù)據(jù)。用Excel計(jì)算：紅樓夢研究2093也可以用計(jì)算器：MODE+2

進(jìn)入回歸狀態(tài)1、輸入數(shù)據(jù)：SHIFT+KAC(即開關(guān)鍵)開始輸入數(shù)據(jù)：95+(xD,yD)(四排一鍵)+6.2+DATA鍵(最后一鍵)這樣就完成一對數(shù)的輸入。重復(fù)地輸入所有數(shù)據(jù)；2、SHIFT+A

(即7鍵)

給出a，SHIFT+B

(即8鍵)給出b；3、SHIFT+r(即9鍵)給出相關(guān)系數(shù)；4、輸入一個(gè)x值+y^鍵(四排二鍵)給出對應(yīng)的y的預(yù)測值；