廈門理工學(xué)院理論力學(xué)第五章點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)概述課件

第二篇運(yùn)動學(xué)研究物體運(yùn)動的幾何性質(zhì)第二篇運(yùn)動學(xué)研究物體運(yùn)動的幾何性質(zhì)點(diǎn)和剛體運(yùn)動的描述（運(yùn)動方程）點(diǎn)的運(yùn)動特征量（軌跡、速度和加速度）剛體運(yùn)動特征量（角速度和角加速度）第二篇運(yùn)動學(xué)1、運(yùn)動學(xué)的任務(wù)2、明確兩個基本概念物體的空間位置必須說明它是對哪個物體而言的運(yùn)動學(xué)中涉及的時間概念有兩個：瞬時和時間間隔點(diǎn)和剛體運(yùn)動的描述（運(yùn)動方程）第二篇運(yùn)動學(xué)1、運(yùn)動學(xué)的任能選用合適的方法描述點(diǎn)的運(yùn)動和剛體的運(yùn)動，能熟練計(jì)算速度和加速度，角速度和角加速度；能正確分析剛體的平面運(yùn)動，能熟練確定速度瞬值，計(jì)算剛體角速度，熟練選用不同的方法求平面圖形上各點(diǎn)速度和角速度。正確選擇動點(diǎn)和動系，應(yīng)用合成運(yùn)動的方法求點(diǎn)的速度和角速度。3、要求4、難點(diǎn)和重點(diǎn)點(diǎn)的合成運(yùn)動剛體的平面運(yùn)動第二篇運(yùn)動學(xué)能選用合適的方法描述點(diǎn)的運(yùn)動和剛體的運(yùn)動，能熟練計(jì)算速度和加（1）參考體:要確定某物體在空間的位置，必須選取另一不變形的物體作為參考體。如:書和黑板擦放在講臺上，書在運(yùn)動，選黑板擦為“參考體”。（2）參考坐標(biāo)系:如將坐標(biāo)系固連于參考體上，就構(gòu)成參考坐標(biāo)系。若某一物體相對參考坐標(biāo)系是靜體，則對于此坐標(biāo)系來說，物體靜止；反之運(yùn)動。（3）靜坐標(biāo)系：一般固連于地球上的坐標(biāo)系為參考坐標(biāo)系，通常稱為靜坐標(biāo)系。5、運(yùn)動學(xué)基本概念第二篇運(yùn)動學(xué)（1）參考體:要確定某物體在空間的位置，必須選取另一不變形（4）瞬時：對應(yīng)于某一事件發(fā)生或終止的時間。如上課開始時。（5）時間間隔:

兩個瞬時之間的時間數(shù)。如得開始與結(jié)束之間的時間數(shù)45分鐘。（6）軌跡:

點(diǎn)在空間運(yùn)動所經(jīng)過的路線。直線運(yùn)動,曲線運(yùn)動。第二篇運(yùn)動學(xué)（4）瞬時：對應(yīng)于某一事件發(fā)生或終止的時間。如上課開始時。第§5－1矢量法§5－2直角坐標(biāo)法§5－3自然法第五章點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)第二篇運(yùn)動學(xué)§5－1矢量法第五章點(diǎn)的運(yùn)動學(xué)第二篇運(yùn)動學(xué)1.運(yùn)動方程

選取參考系上某確定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，自點(diǎn)O向動點(diǎn)M作矢量r，稱為點(diǎn)M相對原點(diǎn)O的位置矢量，簡稱矢徑。當(dāng)動點(diǎn)M運(yùn)動時，矢徑r隨時間而變化，并且是時間的單值連續(xù)函數(shù)，即以矢量表示的點(diǎn)M的運(yùn)動方程第一節(jié)矢量法MrO1.運(yùn)動方程選取參考系上某確定點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，自點(diǎn)2.速度動點(diǎn)的速度矢等于它的矢徑對時間的一階導(dǎo)數(shù)。

動點(diǎn)的速度矢沿著矢徑的矢端曲線的切線，即沿動點(diǎn)運(yùn)動軌跡的切線，并與此點(diǎn)運(yùn)動的方向一致。AMBOr(t)r(t+Δt)M'vv*Δr第一節(jié)矢量法2.速度動點(diǎn)的速度矢等于它的矢徑對時間的一階導(dǎo)數(shù)。動點(diǎn)3.加速度

點(diǎn)的速度矢對時間的變化率稱為加速度。點(diǎn)的加速度也是矢量，它表征了速度大小和方向的變化。點(diǎn)的加速度等于它的速度對時間的一階導(dǎo)數(shù)，也等于它的矢徑對時間的二階導(dǎo)數(shù)。有時為了方便，在字母上方加“.”表示該量對時間的一階導(dǎo)數(shù)，加“..”表示該量對時間的二階導(dǎo)數(shù)。第一節(jié)矢量法3.加速度點(diǎn)的速度矢對時間的變化率稱為加速度。點(diǎn)的加速度如在空間任意取一點(diǎn)O，把動點(diǎn)M在連續(xù)不同瞬時的速度矢v0,v1,v2，…等都平行地移到點(diǎn)O，連接各矢量的端點(diǎn)M1，M2，M3，…，就構(gòu)成了矢量v端點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為速度矢端曲線，如圖所示。速度矢端曲線OM1M2M3v0v1v2a加速度的方向確定第一節(jié)矢量法如在空間任意取一點(diǎn)O，把動點(diǎn)M在連續(xù)不同瞬時的這組方程叫做用直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動方程。如以矢徑r的起點(diǎn)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則矢徑r可表示為：MrOkijyyxxzz第二節(jié)直角坐標(biāo)法這組方程叫做用直角坐標(biāo)表示的點(diǎn)的運(yùn)動方程。如以矢徑r的起

速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)數(shù)。1、速度若已知速度的投影，則速度的大小為其方向余弦為第二節(jié)直角坐標(biāo)法速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時間的一階導(dǎo)

加速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對時間的二階導(dǎo)數(shù)。2、加速度若已知加速度的投影，則加速度的大小為其方向余弦為第二節(jié)直角坐標(biāo)法加速度在各坐標(biāo)軸上的投影等于動點(diǎn)的各對應(yīng)坐標(biāo)對例1下圖為偏心驅(qū)動油泵中的曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。設(shè)曲柄OA

長為r

，自水平位置開始以勻角速度w

轉(zhuǎn)動，即j

=wt，滑槽K-K與導(dǎo)桿B-B制成一體。曲柄端點(diǎn)A通過滑塊在滑槽K-K中滑動，因而曲柄帶動導(dǎo)桿B-B作上下直線運(yùn)動。試求導(dǎo)桿的運(yùn)動方程，速度和加速度。BABOKMKwxjx第二節(jié)直角坐標(biāo)法例1下圖為偏心驅(qū)動油泵中的曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。設(shè)曲柄OA長為解：取M點(diǎn)的直線軌跡為x

軸，曲柄的轉(zhuǎn)動中心O為坐標(biāo)圓點(diǎn)。M點(diǎn)的坐標(biāo)為：BABOKMKwxjx將j=wt帶入上式，得M點(diǎn)的運(yùn)動方程：將上式對時間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得：第二節(jié)直角坐標(biāo)法解：取M點(diǎn)的直線軌跡為x軸，曲柄的轉(zhuǎn)動中心O為坐標(biāo)圓點(diǎn)。例2橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸O轉(zhuǎn)動，其端點(diǎn)C與規(guī)尺AB的中點(diǎn)以鏈相連接，而規(guī)尺A、B兩端分別在相互垂直的滑槽中運(yùn)動，如圖所示，已知：OC=AC=BC=l，MC=a

，

j=wt，求規(guī)尺上點(diǎn)M的運(yùn)動方程，運(yùn)動軌跡，速度和加速度。第二節(jié)直角坐標(biāo)法例2橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸O轉(zhuǎn)動，其端點(diǎn)C與規(guī)尺AB的如果點(diǎn)沿著已知的軌跡運(yùn)動，則點(diǎn)的運(yùn)動方程可用點(diǎn)在已知軌跡上所走過的弧長隨時間變化的規(guī)律描述。運(yùn)動方程：第三節(jié)自然法1、弧坐標(biāo)在軌跡上任選一點(diǎn)O為參考點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)O的某一側(cè)為正向，動點(diǎn)P在軌跡上的位置由弧長s確定，視弧長s為代數(shù)量，稱它為動點(diǎn)P在軌跡上的弧坐標(biāo)。如果點(diǎn)沿著已知的軌跡運(yùn)動，則點(diǎn)的運(yùn)動方程可用點(diǎn)在已知軌跡上所t1t'1tM1在點(diǎn)的運(yùn)動軌跡曲線上取極為接近的兩點(diǎn)M和M1，這兩點(diǎn)切線的單位矢量分別為t和t1，其指向與弧坐標(biāo)正向一致。將t1平移到點(diǎn)M，則t

和t1’決定一平面。令M無限趨近點(diǎn)M1，則此平面趨近于某一極限位置，此極限平面稱為曲線在點(diǎn)M的密切面。過點(diǎn)M并與切線垂直的平面稱為法平面，法平面與密切面的交線稱主法線。令主法線的單位矢量為n，指向曲線內(nèi)凹一側(cè)。過點(diǎn)M且垂直于切線及主法線的直線稱副法線，其單位矢量為b，指向與t、n構(gòu)成右手系。第三節(jié)自然法2、自然軸系

t1t'1tM1在點(diǎn)的運(yùn)動軌跡曲線上取極為接近的兩點(diǎn)M和M1即以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系，這三個軸稱為自然軸系。且三個單位矢量滿足右手法則，即Mnbt第三節(jié)自然法即以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)

曲線切線的轉(zhuǎn)角對弧長一階導(dǎo)數(shù)的絕對值稱為曲線在M點(diǎn)的曲率。曲率的倒數(shù)稱為M點(diǎn)的曲率半徑，曲率半徑用ρ表示。3、曲率MM'△s△jtt'第三節(jié)自然法曲線切線的轉(zhuǎn)角對弧長一階導(dǎo)數(shù)的絕對值稱為曲線在M點(diǎn)的曲率OMM't"t't△j△s△t第三節(jié)自然法當(dāng)Δt→0，Δφ

→0，Δt與t垂直，其單位向量用n表示OMM't"t't△j△s△t第三節(jié)自然法當(dāng)Δt→0，P′Po第三節(jié)自然法4、點(diǎn)的速度

P′Po第三節(jié)自然法4、點(diǎn)的速度5、點(diǎn)的切向加速度和法向加速度

由于所以第三節(jié)自然法5、點(diǎn)的切向加速度和法向加速度由于所以第三節(jié)自然法上式表明加速度矢量a是由兩個分矢量組成：分矢量at的方向永遠(yuǎn)沿軌跡的切線方向，稱為切向加速度，它表明速度代數(shù)值（大?。╇S時間的變化率；分矢量an的方向永遠(yuǎn)沿主法線的方向，稱為法向加速度，它表明速度方向隨時間的變化率。第三節(jié)自然法注：判別點(diǎn)作加速運(yùn)動還是減速運(yùn)動，是用at，而不是用a，當(dāng)v與at同號時是加速運(yùn)動，反之做減速運(yùn)動。（p152思考題5-3）上式表明加速度矢量a是由兩個分矢量組成：分矢量at的方向永遠(yuǎn)全加速度為at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式?jīng)Q定：大小：方向：第三節(jié)自然法全加速度為at和an的矢量和全加速度的大小和方向由下列二式?jīng)Q思考題1、點(diǎn)作曲線運(yùn)動時，點(diǎn)的位移、路程和弧坐標(biāo)是否相同？答案：不相同（1）位移是矢量，路程是純正量，弧坐標(biāo)是代數(shù)量；（2）路程和弧坐標(biāo)的大小相同，位移的大小與路程、弧坐標(biāo)的大小不相同。第三節(jié)自然法思考題1、點(diǎn)作曲線運(yùn)動時，點(diǎn)的位移、路程和弧坐標(biāo)答案：不相同2、點(diǎn)做曲線運(yùn)動時，下述說法是否正確：（1）若切向加速度為正，則點(diǎn)作加速運(yùn)動（2）若切向加速度與速度符號相同，則點(diǎn)作加速運(yùn)動（3）若切向加速度為零，則速度為常矢量。第三節(jié)自然法2、點(diǎn)做曲線運(yùn)動時，下述說法是否正確：第三節(jié)自然法

3、當(dāng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動時，點(diǎn)的加速度a是恒矢量，問點(diǎn)是否作勻變速運(yùn)動？第三節(jié)自然法3、當(dāng)點(diǎn)作曲線運(yùn)動時，點(diǎn)的加速度a是恒矢量，問點(diǎn)是否4、判斷下列情況是否存在？答案：

A、B存在，

C、D、E不存在。第三節(jié)自然法4、判斷下列情況是否存在？答案：第三節(jié)自然法5、下述各種情況下，動點(diǎn)的全加速度、切向加速度和法向加速度三個矢量之間有何關(guān)系？

(1)點(diǎn)沿曲線作勻速運(yùn)動

(2)點(diǎn)沿曲線運(yùn)動，在該瞬時其速度為零

(3)點(diǎn)沿直線作變速運(yùn)動

(4)點(diǎn)沿曲線作變速運(yùn)動第三節(jié)自然法5、下述各種情況下，動點(diǎn)的全加速度、切向加速度和法向加速度三例3下圖為料斗提升機(jī)示意圖。料斗通過鋼絲繩由繞水平軸O轉(zhuǎn)動的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為R＝16cm，料斗沿鉛垂提升的運(yùn)動方程為y＝2t2，y以cm記，t以s計(jì)。求卷筒邊緣一點(diǎn)M在t＝4s時的速度和加速度。解：此時M點(diǎn)的切向加速度為：v＝4×4＝16cm/s當(dāng)t=4s時速度大小為：（方向？）OMRM'A0AM0y第三節(jié)自然法例3下圖為料斗提升機(jī)示意圖。料斗通過鋼絲繩由繞水平軸O轉(zhuǎn)M點(diǎn)的法向加速度為：M點(diǎn)的全加速度為：第三節(jié)自然法M點(diǎn)的法向加速度為：M點(diǎn)的全加速度為：第三節(jié)自然法例4桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，帶動套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M運(yùn)動，已知φ＝wt(w為常數(shù))。求小環(huán)M的運(yùn)動方程、速度和加速度。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。則即為小環(huán)M的運(yùn)動方程。第三節(jié)自然法例4桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，帶動套在半徑為R的固定大圓環(huán)上故M點(diǎn)的速度大小為其方向余弦為故M點(diǎn)的加速度大小為第三節(jié)自然法其方向余弦為:故M點(diǎn)的速度大小為其方向余弦為故M點(diǎn)的加速度大小為第三節(jié)MMjRoj例5半徑為R的輪子沿直線軌道純滾動(無滑動地滾動)。設(shè)輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動，，試分析輪子邊緣