四邊形的存在性【好題精選精練】 數(shù)學(xué)八年級 下冊重難點(diǎn)突破

重難點(diǎn)06四邊形的存在性目錄考點(diǎn)一：平行四邊形的存在性考點(diǎn)二：梯形存在性技巧技巧方法本節(jié)包含兩部分，平行四邊形的存在性及梯形的存在性，常見題型是存在菱形和正方形，根據(jù)題目中的條件及特殊的平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；常見的梯形的問題中，經(jīng)常需要添加輔助線．考察學(xué)生的分類討論思想及邏輯思維能力．能力拓展能力拓展考點(diǎn)一：平行四邊形的存在性平行四邊形的問題是近幾年來考試的熱點(diǎn)，考察學(xué)生的分類討論的思想．常見的題型是在平面直角坐標(biāo)系中已知三點(diǎn)和第四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，求第四點(diǎn)；或者已知兩點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在某函數(shù)圖像上，四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形；利用兩點(diǎn)間的距離公式和平移的思想，結(jié)合題目中的條件構(gòu)造等量關(guān)系．1．（2022春·上海青浦·八年級?？计谀┤鐖D，已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，，點(diǎn)為直線上一點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)當(dāng)直線與直線的夾角等于的倍時，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（2022春·上海閔行·八年級上海市民辦文綺中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象分別交軸、軸于、兩點(diǎn)．過點(diǎn)的直線交軸正半軸于點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．(1)求直線的解析式；(2)在直線上找一點(diǎn)，使得，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在這樣的點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．（2022春·上海長寧·八年級上海市民辦新世紀(jì)中學(xué)?？计谀┮阎?，矩形中，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，垂足為．(1)如圖1，連接、．求證四邊形為菱形，并求的長；(2)如圖2，動點(diǎn)、分別從、兩點(diǎn)同時出發(fā)，沿和各邊勻速運(yùn)動一周．即點(diǎn)自停止，點(diǎn)自停止．在運(yùn)動過程中，①已知點(diǎn)的速度為每秒，點(diǎn)的速度為每秒，運(yùn)動時間為秒，當(dāng)、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時，求的值；②若點(diǎn)、的運(yùn)動路程分別為、（單位：，），已知、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系式．4．（2022春·上海徐匯·八年級統(tǒng)考期末）在中，，，，點(diǎn)D是AB上的動點(diǎn)，交AC于點(diǎn)E，分別交射線BC、射線AC于點(diǎn)F、G，聯(lián)結(jié)EF．(1)如圖1，如果點(diǎn)G恰好平分EC，判斷四邊形DEFC的形狀并證明；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段BC的延長線上時，設(shè)AD的長為x，梯形DBFE的面積為y，直接寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系及其定義域；(3)當(dāng)時，求的長．5．（2022春·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ袕埥瘓F(tuán)中學(xué)?？计谀咎骄颗c應(yīng)用】我們把平行四邊形沿著它的一條對角線翻折，會發(fā)現(xiàn)有很多結(jié)論．例如：在平行四邊形ABCD中，，將△ABC沿直線AC翻折至△AEC，連結(jié)DE，則AC∥ED．(1)如圖1，若AD與CE相交于點(diǎn)O，證明以上個結(jié)論；(2)如圖2，AD與CE相交于點(diǎn)O，若，，，求△AOC的面積；(3)如果，，當(dāng)A、C、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時，請畫圖并求出AC的長；(4)如果，，當(dāng)△AED是直角三角形時，直接寫出BC的長．6．（2022春·上海·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A（0，1）、B（2，2）．將直線l1向下平移m個單位得到直線l2，已知直線l2經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，﹣2），且與x軸交于點(diǎn)C．(1)求直線l1的表達(dá)式；(2)求m的值與點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)D為直線l2上一點(diǎn)，如果A、B、C、D四點(diǎn)能構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．7．（2022春·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝﹣2x+12的圖像分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交y軸正半軸于點(diǎn)M，且點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)．(1)求直線AM的函數(shù)解析式；(2)若點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，且S△AMCS△ABM，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P在直線AB上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q，使四邊形BPMQ是菱形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．8．（2022春·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學(xué)?？计谥校┤鐖D，直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)A（，0），點(diǎn)B在第一象限，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的6倍，且在反比例函數(shù)的圖像上，作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C．(1)求直線AB的表達(dá)式；(2)如果點(diǎn)E在第一象限的反比例函數(shù)圖像上，點(diǎn)F在直線AB上，使四邊形BCEF為平行四邊形，請分別求出點(diǎn)E和點(diǎn)F的坐標(biāo)．9．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交y軸的正半軸于點(diǎn)M，且點(diǎn)M為線段OB的中點(diǎn)．(1)求直線AM的函數(shù)解析式．(2)如果在直線AM上有一點(diǎn)P，使得，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出所有點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10.直線與坐標(biāo)軸分別交與點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P、Q同時從O點(diǎn)出發(fā)，同時到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動停止．點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，點(diǎn)P沿運(yùn)動．（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時間為秒，△OPQ的面積為，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式．（3）當(dāng)時，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．11.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，正比例函數(shù)y=kx（x為自變量）的圖像與雙曲線交于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為．（1）求k的值；（2）將直線y=kx（x為自變量）向上平移4個單位得到直線BC，直線BC分別交x軸、y軸于B、C，如點(diǎn)D在直線BC上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)P，使以O(shè)、B、D、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．12.在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，將一個30°角的頂點(diǎn)P放在AB邊上滑動，保持30°角的一邊平行于BC，且交邊AC于點(diǎn)E，30°的另一邊交射線BC于點(diǎn)D，連ED．（1）如圖，當(dāng)四邊形PBDE為等腰梯形時，求AP長；（2）四邊形PBDE有可能為平行四邊形嗎．若可能，求出PBDE為平行四邊形時，AP的長，若不可能，說明理由；（3）若點(diǎn)D在BC邊上（不與B、C重合），試寫出線段AP的取值范圍．13．（上海八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,直線經(jīng)過點(diǎn)且與直線：平行，直線與軸、軸分別交于點(diǎn)B、C．（1）求直線l1的表達(dá)式及其與軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）判斷四邊形ABCD是什么四邊形？并證明你的結(jié)論；（3）若點(diǎn)E是直線AB上一點(diǎn)，平面內(nèi)存在一點(diǎn)F，使得四邊形CBEF是正方形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，請直接寫出答案.14．（上海八年級期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)、，點(diǎn)是第一象限的點(diǎn)且，過點(diǎn)作軸，垂足為，．（1）求直線的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）試說明：；（3）若點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，在軸上存在另一個點(diǎn)，且以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．15．（上海八年級期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在第二象限，且四邊形為菱形，求點(diǎn)坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)．考點(diǎn)二：梯形存在性梯形的分類討論題多見于各類壓軸題中，由于這類題目都與圖形的運(yùn)動有關(guān)，需要學(xué)生有一定的想象力、分析力和運(yùn)算力．梯形的主要特征是兩底平行，特殊梯形又可分為等腰梯形和直角梯形兩大類．常見題型為在直角坐標(biāo)平面內(nèi)已知三點(diǎn)求第四點(diǎn)，抓住梯形兩底平行的特征，對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式的k相等而b不相等．若是等腰梯形，常需添設(shè)輔助線，過上底的兩個頂點(diǎn)作下底的垂線，構(gòu)造兩個全等的直角三角形．若是直角梯形，則需連接對角線或過上底的一頂點(diǎn)作下底的高構(gòu)造直角三角形．1．（2022春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，BC＞AD，AB＝8cm，BC＝18cm，CD＝10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向終點(diǎn)C以每秒3cm的速度移動，點(diǎn)Q從點(diǎn)D開始沿DA邊向終點(diǎn)A以每秒2cm的速度移動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)求四邊形ABPQ為矩形時t的值；(2)若題設(shè)中的“BC＝18cm”