河南省洛陽市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)文科試題（含答案解析）

洛陽市2022—2023學(xué)年高二質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷（文）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號(hào)填寫在答題卡上．2．考試結(jié)束，將答題卡交回．一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若，則（）A.2 B.1 C. D.-1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】由，所以，所以，故選：C2.已知隨機(jī)變量，若，則（）A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.7【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求解.【詳解】由可知正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為,故由對(duì)稱性可知，因此,故選：B3.已知兩條直線：，：，若，則（）A.-1或0或3 B.-1或3 C.0或3 D.-1或0【答案】D【解析】【分析】由可得解得或或，代入檢驗(yàn)即可得出答案.【詳解】：，：，若，則，即，解得：或或，當(dāng)時(shí)，：，：，則；當(dāng)時(shí)，：，：，則；當(dāng)時(shí)，：，：，則與重合，舍去；故選：D.4.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層燈數(shù)為（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】可知每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)即可求出.【詳解】解：設(shè)頂層的燈數(shù)是，則每一層燈數(shù)形成以2為公比的等比數(shù)列，所以，由題可得，解得，所以，塔的頂層的燈數(shù)是3.故選：A.5.已知隨機(jī)變量X的分布列為：X1234P0.10.20.30.4則（）A.1 B.3 C.4 D.9【答案】C【解析】【分析】由均值和方差的公式求出，再由方差的性質(zhì)求解即可.【詳解】，，所以.故選：C.6.已知直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若D為線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OD的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法以及兩點(diǎn)斜率公式可得，即可求解.【詳解】設(shè),則，相減得，由于,所以，所以,將其代入中可得，所以,故,故選：C7.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，參變分離，可將原問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再由配方法，即可得解．【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：A．8.某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐．如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.5；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.9．請(qǐng)問王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率是（）A.0.8 B.0.7 C.0.6 D.0.45【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可求得結(jié)果.【詳解】記事件表示“第1天去餐廳用餐”，事件表示“第1天去餐廳用餐”，事件表示“第2天去餐廳用餐”，由題意得，,所以由全概率公式得王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為,故選：B9.已知點(diǎn)P為直線上的一點(diǎn)，M，N分別為圓：與圓：上的點(diǎn)，則的最小值為（）A.5 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】分別求得圓的圓心坐標(biāo)和半徑，求得，結(jié)合圖象，得，即可求解.【詳解】如圖所示，由圓，可得圓心，半徑為，圓，可得圓心，半徑為，可得圓心距，如圖，，所以，當(dāng)共線時(shí)，取得最小值，故的最小值為.故選：B10.平面內(nèi)有兩組平行線，一組有6條，另一組有8條，這兩組平行線相交，由這些平行線可以構(gòu)成平行四邊形的個(gè)數(shù)為（）A.14 B.48 C.91 D.420【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題中條件，從這兩組直線中各選兩條直線，即可構(gòu)成平行四邊形，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槠矫鎯?nèi)有兩組平行線，一組有6條，另一組有8條，且這兩組平行線相交，因此從這兩組直線中各選兩條直線，即可構(gòu)成平行四邊形，所以構(gòu)成不同的平行四邊形個(gè)數(shù)為.故選：D.11.設(shè)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且．若（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解不等式.【詳解】設(shè)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，若，則，即，所以，得.故選：A12.已知雙曲線（，）的離心率，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于的動(dòng)點(diǎn)，直線的斜率分別為，，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用離心率求出之間的關(guān)系，設(shè)出坐標(biāo)代入雙曲線方程，結(jié)合的范圍即可求出的取值范圍.【詳解】由題意，在雙曲線（，）中，離心率，∵，解得：，∴，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上異于的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，∴，解得：，∵直線的斜率分別為，，且，∴，∴故選：B.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.將5名大學(xué)生分配到4個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村干部，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有__________種（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】先將5名大學(xué)生分成4組，再將4組分派到4個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，先將5名大學(xué)生分成4組，共有種不同的分法，再將4組分派到4個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)當(dāng)村干部，有種分派方式，結(jié)合分步計(jì)數(shù)原理，共有不同的分配方案.故答案為：.14.投擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，記在30次試驗(yàn)中成功的次數(shù)為X，則______．【答案】10【解析】【分析】由隨機(jī)變量X服從于二項(xiàng)分布，利用期望公式求解.【詳解】由題意,成功概率，，所以.故答案為：10.15.已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．若，則n的最大值為______．【答案】15【解析】【分析】應(yīng)用等差數(shù)列定義得出等差數(shù)列,根據(jù)差數(shù)列通項(xiàng)公式及求和公式求解計(jì)算即得.【詳解】因?yàn)?，所以，即，且，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.可求得，所以，即且單調(diào)遞增,.則n的最大值為15.故答案為:15.16.已知正方體的棱長為，（），現(xiàn)有如下四個(gè)命題：①，都有；②，都存在使得；③，使得；④的最小值為．其中所有真命題的序號(hào)是______．【答案】①②③【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷①③；利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可判斷②；將側(cè)面與面延展至同一平面，分析可知當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，取最小值，求出的最小值，可判斷④.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長為，（），則、、、、、、、、.對(duì)于①，，，，，①對(duì)；對(duì)于②，，，，都存在，使得，則，由可得，可得，合乎題意，②對(duì)；對(duì)于③，，，若，使得，則，解得，合乎題意，③對(duì)；對(duì)于④，在正方體中，平面，因?yàn)槠矫?，則，又因?yàn)榍遥仕倪呅螢榫匦?，且，易知四邊形為正方形，將?cè)面與面延展至同一平面，如下圖所示：當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，取最小值，且，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，④錯(cuò).故答案為：①②③.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.在（）的展開式中，第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求n的值；（2）求展開式中的第7項(xiàng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，再解方程即可；（2）根據(jù)二項(xiàng)式的通項(xiàng)求解即可.【小問1詳解】第2項(xiàng)、第3項(xiàng)、第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，即構(gòu)成等差數(shù)列.所以，即，且，.整理，得，解得或（舍去）.【小問2詳解】，令，則，故展開式中的第7項(xiàng)為.18.已知是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若對(duì)任意的是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）求等比數(shù)列通項(xiàng)，一般利用待定系數(shù)法：先由，解得，分別代入，得，；（Ⅱ）先根據(jù)等差中項(xiàng)得，再利用分組求和法求和：.試題解析：（Ⅰ）解：設(shè)數(shù)列的公比為，由已知，有，解得.又由，知，所以，得，所以.（Ⅱ）解：由題意，得，即是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列及其前項(xiàng)和公式【名師點(diǎn)睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型：（1）若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求{an}前n項(xiàng)和．（2）通項(xiàng)公式為的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和．19.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，，，，且直線PB與CD所成角的大小為．（1）求BC的長；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由已知求得，，，的坐標(biāo)，再由直線與所成角大小為列式求得值，則的坐標(biāo)可求，即可求得的長；（2）分別求出平面與平面的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．【小問1詳解】由于平面ABCD，，所以兩兩垂直，故分別以,,所在直線為,,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．，,0,，,0,，,1,，,0,．設(shè),,，則,0,，,,．直線與所成角大小為，，即，解得或（舍，,2,，則的長為2；【小問2詳解】設(shè)平面的一個(gè)法向量為,,．,0,，,1,，,，令，則，，,1,．平面的一個(gè)法向量為，，令，則，，，由幾何體的特征可知二面角的平面角為銳角，二面角的余弦值為．20.已知圓，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是拋物線的焦點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過作交于，記點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過的直線交曲線于點(diǎn)、，若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程．【答案】（1）（2）或或【解析】【分析】（1）分析可知曲線是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，確定、、的值，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)的位置可得出曲線的軌跡方程；（2）分析可知直線不與軸重合，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合韋達(dá)定理以及三角形的面積公式可得出關(guān)于的等式，解出的值，即可得出直線的方程.【小問1詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，由題意可得，且為線段的垂直平分線，所以，，因?yàn)?，所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)、為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，則，因此，曲線的軌跡方程為.【小問2詳解】解：若直線與軸重合，則、、三點(diǎn)共線，不合乎題意.設(shè)直線方程為，聯(lián)立可得，則，設(shè)點(diǎn)、，則，，則，所以，，解得或，故直線的方程為或或.21.第40屆中國洛陽牡丹文化節(jié)以“花開洛陽、青春登場”為主題，緊扣“顛覆性創(chuàng)意、沉浸式體驗(yàn)、年輕化消費(fèi)、移動(dòng)端傳播”，組織開展眾多文旅項(xiàng)目，取得了喜人的成績，使洛陽成為最熱門的全國“網(wǎng)紅打卡城市”之一．其中“穿漢服免費(fèi)游園”項(xiàng)目火爆“出圈”，倍受廣大游客喜愛，帶火了以“夢(mèng)里隋唐盡在洛邑”為主的漢服體驗(yàn)活動(dòng)為了解漢服體驗(yàn)店廣告支出和銷售額之間的關(guān)系，在洛陽洛邑古城附近抽取7家漢服體驗(yàn)店，得到了廣告支出與銷售額數(shù)據(jù)如下：體驗(yàn)店ABCDEFG廣告支出/萬元3468111516銷售額/萬元6101517233845對(duì)進(jìn)入G體驗(yàn)店的400名游客進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得知，其中女性游客有280人，女性游客中體驗(yàn)漢服的有180人，男性游客中沒有體驗(yàn)漢服的有80人．（1）請(qǐng)將下列2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為體驗(yàn)漢服與性別有關(guān)聯(lián)；性別是否體驗(yàn)漢服合計(jì)體驗(yàn)漢服沒有體驗(yàn)漢服女180280男80合計(jì)400（2）設(shè)廣告支出為變量x（萬元），銷售額為變量y（萬元），根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此說明可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（若，則線性相關(guān)程度很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合）；（3）建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測廣告支出為18萬元時(shí)的銷售額（精確到0.1）．附：參考數(shù)據(jù)及公式：，，，，，，相關(guān)系數(shù)，在線性回歸方程中中，，．，．0.050.010.0013.8416.63510828【答案】（1）見解析（2）與有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型擬合，說明答案見解析；（3），并預(yù)測廣告支出為18萬元時(shí)的銷售額為萬元．【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件可得列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算可認(rèn)為體驗(yàn)漢服與性別之間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過.（2）由題中數(shù)據(jù)及公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)，即可作出判斷；（3）由題中數(shù)據(jù)及（1）中結(jié)果計(jì)算出，即可得出關(guān)于的回歸方程，再把代入即可求解．【小問1詳解】根據(jù)題意，列聯(lián)表完成如下：性別是否體驗(yàn)漢服合計(jì)體驗(yàn)漢服沒有體驗(yàn)漢服女180100280男4080120合計(jì)220180400假設(shè)為：性別與體驗(yàn)漢服之間無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立.即認(rèn)為體驗(yàn)漢服與性別之間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過.【小問2詳解】由數(shù)據(jù)可知，因?yàn)?，，，因?yàn)?，所以線性相關(guān)程度很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.【小問3詳解】由