高等代數(shù)第8章考研講稿

第八章％-矩陣一一同學(xué)們重點看例題

§8.14一矩陣

一、4-矩陣的有關(guān)概念

1.4-矩陣的定義:設(shè)尸是一個數(shù)域，義是一個文字，作多項式環(huán)一個矩陣，如果它的元素是義的多項式，即尸［團

中的元素，就稱為九-矩陣。

注：（1）因數(shù)域P中的數(shù)也是尸［4的元素，所以丸-矩陣也包括以數(shù)為元素的矩陣。為了與4-矩陣相區(qū)別，把以數(shù)域尸

中的數(shù)為元素的矩陣稱為數(shù)字矩陣，而用/（2）,5（4）,…，表示;I-矩陣。

（2）丸-矩陣也有加法、減法、乘法、數(shù)量乘法運算，其定義及運算規(guī)律與數(shù)字矩陣相同。

九（幾）…九（⑷、

（3）對于〃X〃的；I一矩陣/（#=力￥）勺⑷…A“y），其中的力⑷€尸［小,）=1,2,…,〃，可以定義

―⑷小⑷…—

2-矩陣力⑷的行列式卜（刈=￡（一1）心"叫九⑷九⑷…幾⑷，其中4⑷的行列式卜（刈與數(shù)字矩陣

九/2…力

的行列式有相同的性質(zhì)，進而有卜（4）1中元素的余子式、代數(shù)余子式、〃'〃的4-矩陣/（/1）的伴隨矩陣/1*（/1）,以

及任一2-矩陣的子式的概念，其定義與數(shù)字矩陣的相同，因此有“（4）4（4）=A*（4）/（4）=.（刈紇。

2.2-矩陣的秩

如果非零的加x〃的丸―矩陣/（幾）中有一個r土21）級子式不為零，而所有尸+1級子式（如果有的話）全為零，則稱4（2）

的秩為r,零矩陣的秩規(guī)定為零。2-矩陣/（幾）的秩記為r（Z（/l））。

3.可逆/I-矩陣

（1）可逆九一矩陣的定義：一個〃x〃的九一矩陣z（/l）稱為可逆的，如果有一個NX枕的幾一矩陣3（/1）使：

A（A）B（A）=B（A）A（A）=En

適合上式的6（/1）（它是唯一的）稱為Z（/l）的逆矩陣，記為

（2）4-矩陣可逆的判定：一個wx〃的九-矩陣Z（/l）可逆的充分必要條件為,（2）|是一個非零的數(shù)。

二、九-矩陣的初等變換與初等矩陣

1.4-矩陣的初等變換

第一種初等變換：將4-矩陣的兩行（列）互換位置；

第二種初等變換：將4-矩陣的某一行（列）乘非零的常數(shù)c；

第三種初等變換：將丸-矩陣的某一行（列）加另一行（列）的。僅）倍，是一個多項式。

注：（1）2-矩陣的第三種初等變換與數(shù)字矩陣的不同；（2）2-矩陣的初等變換是可逆的。

（3）對/I-矩陣實行初等變換不改變其秩。

2.初等矩陣

（1）初等矩陣的定義

第一種初等矩陣P。,/）：單位矩陣經(jīng)過第i行第/行（或第i列第/列）互換位置所得到的初等矩陣；

第二種初等矩陣p(i(c))：用非零的常數(shù)C乘單位矩陣的第i行(或第i列)所得到的初等矩陣；

第三種初等矩陣尸將單位矩陣的第/行的°(/1)倍加到第i行上(或第i列的夕(4倍加到第7列上)所得到的

初等矩陣。

(2)初等矩陣的性質(zhì)

①初等矩陣都可逆；②P(iJ)T=P(i,J),P(i(C))T=P(?°T)),

③初等矩陣的逆矩陣是與其為同種類型的初等矩陣。

3.A-矩陣的初等變換與初等矩陣之間的關(guān)系

(1)稱第s(s=1,2,3)種初等矩陣為與2-矩陣的第s(s=1,2,3)種初等變換相對應(yīng)的初等矩陣。

(2)對一個sx〃的4-矩陣/(幾)作一次初等行變換相當(dāng)于在其左邊乘上一個相應(yīng)的sxs初等矩陣；對A(2)作一次初

等列變換相當(dāng)于在其右邊乘上一個相應(yīng)的nxn初等矩陣。

4.4-矩陣的等價

(1)4-矩陣等價的定義：/(丸)稱為與5(/1)等價，如果可以經(jīng)過一系列初等變換將/(X)化為5(4)。

(2)4-矩陣等價的性質(zhì)：

①自反性：每個丸一矩陣與自己等價。

②對稱性：若4(/1)與5(為等價,則6(4)與4(4)等價。

③傳遞性：若/僅)與5(/1)等價，5(2)與C(2)等價,則/(2)與C(/i)等價。

④等價的4-矩陣具有相同的秩。

(3)4一矩陣等價的判別：/(幾)與6(4)等價當(dāng)且僅當(dāng)存在一系列初等矩陣耳，巴,……，2,使得

5(2)=々巴…9⑷QQ…

(4)可逆4-矩陣與4一矩陣的等價：“X〃的4一矩陣/(丸)可逆當(dāng)且僅當(dāng)Z(/l)與單位矩陣等價，當(dāng)且僅當(dāng)，(丸)可

以表成一些初等矩陣的乘積。

三、幾-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形、行列式因子、不變因子一一重點

1.相關(guān)概念

(1)2-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形：任意一個非零的SX〃的丸-矩陣/(丸)都等價于下列形式的矩陣：

伯⑷]

4⑷

0

、0,

其中的為z(/l)的秩，4。)("1,2,…“)是首項系數(shù)為1的多項式，且4(到九(4)(z=l,2,---,r-l),

4⑷、

稱為的標(biāo)準(zhǔn)形，它是唯一的。

0J

（2）4-矩陣的不變因子

7。）

①X-矩陣的不變因子的定義：0）的標(biāo)準(zhǔn)形中的主對角線上的非零

0

oj

元素4■）&（%）,…4（九）稱為z（4）的不變因子。

②丸-矩陣標(biāo)準(zhǔn)形的求法：設(shè)非零的sx〃的4-矩陣/（/1）=（旬（川）。

第一步：在4（4）的所有非零元素中選一個次數(shù)最低的元素并將其交換到第一行第一列位置，得到的矩陣記為

6（4）=（4（/1））,如果如（2）能整除5（/1）中所有元素那么轉(zhuǎn)第二步，否則執(zhí)行下列操作：

（i）如果5（4）的第一列中有一個元素％（/I）不能被,（/）整除，做帶余除法則有鬣（4）=瓦（二記冷+以力,其

中r（加0,且。卜⑷）＜3面（切,把5（2）的第i行減去第一行的復(fù)九）倍,再將所得到的矩陣的第一芳與第i行互

換,得到的矩陣的第一行第一列元素為〃（九）,其中河丸）中。,且a（r⑷）＜a（如⑷）,即

要余式，達到

降次的目的。

/r

第I行乘上飛（㈤、交換第1，兩行、

加到第i行41⑷…

\*：7:/::7

（ii）如果5（/1）的第一行中有一個元素&（4）不能被％（4）整除，做帶余除法就有翁（4）=加（2W上M（2）,

要余式，達到

其中4（丸）/0,且8（6（2））＜8（匹/）），對作如下初等變換:

降次的目的。

/仇1(4)…”4)…無）…可|（九）…、

第例乘上一磯（乃交換第1/兩列

-加到第，?列―

777

（iii）如果5（/1）的第一行與第一列中的所有元素都可以被%（4）整除，但5（4）中有另一元素%（4）。＞1,/＞1）不

能被配（幾）整除，設(shè)%（可=氟（/1）4（/1）,對5（/1）作如下初等變換:

%僅)‘％⑷…％(4+(1-4(孫牝(2)

??

o\_:::第1行乘上-ga)：第銜,.

(b(A)???與⑷???"w0力口到第1行

a4M)-牝⑷4⑷0,??%，)-%二"")

其中最后一個矩陣符合（ii）的情形，對其執(zhí)行（ii）。

反復(fù)執(zhí)行（i）（ii）（iii）,有限次后就可使得到的矩陣滿足條件：該矩陣的第一行第一列元素能夠整除其所有元素，將

這個矩陣仍然記為5（2）轉(zhuǎn)第二步;

不能被6“（2）整除

第二步：用加（冷將第一行與第一列其余元素全化成零，再將配（4）變成首項系數(shù)為1的多項式4（可：

'如⑷…如⑷…、0???0、'4⑷0-??0、

用如僅）將第1行和第1列、0將化為、0

其它元素都化為0>仃I的多項式,

41(2)…%⑷；BM

[0J

\,?J<0;

其中最后一個矩陣?yán)锏?（a）能整除男（丸）中的所有元素。

如果4（/1）=0,那么Z（4）就被化成了標(biāo)準(zhǔn)形，結(jié)束。如果用（4片0,對4（/1）實施第一步和第二步，就將6（幾）

'4⑷0…0、

0…0

化為00其中最后一個矩陣?yán)锏?（2）與出（Q都是首項系數(shù)為1的多項式，而且

弱⑷

100

4（刈&（彳），而出（九）能夠整除2（/1）的全部元素。如此下去，有限步后z（/i）就化成了標(biāo)準(zhǔn)形。

2A-12、

例8-1將/(幾)=222化為標(biāo)準(zhǔn)形。

降次

J+/12分+4+1—萬1—4除

X/1的余式

1一42A-1

解：』（％）=A2選次數(shù)最低的,1-2次數(shù)就拉低儲+24-1

4第1列第2個元素不能航丸整除0

1+A2/V+4+12將第1行加到第2行1+A223+2+1

7

122+2/1-10、100、

第例乘上-卜2+2””

交換1.2兩行1—%2/1-1223+22-22

加到第2列1—A.

1+%r+zi+i一公1+22一萬―23―丸一萬

77

(\00、(\00、

第1行乘上加到第2行0團在紅色部分選次數(shù)最低者將其交換到（2,2）位置「223+22-2

第I行乘上-（1+萬）加到第3行即交換2,3兩列U

0一丸4_,3一義一萬0-A2—A4—/I3—Z

/7

'100'100、'100、

第2列乘上-伊+義—1）、

第2行乘上/I0223+22-2第3列乘上T、

加到第3行’加到第3列,020020

、00—A,~—A,,、00—丸2—2,、00

’100)'1-42A-12、

則020就是力（/）=A2-X的等價標(biāo)準(zhǔn)形。

、°0%+(、1+%A3+A+1一心

（3）/I一矩陣的行列式因子：設(shè)sx〃之一矩陣/（丸）的秩為r（21）,對于正整數(shù)左,14左Wr,Z（/l）中必有非零的上級

子式。/（/I）中全部左級子式的首項系數(shù)為1的最大公因式2?）稱為/（冷的左級行列式因子。于是4（/1）的

k（l《kWr）級行列式因子由N（X）唯一確定，且O*（刈4+I（2）,4=1,…,min（s,〃）-l。

2/110、

例如：A（2）=0-2（2+2）-3

(0萬一1

07

/（㈤的所有1階子式為：2/1,1,0,0,-2(2+2),-3,0,0,22-1,它們的首項系數(shù)為1的最大公因式為1,

因此4（4）的1階行列式因子4（2）=1；

/（冷的所有2階子式為:

2/1122010

=-222(2+2),=-6A,=—3；

0-2(2+2)0-3-2(2+2)-3

22122010

=22(22-1),2

=0,=2-1;

00022-10/12-1

0-2(2+2)

0-3-2(2+2)-32

=0,=0,=-2(2+2)(2-l)o

000儲一1022-1

這9個2階子式的首項系數(shù)為1的最大公因式為1,得/（幾）的2階行列式因子2（幾）=1；

2210

4（2）的3階子式為：?（刈=0-2(2+2)-3=-222(2+2)(/12-1),知2(4)的3階行列式因子

00A2-1

22

D3(/l)=2(/l+2)(2-l)

注：“⑷幺⑷，2（孫2（孫且4（孫3（孫2（4）都是首1的多項式，所以該例子中可先求。2（孫

2.2-矩陣的行列式因子與不變因子的關(guān)系

2-矩陣的行列式因子與不變因子是相互確定的，即設(shè)秩為r（Nl）的之-矩陣/（幾）的行列式因子為

。1（4）,。2（打「血（孫不變因子為4（/1），⑷，…，4（4），那么:

Dk(2)=4."2⑷…[(―=1,2,…")4(%)=4(4)&(%)=…，4(幾)=

D.-M

3.重要結(jié)論

（1）對秩為尸白1）的丸―矩陣，其行列式因子一共有尸個：4（4）,3（幾），…,2（4）。

（2）等價的4-矩陣具有相同的秩與相同的各級行列式因子。

（3）丸-矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的。

（4）對秩為尸（21）的九一矩陣，其不變因子一共有尸個：4（44（/0,…,4（2）。

(5)兩個/I-矩陣等價當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的行列式因子或者它們有相同的不變因子。

(6)可逆，-矩陣的等價標(biāo)準(zhǔn)形為單位矩陣，反之與單位矩陣等價的4-矩陣一定是可逆的。

(7)4-矩陣/僅)可逆的充分必要條件是它可以表示成一些初等矩陣的乘積。

(8)兩個sx〃的丸-矩陣與3(4)等價的充分必要條件為有一個sxs可逆矩陣P(/l)與一個〃x〃可逆矩陣0(2),

使得5(/l)=P(；l)/(/l)Q(/l)。

4.2-矩陣的行列式因子與不變因子的求法——重點

設(shè)4-矩陣工(九)的秩為r(Nl)。

方法1：先求/(/I)的行列式因子，之后再求其不變因子。

第一步:用行列式因子的定義求出力僅)的行列式因子AP),3(2)，…，。M)；

注：在計算九-矩陣的行列式因子時，常常是先計算最高級的或較高級的行列式因子。

方法2:先求/(/I)的不變因子，之后再求其行列式因子。

4⑷

4⑷

第一步：求出力(X)的標(biāo)準(zhǔn)形4。）,得到z(4)的所有不變因子

4僅)&(/1),…4(冷；

第二步：令2(4)=4(4)4(4)…4(為(左=12…

’241o、

例8-2求力(4)=0-2(2+2)-3的不變因子。(行列式因子法)

2

、002-1?

解：先求4(/1)的行列式因子：N(/l)有一個2階子式：1=—3,所以3(九)=1，即，(㈤的所有2

—4(4+2)—3

2210

階子式的首1的最大公因式為1,進而得的|(幻=1,又|4(刈=0-2(2+2)-3=-222(2+2)(22-1),

0022-1

知￡>3（/1）=/12（/1+2）（/12一1）,于是:

4⑷=D\⑷=⑷==1,4⑷=/3,]=22(2+2)(22-1)

4⑷4⑷

10

注：該例子比較特殊,N（/l）有一個2階子式=-3,可得。2（4）=1，所以先求行列式因子進而求不

-2(2+2)-3

變因子。但是對有些4-矩陣而言，用這種方法就很麻煩，因為涉及求多個一元多項式的首1的最大公因式，所以這種方

法不具有通用性，該方法適用于比較容易得到（看出）2（/1）的一個階數(shù)較高的子式是零次多項式（見例8-7）或比較容易

得到N（/l）的兩個階數(shù)較高的同階子式互素（見例8-3）的情形。

§8.2數(shù)字矩陣一一重點

一、數(shù)字矩陣的不變因子

設(shè)A是數(shù)域P上的〃x〃數(shù)字矩陣。

1.數(shù)字矩陣的特征矩陣：稱九-矩陣％紇-/為矩陣/的特征矩陣。

2.數(shù)字矩陣的不變因子：稱/的特征矩陣的不變因子為N的不變因子。

3.4紇的〃級行列式因子：。（4六根紇—/k力僅）一一N的特征多項式。

4.4萬.一"的標(biāo)準(zhǔn)形：對數(shù)域P上的任一〃x〃矩陣/,因旬工0,所以4E,—/的秩為〃，其標(biāo)準(zhǔn)形為：

出㈤

<4（孫

其中的4（勾,出（勾，…尸［團都是首項系數(shù)為1的多項式，且《（刈d*（/l）J=l,2,…〃一1,從而知

4（幾）,"2（/1），…4（4）是N的所有不變因子，因此數(shù)字矩陣N的不變因子總是有〃個，并且它們的乘積等于N的特征

多項式，即：

.（2）=|花“-止D?（2）=4⑷%⑷…（2）

于是。（4（丸”2（4）…4O））=s（LP））=〃。另外4。）為矩陣/的最?。ɑ驑O小或最低）多項式，因此z的最?。ɑ?/p>

極小或最低）多項式的次數(shù)小于等于/的特征多項式的次數(shù)。

0111、

0011

例8-3（陜西師大2007年）求4E-4的不變因子，其中力。（行列式因子法）

0001

00007

<2-1-1-1

2-1-1-1

0A-1-1

解：AE—A—有一個3階子式為g1（4）=0A—1=幾3,有一個3階子式為g2（4）=2-1

4002-1

0002

<000A7

因g2(0)=-1=0，所以g?）與g2（/t）在復(fù)數(shù)域上無公共根，推出（g4/l）,g2⑷）=1，知花4-4的所有3階非零子

式的首1的最大公因式2（4）=1n2（4=3（⑷=1，又曰生一H=萬=2僅）=萬，于是得4E-，的不變因子

為4⑷/\鐘⑷\八”力\^（X?。?/）\京。'（丸）=14（/力、南。4（=，）幾4

」-12、

例8-4求數(shù)字矩陣/=3-36的不變因子。（初等變換法―-這種方法具有通用性）

12—2

4,

%-11-2]<12-1-21

交換1,2兩列）

解：AE3-A=-32+3-62+3-3-6

、-222-4J<2-22-4?

(100)(\00]

第1列乘上加到第2列、)43夕2M72第1行乘上-僅+3）加到第2行、2

/%,1JzL/L乙/TU0zJvX7rZv?/2X'

笫1列乘上2加到第3列>笫1行乘上-2加到第3行）

12-22"、0—2/iA/,

’100、00、‘100、

交換兩列、交換2,3兩列、第2列乘上2

2,3n92129j02-220A0

加到第3列,

02-222/1-22-22；、022—分+24,

、7、0

'100、/00、

第2行乘上-2、第3列乘上T、

020020

加到第3行”

、00-儲+2乙00/12一24,

得A的不變因子為&（2）=1&（供）=九W（2）=分-2丸。

3-11-2、

注：該題不適合用行列式因子法，因為4^3-/=-32+3-6的2階子式次數(shù)都大于零，這樣以來求2（%）

,-22幾一4,

就比較麻煩。

二、復(fù)數(shù)域上的數(shù)字矩陣的初等因子

將復(fù)數(shù)域上的數(shù)字矩陣簡稱為復(fù)矩陣。

1.初等因子的定義：把“X〃復(fù)矩陣/的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互不相同的首項系數(shù)為1的一次因式方幕的乘

積（即給出標(biāo)準(zhǔn)分解式），所有這些一次因式的方幕（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為復(fù)矩陣Z的初等因子。

"1-12、

例如：例8-4中的數(shù)字矩陣/=3-36的不變因子為4（/9=1,右僅）=九/（幾）=分一2/1,次數(shù)大于零的不

、2-24,

變因子為4（/1）=4,4僅）=分—24,將它們在復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式分別為：出（丸）=丸，出（之）=%（丸―2）,于是

”的初等因子為幾，X,2-2,

注：①由初等因子的定義知“X/7復(fù)矩陣/的全部初等因子的次數(shù)之和等于N的所有次數(shù)大于零的不變因子的次數(shù)之

和，也等于力的所有不變因子因（2）@（幾）,…&（M的次數(shù)之和，而|九紇一旬=2（4）=4（4”2（4卜4（4），于是

A的全部初等因子的次數(shù)之和等于/的級數(shù)〃。

②由于4（孫刈（孫…&⑷，所以若設(shè)（"4）。是，的任一初等因子，則有（丸―于是由4⑷

得到的含x-4的初等因子是z的所有含；i-4的初等因子中事次最高者。

2.復(fù)矩陣的初等因子的求法：設(shè)N是〃x〃復(fù)矩陣。

方法1：

第一步：求z的不變因子4（2）02（之）,…,4（九）；

第二步：將4（/l）（i=l,2,…,〃）中次數(shù)大于零的多項式都分解成互不相同的首項系數(shù)為1的一次因式方幕的乘積，所有這

些一次因式方暴（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是z的全部初等因子。

方法2：

“。）、

第一步：用初等變換化2紇-"為對角陣..其中的4M）（j=l,2,…川都是首項系數(shù)為1的

、九（孫

復(fù)系數(shù)多項式；

第二步：將4（/l）（i=L2,…中次數(shù)大于零的多項式都分解成互不相同的首項系數(shù)為1的一次因式方哥的乘積，所有這

些一次因式方騫（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是/的全部初等因子。

"1-12、

例8-5求數(shù)字矩陣N=3-36的初等因子。

；2-24,

U-12'

解：方法1：由例8-3知數(shù)字矩陣/=3-36的不變因子為4（丸）=1/2（/0=%慮僅）=萬一2/1,其中次數(shù)

12-24,

大于零的不變因子為7⑷=尢4（4=%一2丸,將它們分解為標(biāo)準(zhǔn)分解式:32⑷=2,^3（2）=22-22=2（2-2）,

因此/的初等因子為：九九（/1一2）。

方法2：

1-2、'12-1-2、'100、

交換1,2兩列、笫1列乘上-（2-1）加到笫2列

花3一，=一3丸+3-62+3-3-6第1列乘上2加到第3列>2+3—力―2422

、-222-4?12-22-4；、2-2XA,

'100、'100、'100、

第1行乘上-僅+3）加到第2行、2第3列乘上2、2第3行乘上-2、2

第1列乘上-2加到第3行,0-2-2222加到第2列?0-2+2222加到第2行’0-2+220

、0—2/1A/;o0"、00乙

‘100、

并列乘上一！-?0（2-2）20=>/的初等因子為：2,/l,/l-2o

、00X,

3.用復(fù)矩陣的初等因子確定其不變因子

例8-6已知12階數(shù)字矩陣”的初等因子為（尤一1）,（/1一1）2,/1+1,（/1—1）2,/1+1,（/1+，）2,（/1-，）2,求力的不變因子。

解：將含同一個一次因式的那些初等因子按降哥排列，當(dāng)這些初等因子的個數(shù)不足12時，就在后面補上適當(dāng)個數(shù)的1,

湊成12個（下表中的各行）：

第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列第9列第10列第11列第12列

("if（八1『(2-1)-111111111

2+1丸+11111111111

(.)211111111111

(i211111111111

?tttt4

該列之積該列之積該列之積該列之積該列之積該列之積該列之積該列之積該列之積該列之積該列之積該列之積

為4/幻為4。）為為4（2）為戒（力為4(4)為服（外為4(/)為為為出僅）為4（2）

得力的不變因子為：

22222

fif1(2)=-=i/9(/l)=l,i/10(/l)=(2-l),JI1(2)=(2-l)(2+l)^12(2)=(2-l)(2+l)(/l+l)

一般地，設(shè)N是〃X“復(fù)矩陣，而：

（%—4，（丸一4戶，…,（九一4），,

（丸一刃產(chǎn)，（九一百產(chǎn)，…，（九一4）'/

（幾一.戶口一.-,…0—.—

為Z的全部初等因子，其中的用,號為正整數(shù)，且：

rsj

l<Sj<n,k..>l（y=l,2,---,r;?=l,2,…,="

7=1/=!

將這些初等因子中含同一個一次因式力-乙（/=1,2,…j）那些初等因子按降基排列，而且當(dāng)這些初等因子的個數(shù)

不足〃時，就在后面補上適當(dāng)個數(shù)的1,湊成〃個，即不妨假設(shè)：

kXJ>k2J>->kSi.,勺一=...=%=1（/=1,2,…，尸）,

得：

（九一4）"（71一4戶,…。一4戶，…，（幾一4戶

.一--,（丸一4產(chǎn),.，（/_.產(chǎn)，…,（/一4產(chǎn)

（"4.產(chǎn),（丸―4廣，…。—4戶

令:

4+0)=(2_4產(chǎn)(X_4)J…(a_4廣，(i=〃_1,〃_2,…,1,o)

就得到/的全部不變因子4,（2）,…必（力）。

三、若爾當(dāng)（Jordan）標(biāo)準(zhǔn)形（或典范形）

40???00

14)oo0

1.若爾當(dāng)（Jordan）塊：形式為J（4,左）=5的矩陣稱為一個若爾當(dāng)塊，其中的4為復(fù)數(shù)。

0o…14)0

00???014晨t

’4io???o0、

o41…o0

0

注：若爾當(dāng)塊也可寫成：」（4，左）=:,

ooo…41

000--?0

41kxk

(%o???o00]

1Ao000

例8-7求若爾當(dāng)(Jordan)塊J(4,Z:)=:::的初等因子。