上海市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

第18頁/共18頁第二學(xué)期高一年級數(shù)學(xué)期末一、填空題：（1-6題每題4分，7-12題每題5分，共54分）1.在中，，則角的余弦值是___________.【答案】##【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可.【詳解】在中，，則.故答案為：.2.已知點(diǎn)，則直線的一般式方程為___________.【答案】【解析】【分析】利用點(diǎn)斜式求出直線方程，再化為一般式即可.【詳解】，則直線的方程為，即.故答案為：.3.函數(shù)的最大值為，則正數(shù)a的值是___________.【答案】【解析】【分析】利用輔助角公式和正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知，函數(shù)的最大值為，因，所以，故答案為：.4.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則_________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.【詳解】，則.故答案為：.5.若，則在方向上的數(shù)量投影為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影的定義計(jì)算即可.【詳解】由，得，所以在方向上的數(shù)量投影為.故答案為：.6.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為___________.【答案】##【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可得解.【詳解】，所以的共軛復(fù)數(shù)為.故答案為：.7.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2+1，那么它的通項(xiàng)公式為an=______．【答案】【解析】【分析】當(dāng)n=1時,a1=S1=2；當(dāng)時,,檢驗(yàn)后可得通項(xiàng)公式【詳解】解：當(dāng)n=1時,a1=S1=12+1=2；當(dāng)時,,檢驗(yàn),當(dāng)時,,∴不符合∴，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,解此類問題時需注意檢驗(yàn)8.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】解：令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是.故答案為：.9.已知實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩根分別為，且，則實(shí)數(shù)m的值為___________.【答案】【解析】【分析】利用韋達(dá)定理求出，再根據(jù)即可得解.【詳解】由題意可得，解得或，，則，解得.故答案為：.10.在年月日舉行的北京冬奧會開幕式上，貫穿全場的雪花元素為觀眾帶來了一場視覺盛宴，象征各國?各地區(qū)代表團(tuán)的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形（如圖②）.已知正六邊形的邊長為，若點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最小值是___________.【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系后，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解即可.【詳解】連接，，，交于點(diǎn)，則正六邊形被分為個全等的等邊三角形，如圖所示，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過與垂直的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，∵正六邊形的邊長為，∴，，，，∵是線段上的動點(diǎn)（包括端點(diǎn)），∴設(shè)，（）∴，∴，，∴，∵，∴當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為.故答案為：.11.在平面直角坐標(biāo)系中，如果與都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)，下列命題中正確的是______（寫出所有正確命題的編號）①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)；②如果與都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點(diǎn)；③如果直線經(jīng)過兩個不同的整點(diǎn)，則直線必經(jīng)過無窮多個整點(diǎn)；④直線經(jīng)過無窮多個整點(diǎn)的充分必要條件是：與都是有理數(shù)；⑤存在恰經(jīng)過一個整點(diǎn)的直線.【答案】①③⑤【解析】【分析】逐項(xiàng)分析判斷即可，或舉例說明或舉反例判斷或直接證明.詳解】對于①，令，則該直線既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn)，故①正確；對于②，取，，直線經(jīng)過整點(diǎn)，故②錯誤；

對于③，設(shè)直線經(jīng)過整點(diǎn)，，，當(dāng)時，直線方程為，經(jīng)過無窮多個整點(diǎn)；當(dāng)時，則直線斜率，不妨設(shè)為，則直線，它經(jīng)過無數(shù)個整點(diǎn)，故③正確；

對于④，當(dāng)k，b都為有理數(shù)時，可能不經(jīng)過整點(diǎn)，例如，，故④錯誤；對于⑤，直線只經(jīng)過一個整點(diǎn)，故⑤正確.故答案為：①③⑤12.已知正三角形面積為，D為邊上一點(diǎn)，且.射線沿與夾角為α的方向射到邊上的點(diǎn)E，經(jīng)反射交邊于點(diǎn)F.射線經(jīng)邊反射交于點(diǎn)G.若點(diǎn)G在線段上（不包括端點(diǎn)C、D），則α的取值范圍為___.【答案】【解析】【分析】先利用題給條件確定D在邊上的位置，再利用光線反射定理和點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)即可看求得α的取值范圍.【詳解】正三角形面積為，則正三角形邊長為3，由，可得，則，過點(diǎn)A作，以A為原點(diǎn)分別以所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，則，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)D關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解之得故，則關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為則，由又由題意可得,則，則,則,則直線的傾斜角為，則，則，又，則故答案為：二、選擇題：（13，14題每題4分，15，16題每題5分，共18分）13.在三角形ABC中，，則B=（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】三角形ABC中，，由正弦定理得，因?yàn)?，則B是銳角，所以故選：A14.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過程中，由n＝k遞推到n＝k+1時不等式左邊（）A.增加了項(xiàng)B.增加了項(xiàng)C.增加了項(xiàng)D.以上均不對【答案】C【解析】【分析】依題意，由遞推到時，不等式左邊為，與時不等式的左邊比較即可得到答案．【詳解】用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的過程中，假設(shè)時不等式成立，左邊，則當(dāng)時，左邊，所以由遞推到時不等式左邊增加了：．故選：C．15.分形幾何學(xué)的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)眾多領(lǐng)域的難題提供了全新的思路.圖1是邊長為1的等邊三角形，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，稱為“二次分形”……依此進(jìn)行“n次分形”，其中n為正整數(shù).規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度，要得到一個長度不小于30的分形圖，則n的最小整數(shù)值是（取）（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】依題意可得“每次分形”圖的長度可看成是首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列，從而可得到“n次分形”圖的長度為，列出不等式，結(jié)合，即可求解．【詳解】依題意可得“n次分形”圖的長度是“次分形”圖的長度的，由“一次分形”圖的長度為，所以“每次分形”圖的長度可看成是首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列，所以“n次分形”圖的長度為，故，即，兩邊取對數(shù)得，所以，又，故n的最小整數(shù)值是9．故選：B.16.若數(shù)列、均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得，則稱數(shù)列為數(shù)列的“M數(shù)列”．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則下列選項(xiàng)中為假命題的是（）A.存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”B.存在等比數(shù)列，使得是“M數(shù)列”C.存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”D.存在等比數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”【答案】C【解析】【分析】對于A：取，分析判斷；對于B、D：取，分析判斷；對于C：根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對于A：例如，則為等差數(shù)列，且、均為嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數(shù)列”，故A為真命題；對B：例如，則為等比數(shù)列，且、均為嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數(shù)列”，故B為真命題；對于C：若存在等差數(shù)列，使得是的“M數(shù)列”，設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵、均為嚴(yán)格增數(shù)列，則，故，取滿足，可知必存在，使得成立，當(dāng)時，對任意正整數(shù)，則有；對任意正整數(shù)，則有；故不存在正整數(shù)，使得，故C為假命題；對D：例如，則為等比數(shù)列，且、均為嚴(yán)格增數(shù)列，可得，則，取，則，即成立，所以是的“M數(shù)列”，故D為真命題；故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：在說明選項(xiàng)C時，只需說明，故取即可.三、解答題：（17，18，19題每題14分，20，21題每題18分，共78分）17.已知平面向量滿足，且．（1）求向量的夾角；（2）若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）；（2）﹒【解析】【分析】(1)由平方，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算方法即可求出cosθ，從而可求θ；(2)由得，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算律即可求出λ﹒【小問1詳解】由平方得，∵，∴，解得，∵，∴；【小問2詳解】由(1)知．∵，∴，化簡得，∴，解得．18.歐拉(1707-1783)，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的取作就得到了歐拉恒等式，它是令人著迷的一個公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個量聯(lián)系起來，兩個超越數(shù)——自然對數(shù)的底數(shù)e，圓周率，兩個單位——虛數(shù)單位i和自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0，數(shù)學(xué)家評價它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請你根據(jù)歐拉公式：，解決以下問題：（1）將復(fù)數(shù)表示成(，i為虛數(shù)單位)的形式；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和模長整理得，再結(jié)合正弦函數(shù)的有界性分析運(yùn)算.【小問1詳解】因?yàn)椋?【小問2詳解】由題意可得：，所以，因?yàn)椋?，因此，所以的最大值?.19.已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）運(yùn)用等比數(shù)列、等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可.（2）運(yùn)用分組求和及等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式計(jì)算即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，則，，，又，可得，所以.【小問2詳解】由（1）可得，故，以它為通項(xiàng)的數(shù)列是以-1為首項(xiàng)、公比為-3的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為：.即:數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.20.已知點(diǎn)P和非零實(shí)數(shù)，若兩條不同的直線均過點(diǎn)P，且斜率之積為，則稱直線是一組“共軛線對”，如直是一組“共軛線對”，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).（1）已知是一組“共軛線對”，求的夾角的最小值；（2）已知點(diǎn)A(0,1)、點(diǎn)和點(diǎn)C(1,0)分別是三條直線PQ,QR,RP上的點(diǎn)（A,B,C與P,Q,R均不重合），且直線PR,PQ是“共軛線對”，直線QP,QR是“共軛線對”，直線RP，RQ是“共軛線對”，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)，直線是“共軛線對”，當(dāng)?shù)男甭首兓瘯r，求原點(diǎn)O到直線的距離之積的取值范圍.【答案】（1）最小值為；（2）P(3,3)或；（3）.【解析】【分析】（1）設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為，兩直線的夾角為α，利用夾角公式及基本不等式求最值，即可得到l1，l2的夾角的最小值；（2）設(shè)直線PR，PQ，QR的斜率分別為k1，k2，k3，可得，求解可得k1，k2，k3的值，進(jìn)一步得到直線PR與直線PQ的方程，聯(lián)立得P的坐標(biāo)；（3）設(shè)l1：,，其中k≠0，利用兩點(diǎn)間的距離公式可得原點(diǎn)O到直線l1，l2的距離，變形后利用基本不等式求解．【詳解】（1）設(shè)的斜率為k，則的斜率為，兩直線的夾角為a，則，等號成立的條件是，所以最小值為；（2）設(shè)直線的斜率分別為，則得或.當(dāng)時，直線的方程為y=，直線的方程為y=，聯(lián)立得，P(3,3)；當(dāng)時，，直線的方程為y=，直線的方程為y=-，聯(lián)立得，；故所求為P(3,3)或；（3）設(shè)，，其中k，故=由于（等號成立的條件是），故，.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線夾角與到角公式的應(yīng)用，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是中檔題．21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)的最小正周期為，且直線是其圖象的一條對稱軸.（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記作.①若動點(diǎn)在圓O上運(yùn)動，P為圓O外一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，求的最小值；②已知常數(shù)，且函數(shù)在內(nèi)恰有2023個零點(diǎn)，求常數(shù)與值.【答案】（1）（2）①；②，【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的最小正周期、對稱軸求出參數(shù)，即可得解析式；（2）由圖象平移得，①由已知得并確定其軌跡，利用圓的切線性質(zhì)可得，應(yīng)用基本不等式求最值，注意取值條件；②由題設(shè)知在內(nèi)恰有2023個根，換元法有得關(guān)于的二次方程必有兩不等實(shí)根?，進(jìn)而討論根的分布情況判斷、解的個數(shù)，即可確定參數(shù)值.【小問1詳解】由三角函數(shù)的周期得，故，令，得，由于直線為函數(shù)的一條對稱軸，所以，得，由于，即，則，因此；【小問2詳解】將的圖象向右平移個單位得，再將所得的圖象上每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變.橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍后，得到，①由已知，則圓O的半徑為1，故，設(shè)，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為；②由題設(shè)，易得：，令得：，顯然時不合題意，所以，，令得：，，則關(guān)于t的二次方程必有兩不等實(shí)根?，則，，所以?異號，（i）當(dāng)且時，則和在均有偶數(shù)個根，從而在也有偶數(shù)個根，不合題意；（ii）當(dāng)，則，此時，當(dāng)時，只有一根，有兩根，所以