山東省煙臺(tái)市第二中學(xué)2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

山東省煙臺(tái)市第二中學(xué)2024年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．直線是雙曲線的一條漸近線，，分別是雙曲線左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，且，則（）A.2 B.6C.8 D.102．已知圓C過點(diǎn)，圓心在x軸上，則圓C的方程為（）A. B.C. D.3．下面四個(gè)說法中，正確說法的個(gè)數(shù)為（）（1）如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合；（2）兩條直線可以確定一個(gè)平面；（3）若，，，則；（4）空間中，兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi).A.1 B.2C.3 D.44．已知數(shù)列是遞減的等比數(shù)列，的前項(xiàng)和為，若，，則=（）A.54 B.36C.27 D.185．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個(gè)時(shí)刻測得水面寬，則此時(shí)刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為（）A. B.C. D.6．過點(diǎn)與直線平行的直線的方程是（）A. B.C. D.7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則的面積為（）A. B.C. D.8．已知，則（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線C.的一個(gè)零點(diǎn)為 D.在區(qū)間的最小值為110．已知，則下列不等式一定成立的是（）A B.C. D.11．已知集合，，則（）A. B.C. D.12．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，，則a7=（）A.13 B.14C.15 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，、的中點(diǎn)分別為M、N，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OMPN的周長為4，則的周長是_____14．直線過拋物線的焦點(diǎn)F，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則___________.15．若直線:x-2y+1=0與直線:2x+my-1=0相互垂直，則實(shí)數(shù)m的值為________.16．在平面幾何中有如下結(jié)論：若正三角形的內(nèi)切圓周長為，外接圓周長為，則.推廣到空間幾何可以得到類似結(jié)論：若正四面體的內(nèi)切球表面積為，外接球表面積為，則__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在△中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，.（1）求的大小及△的面積；（2）求的值.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的最小值19．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，且（1）求拋物線的方程；（2）經(jīng)過焦點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)．若，分別是線段，的中點(diǎn)，求的最小值20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）已知，是經(jīng)過圓上一點(diǎn)且與相切的兩條直線，斜率分別為，，直線的斜率為，求證：為定值.21．（12分）在數(shù)列中，，，記.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）試判斷數(shù)列的增減性，并說明理由22．（10分）已知函數(shù)（1）判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若對任意恒成立，求的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】根據(jù)漸近線可求出a，再由雙曲線定義可求解.【題目詳解】因?yàn)橹本€是雙曲線的一條漸近線，所以，，又或，或（舍去），故選：C2、C【解題分析】設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，解方程組即可.【題目詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將坐標(biāo)代入得:,解得，故圓的方程為，故選：C.3、A【解題分析】如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合或者是相交，即可判斷；利用兩條異面直線不能確定一個(gè)平面即可判斷；利用平面的基本性質(zhì)中的公理判斷即可；若兩兩相交的三條直線相交于同一點(diǎn)，則相交于同一點(diǎn)的三直線不一定在同一平面內(nèi)（如棱錐的3條側(cè)棱），即可判斷.【題目詳解】如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面重合或者是相交，故（1）不正確；兩條異面直線不能確定一個(gè)平面，故（2）不正確；利用平面的基本性質(zhì)中的公理判斷（3）正確；空間中，若兩兩相交的三條直線相交于同一點(diǎn)，則相交于同一點(diǎn)的三直線不一定在同一平面內(nèi)（如棱錐的3條側(cè)棱），故（4）不正確，綜上所述只有一個(gè)說法是正確的，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間中點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系.屬于較易題.4、C【解題分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式計(jì)算求解即可.【題目詳解】由，解得或（舍去），，，故選：C5、D【解題分析】代入計(jì)算即可.【題目詳解】設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線方程得，則此時(shí)刻拱橋的最高點(diǎn)到水面的距離為2米.故選：D6、A【解題分析】根據(jù)題意利用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.【題目詳解】解：過點(diǎn)的直線與直線平行，，即.故選：A.7、B【解題分析】求出，可知為等腰三角形，取的中點(diǎn)，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【題目詳解】在橢圓中，，，則，所以，，由橢圓的定義可得，取的中點(diǎn)，因?yàn)?，則，由勾股定理可得，所以，.故選：B.8、C【解題分析】取中間值，化成同底利用單調(diào)性比較可得.【題目詳解】,，，故，故選：C9、D【解題分析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)判斷其周期、對稱軸、零點(diǎn)、最值即可.【題目詳解】函數(shù)，周期為，故A錯(cuò)誤；函數(shù)圖像的對稱軸為，，，不是對稱軸，故B錯(cuò)誤；函數(shù)的零點(diǎn)為，，，所以不是零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；時(shí)，，所以，即，所以，故D正確.故選：D10、B【解題分析】運(yùn)用不等式的性質(zhì)及舉反例的方法可求解.【題目詳解】對于A，如，滿足條件，但不成立，故A不正確；對于B，因?yàn)椋裕?，故B正確；對于C，因?yàn)椋?，所以不成立，故C不正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，故D不正確.故選：B11、B【解題分析】根據(jù)根式、分式的性質(zhì)求定義域可得集合A，解一元二次不等式求集合B，再由集合的交運(yùn)算求.【題目詳解】∵，，∴故選：B12、A【解題分析】利用等差數(shù)列的基本量，即可求解.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得：，則.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】先證明則四邊形OMPN是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)橢圓定義求出a，再求出c，最后求出答案.【題目詳解】因?yàn)镸,O,N分別為的中點(diǎn)，所以，則四邊形OMPN是平行四邊形，所以，由四邊形OMPN的周長為4可知，，即，則，于是的周長是.故答案為：.14、8【解題分析】由題意，求出，然后聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達(dá)定理及即可求解.【題目詳解】解：因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線過拋物線的焦點(diǎn)F，所以，拋物線的方程為，由，得，所以，所以.故答案為：8.15、1【解題分析】由兩條直線垂直可知，進(jìn)而解得答案即可.【題目詳解】因?yàn)閮蓷l直線垂直，所以.故答案為：1.16、【解題分析】分析：平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結(jié)論,確定正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比,即可求得結(jié)論.詳解：平面幾何中，圓的周長與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因?yàn)檎拿骟w的外接球和內(nèi)切球的半徑之比是，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的類比；（5）向量與數(shù)的類比.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），△的面積為；（2）.【解題分析】（1）應(yīng)用余弦定理求的大小，由三角形面積公式求△的面積；（2）由（1）及正弦定理的邊角關(guān)系可得，即可求目標(biāo)式的值.【小問1詳解】在△中，由余弦定理得：，又，則.所以△的面積為.【小問2詳解】由（1）得：，由正弦定理得：，則，所以.18、（1）（2）【解題分析】（1）由可求得的值，由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以，.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足，故對任意的，.【小問2詳解】解：，所以，當(dāng)或時(shí)，取得最小值，且最小值為.19、（1）；（2）8.【解題分析】(1)寫出拋物線E的準(zhǔn)線，利用拋物線定義求出p即可作答.(2)由(1)求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，并與拋物線E的方程聯(lián)立，由此求出C點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得D點(diǎn)坐標(biāo)，列式計(jì)算作答.小問1詳解】拋物線：的準(zhǔn)線方程為：，由拋物線定義得：，解得，所以拋物線的方程為：.【小問2詳解】由(1)知，點(diǎn)，顯然直線，的斜率都存在且不為0，設(shè)直線斜率為，則的斜率為，直線的方程為：，由消去y并整理得，設(shè)，則，于得線段PQ中點(diǎn)，同理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值是8.【題目點(diǎn)撥】結(jié)論點(diǎn)睛：拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離20、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義可得答案；（2）設(shè)，過點(diǎn)的的切線方程為，聯(lián)立此直線與雙曲線的方程消元，然后由可得，即可得到，然后可證明.【小問1詳解】因?yàn)?，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所以，，所以，所以的方程為【小問2詳解】設(shè)，則，設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立可得由可得，所以所以21、（1）證明見解析，（2）數(shù)列單調(diào)遞減.【解題分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明數(shù)列為等差數(shù)列，然后套用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)，然后用作差法即可判斷其單調(diào)性【小問1詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，【小問2詳解】由（1）可知，，所以，所以，故，所以數(shù)列單調(diào)遞減.22、（1）個(gè)；（2）.【解題分析】（1）求，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單