遼寧省朝陽市第六高級中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析

遼寧省朝陽市第六高級中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知拋物線的準線與x軸交于點D,與雙曲線交于A,B兩點，點F為拋物線的焦點，若△ADF為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率是()A.

B.

C.

D.參考答案：D拋物線的準線方程為，準線與軸的交點為，為等腰直角三角形，得，故點A的坐標為，由點在雙曲線上，可得，解得，即，所以，故雙曲線的離心率.故選D.2.橢圓C：+y2=1，A（，），B（﹣，﹣），點P是橢圓C上的動點，直線PA、PB的斜率為k1，k2，則k1k2=（）A．﹣4 B． C．4 D．﹣參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】設P（m，n），代入橢圓方程，運用直線的斜率公式，化簡整理代入，即可得到定值．【解答】解：設P（m，n），可得m2+4n2=4，即有m2=4﹣4n2，又k1=，k2=，則k1k2=?===﹣．故選：D．3.若奇函數(shù)在上是增函數(shù)那么的大致圖像是（

）.參考答案：C略4.設、、是三個不同的平面，a、b是兩條不同的直線，給出下列4個命題：①若a∥，b∥，則a∥b；

②若a∥，b∥，a∥b，則∥；③若a⊥，b⊥，a⊥b，則⊥；④若a、b在平面內(nèi)的射影互相垂直，則a⊥b.其中正確命題是A.④

B.③

C.①③

D.②④

參考答案：B略5.已知，是非零向量，它們之間有如下一種運算：?=||||sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夾角．給出下列命題：①?=?；②λ（?）=（λ）?；③（+）?=?+?；④⊥??=||||；⑤若=（x1，y1），=（x2，y2），則?=|x1y2﹣x2y1|．其中真命題的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算；2K：命題的真假判斷與應用．【分析】利用新定義直接判斷①②的正誤；利用向量的運算判斷③的正誤；利用新定義判斷④的正誤；利用新定義化簡求解判斷⑤的正誤；【解答】解：∵，是非零向量，它們之間有如下一種運算：?=||||sin＜，＞，其中＜，＞表示，的夾角．對于①，?=||||sin＜，＞，?=||||sin＜，＞，∴?=?，∴①正確；對于②，λ（?）=λ||||sin＜，＞，（λ）?=|λ|||sin＜λ，＞，λ≥0時相等，λ＜0時，兩式不相等，∴②不正確；對于③，（+）?=?+?，滿足加法對乘法的結合律，∴③正確；對于④，⊥，∴sin＜，＞=1??=||||；∴④正確；對于⑤，設和的起點均為O，終點為A、B，=（x1，y1），=（x2，y2），則?=2S△OAB=|x1y2﹣x2y1|．∴⑤正確；正確命題有4個．故選：C．6.已知圓，圓，則圓與圓的位置關系是（

）

A．相離

B．相交

C．內(nèi)切

D．內(nèi)含參考答案：B略7.某四面體的三視圖如圖所示．該四面體的六條棱的長度中，最大的是（

）

（A）（B）（C）（D）參考答案：C由三視圖可知該四面體為,其中,,,.所以六條棱中，最大的為或者.,所以，此時。,所以，所以棱長最大的為，選C.8.已知集合,,則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：本題考查集合的補集、交集運算,考查運算求解能力.因為,,所以.9.在△ABC中，點D在BC邊上，且,則

（

）A.B.

C.D.參考答案：B10.已知函數(shù)，先將圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的（縱坐標不變），再將得到的圖象上所有點向右平移個單位長度，得到的圖象關于軸對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.參考答案：C【分析】利用輔助角公式整理出；由三角函數(shù)圖象的平移得，由圖象關于軸對稱，知函數(shù)為偶函數(shù)，則，，進一步得到的最小值．【詳解】由題意得：將圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的得：所有點向右平移個單位長度得：關于軸對稱

函數(shù)為偶函數(shù)，

，

當時，的最小值為：本題正確選項：C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△OAB中，點C滿足，則y－x＝________。參考答案：12.在中，，．若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率

參考答案：13.已知，，則求=

********

參考答案：【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù)．C5

【答案解析】﹣解析：由于＜α＜π，則＜＜，又sin（α+）=，則＜＜π，即有cos（）=﹣=﹣，則sin（﹣α）=sin（）=sin[（）﹣]=[sin[（）﹣cos（）]=[cos（）﹣sin（）]=（﹣﹣）=﹣．故答案為：﹣．【思路點撥】由于＜α＜π，則＜＜，又sin（α+）=，則＜＜π，由平方關系即可求出cos（），由sin（﹣α）=sin（）=sin[（）﹣]，運用兩角差的正弦公式和誘導公式：，即可得到答案．14.某班級有50名學生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學生中抽出10名學生，將這50名學生隨機編號1～50號，并分組，第一組1～5號，第二組6～10號，…，第十組46～50號，若在第三組中抽得號碼為12的學生，則在第八組中抽得號碼為的學生．參考答案：37考點：系統(tǒng)抽樣方法．專題：計算題；概率與統(tǒng)計．分析：由題設知第八組的號碼數(shù)比第三組的號碼數(shù)大（8﹣3）×5，由此能求出結果．解答：解：這50名學生隨機編號1～50號，并分組，第一組1～5號，第二組6～10號，…，第十組46～50號，在第三組中抽得號碼為12的學生，則在第八組中抽得號碼為12+（8﹣3）×5=37．故答案為：37．點評：抽樣選用哪一種抽樣形式，要根據(jù)題目所給的總體情況來決定，若總體個數(shù)較少，可采用抽簽法，若總體個數(shù)較多且個體各部分差異不大，可采用系統(tǒng)抽樣，若總體的個體差異較大，可采用分層抽樣．15.已知分別是的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若，則____________.參考答案：略16.設函數(shù)f(x)＝(x＞0)，觀察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當n∈N＋且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.參考答案：17.已知上有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍為

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知橢圓的右焦點為F，A為短軸的一個端點，且，的面積為1（其中為坐標原點）.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點，動點M滿足，連結CM，交橢圓于點，證明：為定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試問軸上是否存在異于點C的定點Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點，若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.參考答案：(1)由已知:,,,所以橢圓方程為. ……………4分（2）由（1）知，.由題意可設.由消去,整理得:,.,(定值).……9分(3)設.若以為直徑的圓恒過的交點,則.由(2)可知:,,即恒成立,∴存在，使得以為直徑的圓恒過直線、的交點.……………13分19.（本小題滿分14分）某農(nóng)場有一塊農(nóng)田，如圖所示，它的邊界由圓O的一段圓弧MPN（P為此圓弧的中點）和線段MN構成．已知圓O的半徑為40米，點P到MN的距離為50米．現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚，大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD，大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP，要求A，B均在線段MN上，C，D均在圓弧上．設OC與MN所成的角為．（1）用分別表示矩形ABCD和△CDP的面積，并確定的取值范圍；（2）若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜，大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜，且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4:3．求當為何值時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．參考答案：解：（1）連結PO并延長交MN于H，則PH⊥MN，所以OH=10．過O作OE⊥BC于E，則OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，則矩形ABCD的面積為2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ），△CDP的面積為×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）．過N作GN⊥MN，分別交圓弧和OE的延長線于G和K，則GK=KN=10．令∠GOK=θ0，則sinθ0=，θ0∈（0，）．當θ∈[θ0，）時，才能作出滿足條件的矩形ABCD，所以sinθ的取值范圍是[，1）．答：矩形ABCD的面積為800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面積為1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范圍是[，1）．

（2）因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3，設甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k，乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k（k>0），則年總產(chǎn)值為4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ）=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．設f（θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），則．令，得θ=，當θ∈（θ0，）時，，所以f（θ）為增函數(shù)；當θ∈（，）時，，所以f（θ）為減函數(shù)，因此，當θ=時，f（θ）取到最大值．答：當θ=時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．

20.（Ⅰ）比較x2+y2+1與2（x+y﹣1）的大??；（Ⅱ）已知a，b∈R+，求證：（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≥8a3b3．參考答案：考點：不等式比較大?。畬ｎ}：不等式．分析：（Ⅰ）作差配方即可比較出大?。唬á颍├没静坏仁郊纯傻玫浇Y論．解答： 解：（Ⅰ）x2+y2+1﹣2（x+y﹣1）=（x﹣1）2+（y﹣1）2+1＞0，∴x2+y2+1＞2（x+y﹣1）；（Ⅱ）（a+b）（a2+b2）（a3+b3）≥2?2ab?2≥8a3b3，當且僅當a=b時取等號．問題得以證明．點評：本題考查了“作差法”、“配方法”“基本不等式”比較數(shù)的大小，屬于基礎題21.（本小題13分）已知二次函數(shù)函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c，a+b+c=0，且f(0)·f(1)>0.(1)求證：-2<<-1.(2)若x1，x2是方程f(x)=0的兩個實根，求|x1-x2|的取值范圍.參考答案：(1)由條件知a≠0，則f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0，即……6分(2)x1，x2是方程f(x)=0的兩個實根，則x1+x2=-，x1x2=-，那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2…………10分∵-2<<-1，∴≤(x1-x2)2<，即|x1-x2|的取值范圍是……13分22.（本小題13分）設函數(shù)的圖象與直線相切于點．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）設函數(shù)，對于,，使得，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：見解析【考點】導數(shù)的綜合運用【試題解析】解（Ⅰ）∵函數(shù)的圖象與直線相切于點，∴，．∵，

∴

解得．

∴．

（Ⅱ），令，得或；

令，得．

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅲ）記在上的值域為,在上的值域為，∵對于，，使得，∴．

由（Ⅱ）得：在上單調(diào)遞增，