遼寧省朝陽市第六高級中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析_第1頁
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遼寧省朝陽市第六高級中學高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知拋物線的準線與x軸交于點D,與雙曲線交于A,B兩點,點F為拋物線的焦點,若△ADF為等腰直角三角形,則雙曲線的離心率是()A.

B.

C.

D.參考答案:D拋物線的準線方程為,準線與軸的交點為,為等腰直角三角形,得,故點A的坐標為,由點在雙曲線上,可得,解得,即,所以,故雙曲線的離心率.故選D.2.橢圓C:+y2=1,A(,),B(﹣,﹣),點P是橢圓C上的動點,直線PA、PB的斜率為k1,k2,則k1k2=()A.﹣4 B. C.4 D.﹣參考答案:D【考點】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】設P(m,n),代入橢圓方程,運用直線的斜率公式,化簡整理代入,即可得到定值.【解答】解:設P(m,n),可得m2+4n2=4,即有m2=4﹣4n2,又k1=,k2=,則k1k2=?===﹣.故選:D.3.若奇函數(shù)在上是增函數(shù)那么的大致圖像是(

).參考答案:C略4.設、、是三個不同的平面,a、b是兩條不同的直線,給出下列4個命題:①若a∥,b∥,則a∥b;

②若a∥,b∥,a∥b,則∥;③若a⊥,b⊥,a⊥b,則⊥;④若a、b在平面內(nèi)的射影互相垂直,則a⊥b.其中正確命題是A.④

B.③

C.①③

D.②④

參考答案:B略5.已知,是非零向量,它們之間有如下一種運算:?=||||sin<,>,其中<,>表示,的夾角.給出下列命題:①?=?;②λ(?)=(λ)?;③(+)?=?+?;④⊥??=||||;⑤若=(x1,y1),=(x2,y2),則?=|x1y2﹣x2y1|.其中真命題的個數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.5參考答案:C【考點】9R:平面向量數(shù)量積的運算;2K:命題的真假判斷與應用.【分析】利用新定義直接判斷①②的正誤;利用向量的運算判斷③的正誤;利用新定義判斷④的正誤;利用新定義化簡求解判斷⑤的正誤;【解答】解:∵,是非零向量,它們之間有如下一種運算:?=||||sin<,>,其中<,>表示,的夾角.對于①,?=||||sin<,>,?=||||sin<,>,∴?=?,∴①正確;對于②,λ(?)=λ||||sin<,>,(λ)?=|λ|||sin<λ,>,λ≥0時相等,λ<0時,兩式不相等,∴②不正確;對于③,(+)?=?+?,滿足加法對乘法的結合律,∴③正確;對于④,⊥,∴sin<,>=1??=||||;∴④正確;對于⑤,設和的起點均為O,終點為A、B,=(x1,y1),=(x2,y2),則?=2S△OAB=|x1y2﹣x2y1|.∴⑤正確;正確命題有4個.故選:C.6.已知圓,圓,則圓與圓的位置關系是(

A.相離

B.相交

C.內(nèi)切

D.內(nèi)含參考答案:B略7.某四面體的三視圖如圖所示.該四面體的六條棱的長度中,最大的是(

(A)(B)(C)(D)參考答案:C由三視圖可知該四面體為,其中,,,.所以六條棱中,最大的為或者.,所以,此時。,所以,所以棱長最大的為,選C.8.已知集合,,則(

)A.

B.

C.

D.參考答案:本題考查集合的補集、交集運算,考查運算求解能力.因為,,所以.9.在△ABC中,點D在BC邊上,且,則

)A.B.

C.D.參考答案:B10.已知函數(shù),先將圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的(縱坐標不變),再將得到的圖象上所有點向右平移個單位長度,得到的圖象關于軸對稱,則的最小值為()A. B. C. D.參考答案:C【分析】利用輔助角公式整理出;由三角函數(shù)圖象的平移得,由圖象關于軸對稱,知函數(shù)為偶函數(shù),則,,進一步得到的最小值.【詳解】由題意得:將圖象上所有點的橫坐標縮小到原來的得:所有點向右平移個單位長度得:關于軸對稱

函數(shù)為偶函數(shù),

,

當時,的最小值為:本題正確選項:C

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△OAB中,點C滿足,則y-x=________。參考答案:12.在中,,.若以為焦點的橢圓經(jīng)過點,則該橢圓的離心率

參考答案:13.已知,,則求=

********

參考答案:【知識點】兩角和與差的正弦函數(shù).C5

【答案解析】﹣解析:由于<α<π,則<<,又sin(α+)=,則<<π,即有cos()=﹣=﹣,則sin(﹣α)=sin()=sin[()﹣]=[sin[()﹣cos()]=[cos()﹣sin()]=(﹣﹣)=﹣.故答案為:﹣.【思路點撥】由于<α<π,則<<,又sin(α+)=,則<<π,由平方關系即可求出cos(),由sin(﹣α)=sin()=sin[()﹣],運用兩角差的正弦公式和誘導公式:,即可得到答案.14.某班級有50名學生,現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學生中抽出10名學生,將這50名學生隨機編號1~50號,并分組,第一組1~5號,第二組6~10號,…,第十組46~50號,若在第三組中抽得號碼為12的學生,則在第八組中抽得號碼為的學生.參考答案:37考點:系統(tǒng)抽樣方法.專題:計算題;概率與統(tǒng)計.分析:由題設知第八組的號碼數(shù)比第三組的號碼數(shù)大(8﹣3)×5,由此能求出結果.解答:解:這50名學生隨機編號1~50號,并分組,第一組1~5號,第二組6~10號,…,第十組46~50號,在第三組中抽得號碼為12的學生,則在第八組中抽得號碼為12+(8﹣3)×5=37.故答案為:37.點評:抽樣選用哪一種抽樣形式,要根據(jù)題目所給的總體情況來決定,若總體個數(shù)較少,可采用抽簽法,若總體個數(shù)較多且個體各部分差異不大,可采用系統(tǒng)抽樣,若總體的個體差異較大,可采用分層抽樣.15.已知分別是的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊,若,則____________.參考答案:略16.設函數(shù)f(x)=(x>0),觀察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3(x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,……根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:當n∈N+且n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=________.參考答案:17.已知上有兩個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍為

。參考答案:略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)已知橢圓的右焦點為F,A為短軸的一個端點,且,的面積為1(其中為坐標原點).(Ⅰ)求橢圓的方程;(Ⅱ)若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點,動點M滿足,連結CM,交橢圓于點,證明:為定值;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,試問軸上是否存在異于點C的定點Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點,若存在,求出點Q的坐標;若不存在,說明理由.參考答案:(1)由已知:,,,所以橢圓方程為. ……………4分(2)由(1)知,.由題意可設.由消去,整理得:,.,(定值).……9分(3)設.若以為直徑的圓恒過的交點,則.由(2)可知:,,即恒成立,∴存在,使得以為直徑的圓恒過直線、的交點.……………13分19.(本小題滿分14分)某農(nóng)場有一塊農(nóng)田,如圖所示,它的邊界由圓O的一段圓弧MPN(P為此圓弧的中點)和線段MN構成.已知圓O的半徑為40米,點P到MN的距離為50米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個溫室大棚,大棚Ⅰ內(nèi)的地塊形狀為矩形ABCD,大棚Ⅱ內(nèi)的地塊形狀為△CDP,要求A,B均在線段MN上,C,D均在圓弧上.設OC與MN所成的角為.(1)用分別表示矩形ABCD和△CDP的面積,并確定的取值范圍;(2)若大棚Ⅰ內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4:3.求當為何值時,能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.參考答案:解:(1)連結PO并延長交MN于H,則PH⊥MN,所以OH=10.過O作OE⊥BC于E,則OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,則矩形ABCD的面積為2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),△CDP的面積為×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ).過N作GN⊥MN,分別交圓弧和OE的延長線于G和K,則GK=KN=10.令∠GOK=θ0,則sinθ0=,θ0∈(0,).當θ∈[θ0,)時,才能作出滿足條件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范圍是[,1).答:矩形ABCD的面積為800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面積為1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范圍是[,1).

(2)因為甲、乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為4∶3,設甲的單位面積的年產(chǎn)值為4k,乙的單位面積的年產(chǎn)值為3k(k>0),則年總產(chǎn)值為4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0,).設f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈[θ0,),則.令,得θ=,當θ∈(θ0,)時,,所以f(θ)為增函數(shù);當θ∈(,)時,,所以f(θ)為減函數(shù),因此,當θ=時,f(θ)取到最大值.答:當θ=時,能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.

20.(Ⅰ)比較x2+y2+1與2(x+y﹣1)的大??;(Ⅱ)已知a,b∈R+,求證:(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥8a3b3.參考答案:考點:不等式比較大?。畬n}:不等式.分析:(Ⅰ)作差配方即可比較出大?。唬á颍├没静坏仁郊纯傻玫浇Y論.解答: 解:(Ⅰ)x2+y2+1﹣2(x+y﹣1)=(x﹣1)2+(y﹣1)2+1>0,∴x2+y2+1>2(x+y﹣1);(Ⅱ)(a+b)(a2+b2)(a3+b3)≥2?2ab?2≥8a3b3,當且僅當a=b時取等號.問題得以證明.點評:本題考查了“作差法”、“配方法”“基本不等式”比較數(shù)的大小,屬于基礎題21.(本小題13分)已知二次函數(shù)函數(shù)f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,且f(0)·f(1)>0.(1)求證:-2<<-1.(2)若x1,x2是方程f(x)=0的兩個實根,求|x1-x2|的取值范圍.參考答案:(1)由條件知a≠0,則f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-(a+b)(2a+b)>0,即……6分(2)x1,x2是方程f(x)=0的兩個實根,則x1+x2=-,x1x2=-,那么(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2…………10分∵-2<<-1,∴≤(x1-x2)2<,即|x1-x2|的取值范圍是……13分22.(本小題13分)設函數(shù)的圖象與直線相切于點.(Ⅰ)求函數(shù)的解析式;(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)設函數(shù),對于,,使得,求實數(shù)的取值范圍.參考答案:見解析【考點】導數(shù)的綜合運用【試題解析】解(Ⅰ)∵函數(shù)的圖象與直線相切于點,∴,.∵,

解得.

∴.

(Ⅱ),令,得或;

令,得.

∴的單調(diào)遞增區(qū)間為,;單調(diào)遞減區(qū)間為.(Ⅲ)記在上的值域為,在上的值域為,∵對于,,使得,∴.

由(Ⅱ)得:在上單調(diào)遞增,

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