北京密云第六中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

北京密云第六中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的S值為（A） （B）（C） （D）參考答案：D2.若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，則的值為（

）

A．－2

B．2

C．－4

D．4參考答案：D略3.《周髀算經(jīng)》是我國古代的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作.其中有一個(gè)問題大意為：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長損益相同（即太陽照射物體影子的長度增加和減少大小相同）.二十四個(gè)節(jié)氣及晷長變化如圖所示，若冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），則夏至后的那個(gè)節(jié)氣（小暑）晷長為（

）A.五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸 D.四尺五寸參考答案：B【分析】由題意知，從夏至到冬至，冕長組成了等差數(shù)列，其中，，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式，可求公差，進(jìn)而可求小暑晷長.【詳解】解：設(shè)從夏至到冬至，每個(gè)節(jié)氣冕長為，即夏至?xí)r冕長為，冬至?xí)r冕長為，由每個(gè)節(jié)氣晷長損益相同可知，常數(shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由題意知，，解得，則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的定義，考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解及應(yīng)用.本題的關(guān)鍵是將各個(gè)節(jié)氣的冕長抽象成等差數(shù)列.4.若直線與直線互相垂直，那么a的值等于(

)A．1

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：由得，故選D.考點(diǎn)：平面內(nèi)兩直線垂直與平行的判定.5.復(fù)數(shù)的虛部為（）A．iB．﹣iC．D．﹣參考答案：C考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出．解答：解：復(fù)數(shù)===﹣+i的虛部為．故選：C．點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義，屬于基礎(chǔ)題．6.設(shè)，是非零向量，記與所成的角為，下列四個(gè)條件中，使成立的充要條件是（

）．A．

B． C． D．參考答案：B 等價(jià)于非零向量與同向共線，故選B.7.若變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)Z==x+2y的取值范圍是

A.[2,6]

B.[2,5]

C.[3,6]

D.[3,5]

參考答案：A略8.函數(shù)的大致圖象為

參考答案：答案：D9.高為的四棱錐的底面是邊長為1的正方形，點(diǎn)、A、B、C、D均在半徑為1的同一球面上，則底面ABCD的中心與頂點(diǎn)S之間的距離為

(

)

A．

B.

C．

D.參考答案：D略10.已知雙曲線C：的焦距為10，點(diǎn)P（2，1）在C的漸近線上，則C的方程為(

) A． B． C． D．參考答案：A考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：利用雙曲線C：的焦距為10，點(diǎn)P（2，1）在C的漸近線上，建立方程組，求出a，b的值，即可求得雙曲線的方程．解答： 解：∵雙曲線C：的焦距為10，點(diǎn)P（2，1）在C的漸近線上，∴a2+b2=25，=1，∴b=，a=2∴雙曲線的方程為．故選：A．點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)(a＜b)在R上單調(diào)遞增，則的最小值為______.參考答案：3略12.已知向量，，．若，則________．參考答案：解答：，∵，∴，解得.

13.在的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為

．參考答案：1014.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則公差___________.參考答案：3略15.若函數(shù)的反函數(shù)為，則．參考答案：116.在直角坐標(biāo)系中，拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，直角坐標(biāo)系的長度單位為長度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則常數(shù)

．參考答案：略17.若對任意的，均有，則a的取值范圍是________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟20.（本小題滿分16分）已知函數(shù)，其中m，a均為實(shí)數(shù)．（1）求的極值；（2）設(shè)，若對任意的，恒成立，求的最小值；（3）設(shè)，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在，使得成立，求的取值范圍．參考答案：對于函數(shù)在上值域中每一個(gè)值，函數(shù)在上總有兩個(gè)不同自變量與之對應(yīng)相等．首先求出函數(shù)在上值域，然后根據(jù)函數(shù)在上必須不為單調(diào)函數(shù)且每段單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的值域都需包含.由在不單調(diào)得，由每段單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的值域都需包含得，.試題解析：（1），令，得x=1．

…1分列表如下：x（-∞，1）1（1，+∞）+0-g(x)↗極大值↘

19.某公司準(zhǔn)備將1000萬元資金投入到市環(huán)保工程建設(shè)中，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)建設(shè)項(xiàng)目供選擇，若投資甲項(xiàng)目一年后可獲得的利潤為ξ1（萬元）的概率分布列如表所示：ξ1110120170Pm0.4n且ξ1的期望E（ξ1）=120；若投資乙項(xiàng)目一年后可獲得的利潤ξ2（萬元）與該項(xiàng)目建設(shè)材料的成本有關(guān)，在生產(chǎn)的過程中，公司將根據(jù)成本情況決定是否受第二和第三季度進(jìn)行產(chǎn)品的價(jià)格調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨(dú)立，且調(diào)整的概率分別為p（0＜p＜1）和1﹣p，乙項(xiàng)目產(chǎn)品價(jià)格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)X（次）與ξ2的關(guān)系如表所示：X（次）012ξ241.2117.6204.0（1）求m，n的值；（2）求ξ2的分布列；（3）根據(jù)投資回報(bào)率的大小請你為公司決策：當(dāng)p在什么范圍時(shí)選擇投資乙項(xiàng)目，并預(yù)測投資乙項(xiàng)目的最大投資回報(bào)率是多少？（投資回報(bào)率=年均利潤/投資總額×100%）參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（1）利用概率和為1，期望值列出方程組求解即可．（2）ξ2的可能取值為41.2，117.6，204.0，求出概率，得到ξ2的分布列；（3）利用期望關(guān)系，通關(guān)二次函數(shù)求解最值即可．【解答】解：（1）由題意得：，得：m=0.5，n=0.1．（2）ξ2的可能取值為41.2，117.6，204.0，P（ξ2=41.2）=（1﹣p）[1﹣（1﹣p）]=p（1﹣p）P（ξ2=204.0）=p（1﹣p）所以ξ2的分布列為ξ241.2117.6204.0Pp（1﹣p）p2+（1﹣p）2p（1﹣p）（3）由（2）可得：=﹣10p2+10p+117.6根據(jù)投資回報(bào)率的計(jì)算辦法，如果選擇投資乙項(xiàng)目，只需E（ξ1）＜E（ξ2），即120＜﹣10p2+10p+117.6，得0.4＜p＜0.6．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，E（ξ2）取到最大值為120.1，所以預(yù)測投資回報(bào)率的最大值為12.01%．20.本題滿分12分）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：解：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，由得所以。有條件可知，故。……4分由得，所以…5分

故數(shù)列{an}的通項(xiàng)式為

……………6分（2）==.……………………8分故

…………10分所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為

………12分略21.已知函數(shù)f（x）=x﹣﹣lnx，a＞0．（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（I）由已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，分a≥，0＜a＜兩種情況，分別討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得f（x）的單調(diào)性；（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，則f（x）﹣x+x2＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x3﹣xlnx，分析g（x）的單調(diào)性，進(jìn)而可將問題轉(zhuǎn)化為最值問題．【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=x﹣﹣lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′（x）=1+﹣=①當(dāng)△=1﹣4a≤0，即a≥時(shí)，f′（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)．②當(dāng)△=1﹣4a＞0，即0＜a＜時(shí)，由f′（x）＞0得，x2﹣x+a＞0，即x∈（0，），或x∈（，+∞）由f′（x）＜0得，x2﹣x+a＜0，即x∈（，）∴f（x）在區(qū)間（0，），（，+∞）為增函數(shù)；在區(qū)間（，）為減函數(shù)．（II）若f（x）＞x﹣x2在（1，+∞）恒成立，則f（x）﹣x+x2=＞0在（1，+∞）恒成立，即a＜x3﹣xlnx在（1，+∞）恒成立，令g（x）=x3﹣xlnx，h（x）=g′（x）=3x2﹣lnx﹣1，則h′（x）==，在（1，+∞）上，h′（x）＞0恒成立，故h（x）＞h（1）=2恒成立，即g′（x）＞0恒成立，故g（x）＞g（1）=1，故0＜a≤1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1]．22.（本小題滿分14分）如圖1，在直角梯形中，，，，.把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上，連接,點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)．(I)

求證：平面平面；(II)求直線與平面所成角的正弦值；(III)在棱上是否存在一點(diǎn),使得到點(diǎn)四點(diǎn)的距離相等？請說明理由.參考答案：解：（I）因?yàn)辄c(diǎn)在平面上的正投影恰好落在線段上

所以平面，所以

…1分因?yàn)樵谥苯翘菪沃校?，，?/p>

所以，，所以是等邊三角形，

所以是中點(diǎn)，

…2分所以

…3分同理可證又所以平面

…5分（II）在平面內(nèi)過作的垂線如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，

…6分

因?yàn)?，設(shè)平面的法向量為因?yàn)椋杂?，即，?/p>