第十一章曲線積分與曲面習(xí)題課

第十一章 曲線積分與曲面積分習(xí)題課

一、主要內(nèi)容二、典型例子1曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分2曲線積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定義nL

f

(x,

y)ds

=lim

f

(xi

,hi

)Dsilfi

0

i=1L

P(x,

y)dx+Q(x,

y)dyn=lim[P(xi

,hi

)Dxi

+Q(xi

,hi

)Dyi]lfi

0

i=1聯(lián)系L

Pdx

+

Qdy

=

L

(P

cosa

+

Q

cos

b

)ds計(jì)算L

f

(x,

y)dsb=

f

[j,y

]

j￠2

+y

￠2

dta三代一定

(a

<

b)

Pdx

+

QdyLb=

a

[P(j,y

)j￠+

Q(j,y

)y

￠]dt二代一定(與方向有關(guān))3與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件在單連通開區(qū)域D

上P(x,y),Q(x,y)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),則以下四個(gè)命題成立.等價(jià)命題在D內(nèi)L

Pdx

+Qdy與路徑無關(guān)C

Pdx

+

Qdy

=

0,閉曲線C

D在D內(nèi)存在U

(x,y)使du

=Pdx

+Qdy在D內(nèi),?P

=?Q?y

?x4曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分定義n

f

(x,

y,z)ds=lim

f

(xi

,hi

,zi

)Dsilfi

0S

i=1nR(x,

y,z)dxdy=limR(xi,hi

,zi

)(DSi

)xylfi

0S

i=1聯(lián)系

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy

=

(P

cosa

+

Q

cos

b

+

Rcosg)dSS

S計(jì)算

f

(x,

y,z)dsS=

f

[x,

y,z(x,

y)]

1+zx

+zydxdy2

2Dxy一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān))R(x,

y,z)dxdS=–R[x,

y,z(x,

y)]dxdyDxy一代,二投,三定向(與側(cè)有關(guān))5理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系baf

(

x)dx

=

F

(b)

-

F

(a)

(F

￠(

x)

=

f

(

x))牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系((沿L的正向)LDPdx

+

Qdy-

)dxdy

=?x

?y?Q

?P格林公式63.三重積分與曲面積分的聯(lián)系W

S?x

?y

?z

(?P

+

?Q

+

?R)dv

=

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy高斯公式?y

?z

?z

?x

?x

?yS=

Pdx

+

Qdy

+

RdzG4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系斯托克斯公式

(?R

-

?Q

)dydz

+

(?P

-

?R)dzdx

+

(?Q

-

?P

)dxdy7?x

?y

?z梯度

gradu

=

?u

+

?u

+

?u

i

j

k旋度環(huán)流量+

+?x

?y

?z?P

?Q

?RdivA

=S通量

F

=

Pdydz

+

Qdzdx

+

Rdxdy?x

?y)

j

+

(

-

)k?R

?Q

?P

?z

?x-

)i

+

(

-?y

?z?R

?Q

?ProtA

=

(G8G

=

Pdx

+

Qdy

+

Rdz散度（二）場論初步例1

計(jì)算

Lx2

+

y2

ds，其中，L

為圓周：x2

+

y2

=

ax.解：L的極坐標(biāo)方程：r

=a

cosq

(-p

￡

q

￡

p

).2

2ds

=

[r(q)]2

+[r￠(q)]2

dq

=

adqLaxds原式=a2

cos2

q

a

dq-p

2p=

2220pcosqdq=

2a=

2a

2a

xoyqr

t9例1

計(jì)算

Lx2

+

y2

ds，其中，L

為圓周：x2

+

y2

=

ax.a

a2

2a2x

=另解：L的參數(shù)方程：+

cos

t，y

=sin

t，

(0

￡

t

￡

2p

).2ads

=

[x￠(t)]2

+[

y￠(t)]2

dt

=

d

ta

xoytaxds原式=L0102a22p=1+cos

ta

dt

=

2a

212

1

2提示：G

在柱面

x2

+

2

y2

=1上.

x

=

cos

t

G

:

y

=z

=sin

t，t

從0到2psin

t2p0cos2

t

sin

2

t

dt

1

原式==20cos2

t

(1-

cos2

t)

dt4

1

2

22

2p

2

2

4

2

2

162

1

p

-

3

1

p

=

2p=zox1

yx2

+y2

+z2

=1所得截痕，從z

軸正向看沿逆時(shí)針方向.11例

2

計(jì)算

G

x

yzdz，其中，G

是由平面

y

=

z

截球面解?P

=

2x，

?Q

=

2x?y

?x即，=

，積分與路徑無關(guān).?y

?x?P

?Q104102(1+

y

)dyx dx

+故，原式==

23

.15xyo11A2

2

4122L(x

+

2xy)dx

+(x

+

y

)dy例

3

計(jì)算

I

=，其中，L

為由點(diǎn)O(0,0)到點(diǎn)A(1,1)的曲線y

=sin

p

x.13解?P

=

ex

cos

y

-

m，

?Q

=

ex

cos

y.?y

?xxyoA(a,0)M

-

=

-

L+OA

OA

AMOA

OAI

=x

xL例

4

計(jì)算

I

=(e

-my)dx

+(e

cos

y

-m)dy，其中，L為由點(diǎn)(a,

0)

到點(diǎn)(0,

0)的上半圓周

x2

+

y2

=

ax，y

?

0.DAMOA

?Q

-

?P?x

?y)dxdy=

(2m8Dpa

,dxdy

==

m

=

0

dx

+(exaOA

0-

m) 0

=

0AMOA

OA=

m

pa2

-

0

=

m

pa2

.8

8故，I

=

-

14yoz11x-

1解：利用兩類曲面積分之間的關(guān)系

的法向量為

={1,-1,1},n

1

1

,

cos

b

=

-

1

,

cos

g

= .3

3

3\

cosa

=例5

計(jì)算

I

=

[

f

(x,

y,

z)

+

x]dydz

+[2

f

(x,

y,

z)

+

y]dzdx+[f

(x,y,z)+z]dxdy，其中，f

(x,y,z)為連續(xù)函數(shù)，為平面x

-y

+z

=1在第一卦限部分的上側(cè)．3

3

3I

=

{

1

[

f

(x,

y,

z)

+

x]-

1

[2

f

(x,

y,

z)

+

y]

+

1

[

f

(x,

y,

z)

+

z]}dS=(x

-

y

+

z)dS

1

32

1

=xy3

D1 3dxdy

=

1

.15

z

=

y

-1

x

=

0解：y

-1

=z

2

+x

2，(1

￡

y

￡

3).(如下圖)，(1

￡

y

￡

3)繞y

軸旋轉(zhuǎn)面方程為xzo132*ySz

=

y

-1S

是由曲線x

=

0面，且它的法向量與y

軸正向的夾角恒大于p

.2例7

計(jì)算I

=

(8

y

+1)xdydz

+

2(1-

y2

)dzdx

-

4

yzdxdy，其中，，(1

￡

y

￡

3)繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲xyzo132*?x

?y

?z

=

(?P

+

?Q

+

?R)dxdydzS+S*

W=

(8

y

+

1

-

4

y

-

4

y)dxdydzW2SS+S*

S*I

=

(8

y

+1)xdydz

+

2(1-

y

)dzdx

-

4

yzdxdy=

-

W=

dv

=Dxzdxdz31+z

+

x2

216dy

=002pdq2(2

-

r

2

)rdr

=

2p,

=

2

(1

-

32

)dzdx

=

-32p,S*

S*故，I

=2p

-(-32p

)=34p.3rr3

r3例6

I

=

x

dydz

+

y

dzdx

+

z

dxdy，r

=x2

+

y2

+

z2，

是球面x2

+

y2

+

z2

=

R2

的外側(cè).解:R3

I

=

1

xd

y

dz

+

y

dz

dx

+

z

dxdyWR3=

1

3dxdydz=

4pb2

c217x2

y2

z