2021-2022學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題含答案

2021-2022學(xué)年上海市徐匯區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

一、填空題

1.甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生.為統(tǒng)計(jì)三校學(xué)生某方面的情況，計(jì)劃

采用分層抽樣法,抽取一個(gè)樣本容量為90人的樣本,則應(yīng)在甲校抽取的學(xué)生數(shù)是.

【答案】30

【分析】根據(jù)分層抽樣時(shí)樣本容量與總體容量成正比，可以求出甲校抽取的學(xué)生數(shù).

【詳解】因?yàn)榧仔Ｓ?600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，計(jì)劃采用分層抽樣法.

所以3600:5400:1800=2:3:1,因此抽取一個(gè)樣本容量為90人的樣本,甲校抽取的學(xué)生數(shù)是

故答案為30

【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣定義，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.

2.現(xiàn)有高一學(xué)生9人，高二學(xué)生12人，高三學(xué)生7人，自發(fā)組織參加數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組，從中推

選兩名來(lái)自不同年級(jí)的學(xué)生做一次活動(dòng)的主持人，則不同的選法有—種.

【答案】255

【分析】可以從所有學(xué)生中抽取2人，減去從每個(gè)年級(jí)中各抽取2人的組合數(shù)，從而得出結(jié)果.

【詳解】所有的選法共有父8=378種，

這2名學(xué)生屬于同一個(gè)年級(jí)的選法有C；+C：2+C；=123種，

故此2名學(xué)生不屬于同一個(gè)年級(jí)的選出方法有378-123=255種.

故答案為：255.

1+3+5+…+(2〃-1)=110—+—+???+—5—(〃eN*)

3.若L1,22-3"-(〃+1)」，貝|j”=

【答案】10

【分析】利用等差數(shù)列的求和公式和裂項(xiàng)相消即可求出答案.

(1+2/?-1)-=110(1--—)

【詳解】由題意得2〃+1,

2UOn

n'=------

即"+1,

所以〃(〃+1)=110,

所以"=10.

故答案為：10.

4.如圖所示，繞直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)圓錐，已知在空間直角坐標(biāo)系

。一小中，點(diǎn)（2?！悖┖忘c(diǎn)（°2，T）均在圓錐的母線上，則圓錐的體積為.

16

—71

【答案】3

【分析】根據(jù)坐標(biāo)確定圓錐的高與底面半徑，再根據(jù)圓錐體積公式得結(jié)果.

.\JOA\-2

【詳解】由題意得圓錐的高為1°川,底面半徑為21萬(wàn)\0A\,

l^-x22x4=16萬(wàn)

所以圓錐體積為33,

16

—71

故答案為：3

【點(diǎn)睛】本題考查圓錐體積公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

5.已知直線/的方向向量為1=點(diǎn)"°'2，T）在/上，則點(diǎn)PG」』）到/的距離為

【答案】1

【分析】求出萬(wàn)與直線/的方向向量的夾角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦后可得點(diǎn)到直線的距離.

【詳解】"=（2,T,2）,

a~AP2+0+2_2V2

CQS<a,AP>=

點(diǎn)尸（3』」）到，的距離產(chǎn)碎I,萬(wàn)山廣

故答案為：1.

6.圖1中的機(jī)械設(shè)備叫做“轉(zhuǎn)子發(fā)動(dòng)機(jī)”，其核心零部件之一的轉(zhuǎn)子形狀是“曲側(cè)面三棱柱”，圖2

是一個(gè)曲側(cè)面三棱柱，它的側(cè)棱垂直于底面，底面是“萊洛三角形“，萊洛三角形是以正三角形的三

個(gè)頂點(diǎn)為圓心，正三角形的邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)圓弧得到的，如圖3.若曲側(cè)面三棱柱的高為5,底面任意

兩頂點(diǎn)之間的距離為20,則其側(cè)面積為.

圖1圖2圖3

【答案】10°左

【分析】由曲側(cè)面三棱柱的定義，其側(cè)面為矩形，即可根據(jù)幾何關(guān)系求側(cè)面積.

【詳解】由題意得“8C為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為20,如圖所示，

/=--20=—

所以弧4C的長(zhǎng)度為33,

20〃

曲側(cè)面三棱柱的三個(gè)側(cè)面展開(kāi)后，均是長(zhǎng)為亍，寬為5的矩形，

1204_.

3x---x5=10A0A%

所以曲側(cè)面三棱柱的側(cè)面積為3

故答案為：10°萬(wàn)

7.48兩人下棋，每局兩人獲勝的可能性一樣.某一天兩人要進(jìn)行一場(chǎng)三局兩勝的比賽，最終勝利

者贏得100元獎(jiǎng)金.第一局比賽A勝，后因?yàn)橛衅渌露兄贡荣悾瑒t將100元獎(jiǎng)金公平分給

48兩人，則A應(yīng)該得到的獎(jiǎng)金數(shù)為—元.

【答案】乃

【分析】A贏得這場(chǎng)比賽的情況為第二局A勝；第二局A輸，第三局A勝，求出A贏得這場(chǎng)比賽的

概率，即可求出A應(yīng)該得到的獎(jiǎng)金數(shù).

【詳解】A贏得這場(chǎng)比賽的情況為第二局A勝；第二局A輸，第三局A勝，

?1113

p-__|__x-=一

故A贏得這場(chǎng)比賽的概率2224,

3

100x-=75

所以A應(yīng)該得到的獎(jiǎng)金數(shù)為4元.

故答案為：75.

8.復(fù)印紙幅面規(guī)格只采用A系列和5系列，其中A系列的幅面規(guī)格為：①4,4,4，一、4所有規(guī)格

的紙張的幅寬（以x表示）和長(zhǎng)度（以V表示）的比例關(guān)系都為》沙=1：應(yīng)；②將4紙張沿長(zhǎng)度

方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為4規(guī)格：4紙張沿長(zhǎng)度方向?qū)﹂_(kāi)成兩等分，便成為&規(guī)格；…；如此

對(duì)開(kāi)至4規(guī)格.現(xiàn)有…，4紙各一張.若4紙的幅寬為2dm,則這9張紙的面積之和等于

dm2

511—511^

【答案】4##4

【分析】根據(jù)題意先逐一得出4,4,4,4,4紙張的長(zhǎng)和寬，進(jìn)而求得4的面積，再由

4,4,4,…,4紙張的面積是以640為首項(xiàng)，公比為5的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即

可求得這9張紙的面積之和.

【詳解】依題意可得，

4的長(zhǎng)、寬分別為是2J5dm,2dm.4的長(zhǎng)、寬分別為4dm,2拒dm；

4的長(zhǎng)、寬分別為4亞dm,4dm.4的長(zhǎng)、寬分別為8dm,40dm；

"。的長(zhǎng)、寬分別為8&dm,8dm,

所以4紙的面積為8及x8=64及dm)

則4,4,4,…,4紙張的面積是以64a為首項(xiàng)，以5為公比的等比數(shù)列，

則這9張紙的面積和為2

5110

故答案為：4.

9.已知球。的半徑為1，48是球面上的兩點(diǎn)，且48=百，若點(diǎn)P是球面上任意一點(diǎn)，則

蘇?麗的取值范圍是.

3-

【答案】L2'2_

【分析】以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)48,尸的坐標(biāo)，用來(lái)表示沙?方，進(jìn)而求

出答案.

【詳解】由題意，可得==

^li±iiz(<.l

C0Ss==/ACRm1Z.AOB-......

則2x1x12又由乙所以3,

以球心°為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸正方向，平面0/8的垂線為z軸建立空間坐標(biāo)系,

/(1,0,0),8(——,0),、

則'2'2'設(shè)DP(",z),

—-——1J3

PA=(]-x,-y,-z),PB=(---x,---y,-z)

則22

PA-PB=(1—x)(_■--x)+-y)+z2=x2+y2+z2—--—(x+y/iy)

所以2222

因?yàn)槭?x,y,z)在球面上，則/+/+z2=l,所以-+^41,

7^.p5=---(x+>/3y)

所以22、”，

設(shè)機(jī)=x+島，當(dāng)島一”?=0與圓/+丁=1相切時(shí)，加取得最值.

|0+0+加|]

又由"+(招2,解得網(wǎng)=2,

^4-P5=---(x+V3v)

所以-2Mm42,所以2222

故答案為：221

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及直線與圓的位置關(guān)系的綜合

應(yīng)用，其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，結(jié)合直線與圓的位

置關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題.

10.如圖，現(xiàn)將一張正方形紙片進(jìn)行如下操作：第一步，將紙片以。為頂點(diǎn)，任意向上翻折，折痕

與8c交于點(diǎn)片,然后復(fù)原，記』8&二%；第二步，將紙片以。為頂點(diǎn)向下翻折，使/。與

用。重合，得到折痕然后復(fù)原，記4。芻=%；第三步，將紙片以。為頂點(diǎn)向上翻折，使

8與心。重合，得到折痕然后復(fù)原，記按此折法從第二步起重復(fù)以上步驟

得到%，％，…，*，…，貝’吧％=.

71

【答案】6

【分析】先分析出遞推式，再求出｛4｝的通項(xiàng)，最后算出極限即可.

141,71

a?=一(—a,)%J=T—%)

【詳解】由第二步得■22;由第三步得222,

ex..=-(--a...)(7:>2)a-鄉(xiāng)=(a,1-5)

依此類推2%J八，所以’62M,6,

7171..71

a.=—a?=—hma=—

①若6,貝ij6,此時(shí)-6.

71,幾、兀1

a,-{a”---}a、------

②若6,則數(shù)列6是以6為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列,

/兀XZ11兀

+-

所以，即626

lima'=]im[(a]-一+"

所以―°—"66

liman=—

綜上，e6

71

故答案為：6

11.取棱長(zhǎng)為。的正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，過(guò)從此頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的中點(diǎn)作截面，依次進(jìn)行下去，對(duì)

正方體的所有頂點(diǎn)都如此操作，所得的各截面與正方體各面共同圍成一個(gè)多面體，如圖所示.則此

多面體：

①有12個(gè)頂點(diǎn)；②有24條棱：③有12個(gè)面；

九3

④表面積為3屋；⑤體積為6.

以上結(jié)論正確的是.(填上所有正確的序號(hào))

【答案】①②⑤

【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形可知，原來(lái)的六個(gè)面還在，只是變成了六個(gè)小正方形，再添加了八個(gè)三

角形面，計(jì)算或者數(shù)數(shù)可得到頂點(diǎn)、棱和面的個(gè)數(shù)，再利用割補(bǔ)法求出多面體的表面積和體積即可.

【詳解】由圖可知，原來(lái)的六個(gè)面還在，只是變成了六個(gè)小正方形，再添加了八個(gè)三角形面，總計(jì)

有6+8=14個(gè)面，則③錯(cuò)誤；

-(4x6+3x8)=24

每個(gè)正方形有4條邊，每個(gè)三角形3條邊，而每條邊對(duì)應(yīng)兩個(gè)面，所以共有2條

棱，則②正確；

每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)4條棱，每條棱對(duì)應(yīng)兩個(gè)頂點(diǎn)，所以頂點(diǎn)數(shù)是棱數(shù)的一半，即12個(gè)，則①正確：

~~~a6x—a2=3a2

三角形和小正方形的邊長(zhǎng)都是2,所以小正方形的總面積為2,三角形的總面積為

8x—x-a2xsin60°=V3a2fs+x/sV2

22,即多面體的表面積為I7尸,則④錯(cuò)誤;

8

多面體的體積為原正方體的體積減去8個(gè)三棱錐的體積，8個(gè)三棱錐的體積為-

于是多面體的體積為06a~6a,則⑤正確.

故答案為：①②⑤

12,設(shè)數(shù)列也｝的前“項(xiàng)和為S"，4=1,a2=a（a>l）,|。“+2-4川|=h向一?|+"（（/>0,“eNj

且｛%“｝、他t｝均為等差數(shù)列，則S2?=.

[答案]S2n=〃(1+。)

【解析】根據(jù)已知條件知數(shù)列是首項(xiàng)為aT,公差為d的等差數(shù)列，可求出

|%-a,,|=aT+（〃TW,再根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化求出等差數(shù)列包，｝、包，"的通項(xiàng)公式，再利用分組

求和即可得解.

[詳解]_聞=,_"="[

又|%+2-4+11=卜”+1-a”|+d,即凡+2-J一|4用一%|"

，數(shù)列"”"一?｝是首項(xiàng)為公差為"的等差數(shù)列，?出+「％|=aT+（〃T）d①,

又｛%,｝，｛%”7｝分別構(gòu)成等差數(shù)列，根據(jù)①式可得

=±[a-1+(2〃-2)刈(">2)②,

%+i-a2?=±[a-1+(2〃-1)〃]("21)③,

*-。2“+1=±J-1+2”町("21)④,

由②+③，得-=±[a-1+(2?-1)</]±[a-1+(2?-2)d](n>1)

又｛%T｝是等差數(shù)列，所以%必為常數(shù)，

所以叫-a2n-i=[a-l+(2n-Y)d]-[a-l+(2n-2)d]=d("N2),

或?2n+i-*=T"1+(2+-l)d]+[。-1+(2M-2)d]=-d(n>2)

由①得|%一々|=4_[+",即=±(。-1+4),

?/ci2=a「.％=±(Q-l+d)+a又q=l

:.a?-%=a-1±(a-1+d)即％-1=-d或4-〃]=2(。-1)+d(舍去)

g〃+1-a2n-\=7,

?'J是首項(xiàng)為1,公差為一”的等差數(shù)列，=1-(〃-1W,

同理，由③+④得，。2〃+2一。2”=±口一1+2〃町±[。一1+(2〃-1)町(〃21),

a

所以出“+2-2n=d或a2n+2-a2n=-d,

%—。2=-a+1—44-/=±(。—1+2d)%—=—a+1—d±(a-1+2d)

即%一4="或％-。2=-2。+2-3”(舍去)，

??。2〃+2~~a2n=d,

'｛%，｝是首項(xiàng)為0,公差為"的等差數(shù)列，?,?%=a+(〃TW,

從而?2*-!+a2k=a2M+%*+2=a+l(kwN*),

所以$2"=4+&+…+。2”=(l+a)+…+(l+a)="(l+a).

故答案為：S2,="(l+a)

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查遞推關(guān)系求等差數(shù)列求通項(xiàng)公式，分組求數(shù)列和，求數(shù)列的和常用的

方法有：(1)分組求和法；(2)倒序相加法；(3)”""用(數(shù)列｛“"｝為等差數(shù)列)：裂項(xiàng)

相消法；(4)等差x等比數(shù)列：錯(cuò)位相減法，考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于難

題.

二、單選題

13.若尸為兩條異面直線/，加外的任意一點(diǎn)，則()

A.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與/，切都平行

B.過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與/，機(jī)都垂直

C.過(guò)點(diǎn)尸有且僅有一條直線與/，機(jī)都相交

D.過(guò)點(diǎn)戶有且僅有一條直線與/，機(jī)都異面

【答案】B

【詳解】解：因?yàn)槿酎c(diǎn)尸是兩條異面直線/，機(jī)外的任意一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)尸有且僅有一條直線與

/，機(jī)都垂直，選B

14.已知數(shù)列"J滿足”"+%+4=%+|+“”+3,那么（）.

A.也｝是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列

C.｛%"｝是等差數(shù)列D.｛“3，｝是等差數(shù)列

【答案】D

【分析】通過(guò)%+%“=%|+/+3（"€2）可知*4-%“=%3-4,進(jìn)而可得%6-%3=4+3-4,從而數(shù)

列｛%“｝是等差數(shù)列.

【詳解】由%+""+4=。"+1+""+3得a…-4+1=%+3-a”,

a

,?°〃+5—n+2="".4—,。"+6-"〃+3=勺”一%+2,

故4+6一?！?3=%+3-?！?

即有&（/2）一〃3（〃+1）=〃3（”+1）一砥

故數(shù)列｛%“｝是等差數(shù)列，

故選：D

15.空間直角坐標(biāo)系。一k2中，經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（X。，%*。），且法向量為"=（48，C）的平面方程為

/（x-x0）+8（y-y°）+C（z—z0）=0,經(jīng)過(guò)點(diǎn)「（x。,比/。）且一個(gè)方向向量為行=二0）的

X-X。_Z-Z。

直線/的方程為〃°°,閱讀上面的材料并解決下面問(wèn)題：現(xiàn)給出平面a的方程為

x_y_z

3x-5y+z-7=O,經(jīng)過(guò)（°兒°）的直線/的方程為3-5一-1,則直線/與平面。所成角的正弦值為

（）

叵Vw叵好

A."io-B.^5"c.-D.亍

【答案】B

【解析】根據(jù)題設(shè)給出的材料可得平面的法向量和直線的方向向量，利用公式可求直線/與平面

。所成角的正弦值.

【詳解】因?yàn)槠矫鎍的方程為京-5了+2-7=0,故其法向量為"=（二一%）,

x_y_z一

因?yàn)橹本€/的方程為3一萬(wàn)一口，故其方向向量為拉=（3,2，T）,

9-10-0_2_V10

故直線,與平面。所成角的正弦值為ExAl35,

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題為材料題，需從給定的材料中提煉出平面的法向量和直線的方向向量的

求法，這是解決此題的關(guān)鍵.

16.北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用.刻畫(huà)空間的彎曲性是幾何研究的重

要內(nèi)容.用曲率刻畫(huà)空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于21與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差

（多面體的面的內(nèi)角叫像多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體

71

的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是不，

2i-3x—=乃

n

①正方體各頂點(diǎn)的曲率為2；

②任意三棱錐的總曲率均為4萬(wàn)；

③將棱長(zhǎng)為3的正方體正中心去掉一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體所形成的幾何體的總曲率為8萬(wàn).

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】根據(jù)幾何體頂點(diǎn)的曲率和幾何體總曲率的定義求解.

71

【詳解】①因?yàn)檎襟w的每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角是5,所以正方體在各頂點(diǎn)的曲率為

24一3x—=一

22,故正確;

②如圖所示:

A點(diǎn)的曲率為：2萬(wàn)-NB4C-NDAC-NBAD,

8點(diǎn)的曲率為：2兀-ZABC-乙4BD-NCBD,

C點(diǎn)的曲率為：27T-ZACB-ZACD-ZBCD,

D點(diǎn)的曲率為：-/.ADC-Z.ADB-Z.BDC,

則三棱錐的總曲率均為肺-(N43C+4C3+/3月。)-(NZM8+NABD+ZBDA),

-{Z.ADC+Z.ACD-NDAC)-(/BCD+NBDC+CBD)=4乃故正確.

7TTT7T

2%-3x-=—16x-=8萬(wàn)

③此幾何體有16個(gè)頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為22,所以該兒何體的總曲率為2

故正確.

故選：D

三、解答題

17.如圖，在直三棱柱"8C-44G中，BAA.BC.

(1)若助=期,求證：期,平面48C；

Q)若B4=BC=BB『2,"是棱8c上的一動(dòng)點(diǎn).試確定點(diǎn)"的位置，使點(diǎn)/到平面43c的距離

等于2.

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)當(dāng)點(diǎn)”為棱8c的中點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)〃到平面43c的距離等于2

【分析】(1)先證明8c用和‘與1"田，再根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可證/4,平面

48c.

(2)以8為原點(diǎn)，848耳,8c分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系：設(shè)M(0,0,/)(0〈W2),利用點(diǎn)

面距的向量公式列式可求出結(jié)果.

【詳解】⑴在直三棱柱"C-481G中，明,平面/8C,所以明，80,BB}1BA,

cg

又因?yàn)锳4_L8C,BAcBB］=B,所以8cl平面5444,所以8c,/與,

因?yàn)殛巁L",BA=BB',所以四邊形町4為正方形，所以1NR,

因?yàn)?8nBe=8,所以盟,平面48c

(2)由(1)知，A4］與］。兩兩垂直，

以8為原點(diǎn)，84叫BC分別為x,%z軸建立空間直角坐標(biāo)系：

因?yàn)?/=8。=84=2,則8(0,0,0),4(2,2,0),5,(0,2,0),C(0,0,2)

設(shè)M(0,0,f)(0WW2),

則=(0,0,2—f),4。=(-2,0,0),BXC=(0,—2,2)

設(shè)平面4B,C的一個(gè)法向量為萬(wàn)=(x,y,z),

[?-45i=-2x=0.=0

則[萬(wàn)?4C=-2y+2z=0,則[y=z,

取V=l,則z=],萬(wàn)=(0,1,1),

版向12Tl12Tl

所以點(diǎn)"到平面44C的距離等于團(tuán)|JO+1+l&,

V212TlM

又已知點(diǎn)用到平面4BC的距離等于2,所以應(yīng)2,

解得"1,t=3（舍）,

V2

所以點(diǎn)加為棱8c的中點(diǎn)時(shí)，使點(diǎn)M到平面W的距離等于T.

18.現(xiàn)有31行67列表格一個(gè)，每個(gè)小格都只填1個(gè)數(shù)，從左上角開(kāi)始，第一行依次為12…，67；

第二行依次為6879,…,134；…依次把表格填滿現(xiàn)將此表格的數(shù)按另一方式填寫(xiě)，從左上角開(kāi)始,

第一列從上到下依次為1，2，?“，31；第二列從上到下依次為32,33,…,62；…依次把表格填滿若

他也(12/<31,1<;<67)分別表示第一次和第二次填法中第i行第j列的數(shù).

⑴求旬的表達(dá)式(用V表示);

(2)若兩次填寫(xiě)中，在同一小格里兩次填寫(xiě)的數(shù)相同的個(gè)數(shù)為N,求N的值.

【答案】(1產(chǎn)=67(1)+)

(2)7

【分析】(1)第i行的第一個(gè)數(shù)為67('7)+1,第i行的第/個(gè)數(shù)為67('T)+',得到答案.

⑵計(jì)算4=31(4-D+i,根據(jù)％濁得到11-6,驗(yàn)證得到答案.

【詳解】(1)第一種填法中：第i行的第一個(gè)數(shù)為67(,7)+1,

第i行的第7個(gè)數(shù)為67(1)+1+廠1=67(-)+乙

即為=67(1)+)

(2)第二種填法中：第/列的第一個(gè)數(shù)為

第7列的第i個(gè)數(shù)為'"TH"''】=31(/7)+，，

故%=31(/-D+i

當(dāng)67(i-l)+J=31(/-l)+i時(shí)，在同一小格里兩次填的數(shù)相同，整理得1上-5/=6

當(dāng)i=l,，=1時(shí),%。

當(dāng)/=6,./=12時(shí)，%=347；

當(dāng)‘=11,/=23時(shí)，附=693；

當(dāng)\16,_/=34時(shí)，%=1039；

當(dāng)，=21,J=45時(shí)，aij=1385；

當(dāng)i=26,J=56時(shí)，%=1731：

當(dāng)i=31,'=67時(shí)，%=2077,

故N=7.

19.已知數(shù)列｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式分別為%=3〃+6,"=2〃+7(〃6叱)，將集合

｛x|x=a“,〃eN*｝u｛x|x=b",〃eN.｝中的元素從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列。勺此，…

⑴求。，。2，。3，，4；

⑵求證：在數(shù)列｛%｝中、但不在數(shù)列也｝中的項(xiàng)恰為02M4,…，“2”…；

⑶求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式.

【答案】(1)G=9,。2=11,，3=12,4=13；(2)證明見(jiàn)解析;(3)

’6左+3(”=4左-3)

[6E(―)工.

C.~?,fr€A

6A6(?=4fr-l)

?6i+7(n=4^)

【詳解】(1)。=9,&=11￡=12勺=13；

(2)①任意〃eN*,設(shè)。2,i=3(2"-1)+6=6〃+3=4=2k+7,

則k=3"-2,即°2”-i=4"-2.

②嫉設(shè)%“=6n+6=bk=2k+[=k_3n_jN(矛盾)，..％任也｝

???在數(shù)列也｝中、但不在數(shù)列也｝中的項(xiàng)恰為生，4,…

(3)怎-2=2(34-2)+7=6左+3=。2￡_],

砥一1=6%+5a2k=6左+6b3k=6k+7

''5

?..6左+3<6左+5<6左+6<6左+7

.??當(dāng)％=1時(shí)，依次有a=〃|也=c2,a2=c3,Z>3=。4,

'6Jt+3(n=4k-3)

_*+5(”=4h2)產(chǎn)

'6k+6(?=4fr-l),€

...16〃+~(，:=4f)

20.為了求一個(gè)棱長(zhǎng)為友的正四面體的體積，某同學(xué)設(shè)計(jì)如下解法.構(gòu)造一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體,

如圖1：則四面體"°片"為棱長(zhǎng)是正的正四面體，且有

1

片面體附陶防《一^B-ACBy-〃-陽(yáng)"一七-四8-^D-ACDi=§=-

3

圖1

(1)類似此解法，如圖2,一個(gè)相對(duì)棱長(zhǎng)都相等的四面體，其三組棱長(zhǎng)分別為石，內(nèi)，J歷，求

此四面體的體積；

(2)對(duì)棱分別相等的四面體月8。中，AB=CD,AC=BD,/O=8C.求證：這個(gè)四面體的四個(gè)面

都是銳角三角形；

(3)有4條長(zhǎng)為2的線段和2條長(zhǎng)為“，的線段，用這6條線段作為棱且長(zhǎng)度為機(jī)的線段不相鄰，構(gòu)

成一個(gè)三棱錐，問(wèn)機(jī)為何值時(shí)，構(gòu)成三棱錐體積最大，最大值為多少？

【答案】⑴2

(2)證明見(jiàn)解析

47316G

m=----------

(3)3時(shí)，構(gòu)成的三棱錐體積最大，最大值為27

【分析】(1)類比已知條件中的解法，構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)方體，求出長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)，在由長(zhǎng)方體的體積減

去四個(gè)三棱錐體積即可得到答案；

(2)在四面體中，由已知可得四面體/8C。的四個(gè)面為全等三角形，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、

高分別為6、c,證明△NBC為銳角三角形，即可證明這個(gè)四面體的四個(gè)面都是銳角三角形；

(3)當(dāng)2條長(zhǎng)為機(jī)的線段不在同一個(gè)三角形中，寫(xiě)出三棱錐體積的表達(dá)式，利用基本不等式求最

值.

【詳解】(1)設(shè)四面體48CO所在長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為

a2+b2=5a2=4

,+c2=13<b2=\

則卜+0』°,解得卜=\

V=abc----abcx4=—abc=2

所以四面體的體積323

(2)在四面體48CO中，

因?yàn)榱?=CD,AC=BDfAD=BCf

所以四面體188的四個(gè)面為全等三角形，

即只需證明?個(gè)面為銳角三角形即可.

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為。、b、c,

則432=。2+匕=/+(?,JC2=a24-C2,

22

所以482+6。2>4。2,AB2+AC2>BC2AC+BC>AC\

所以“8C為銳角三角形，則這個(gè)四面體的四個(gè)面都是銳角三角形;

(3)當(dāng)2條長(zhǎng)為切的線段不在同一個(gè)三角形中，

如圖，不妨設(shè)“D=BC=機(jī)，BD=CD=AC=2,取8c的中點(diǎn)E,

連接/E、DE,

貝lJ4E_L8C,DE工BC,而N￡riOE=￡,所以8cl平面/E。，

則三棱錐的體積3曲,

AE=DE=J4--

在AAED中，，4,AD=m,

16>/3

27

4G16G

tn=----一

故3時(shí)，構(gòu)成的三棱錐體