指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

第二章函數(shù)、導數(shù)及其應(yīng)用第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)命題分析預(yù)測學科核心素養(yǎng)本節(jié)在高考中的考查熱點有：(1)比較指數(shù)式的大?。?2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用；(3)以指數(shù)函數(shù)為載體，與其他函數(shù)、方程、不等式等知識的綜合應(yīng)用．以選擇題和填空題為主，難度中等.本節(jié)通過指數(shù)運算、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)考查數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的運用和考生的邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng).知識點一根式與指數(shù)冪的運算1．根式的概念正數(shù)負數(shù)相反數(shù)a

a

－a

a

0沒有意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①aras＝________(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝_______(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝_______(a＞0，b＞0，r∈Q)．在進行指數(shù)冪的運算時，一般用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示，并且結(jié)果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負指數(shù)．易忽視字母的符號．C答案：－2x2y知識點二指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)(0，＋∞)減函數(shù)增函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分a>1或0<a<1.

1．某種產(chǎn)品的產(chǎn)量原來是a件，在今后m年內(nèi)，計劃使每年的產(chǎn)量比上一年增加p%，則該產(chǎn)品的產(chǎn)量y隨年數(shù)x變化的函數(shù)解析式為(

)A．y＝a(1＋p%)x(0＜x＜m)B．y＝a(1＋p%)x(0≤x≤m，x∈N)C．y＝a(1＋xp%)(0＜x＜m)D．y＝a(1＋xp%)(0≤x≤m，x∈N)解析：由題意可知，y＝a(1＋p%)x，其中0≤x≤m，x∈N.BD

3．(易錯題)若函數(shù)f(x)＝ax在[－1,1]上的最大值為2，則a＝________.題型一指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用自主探究1．函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是(

)A解析：由f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，排除B，D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域為(－∞，0]，排除C.2．已知f(x)＝|2x－1|，當a＜b＜c時，有f(a)＞f(c)＞f(b)，則必有(

)A．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0

B．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0C．2－a＜2c D．1＜2a＋2c＜2解析：作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象如圖所示，因為a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0,0＜c＜1，且|2a－1|＞|2c－1|，所以1－2a＞2c－1，則2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1.D1.對于已知函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象的選擇題，可以考慮應(yīng)用特值法．2．對于與指數(shù)函數(shù)的圖象有關(guān)的問題，一般從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換得到．[注意]

當?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時，應(yīng)注意分類討論．題型二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用多維探究高考常以選擇題或填空題的形式考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，難度偏小，屬中、低檔題．常見的命題角度有：(1)比較指數(shù)式的大??；(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域問題；(3)探究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì).考法(一)比較大小或解不等式[例1]

(1)(2020·高考全國卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，則(

)A．ln(y－x＋1)＞0

B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0 D．ln|x－y|＜0(2)若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)＞0的解集為________.A1.比較兩個指數(shù)冪大小時，盡量化為同底或同指，當?shù)讛?shù)相同，指數(shù)不同時，構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)，然后比較大小；當指數(shù)相同，底數(shù)不同時，構(gòu)造同一冪函數(shù)，利用圖象比較大?。?．有關(guān)指數(shù)不等式問題，應(yīng)注意a的取值，及結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．C形如y＝a2x＋b·ax＋c(a>0，且a≠1)型函數(shù)最值問題多用換元法，即令t＝ax轉(zhuǎn)化為y＝t2＋bt＋c的最值問題，注意根據(jù)指數(shù)函數(shù)求t的范圍．[解析]

(1)因為f(x)為偶函數(shù)，所以對任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復合函數(shù)的單調(diào)性，要弄清復合函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)復合而成，要注意數(shù)形結(jié)合思想的運用.D

高考題只是把物理競賽題中個別背景與條件進行變更，難度相似．與傳統(tǒng)的解方程問題相比，本題以學生熟悉的“嫦娥四號”為背景，看起來是物理問題，實則考查數(shù)學中的解方程，求近似值的內(nèi)容．讓學生感覺數(shù)學來源于生活，數(shù)學和物理不分家，考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，空間想象能力，以及運算求解能力，很