數(shù)學(xué)中的美課件

引例2：用三個4，并利用各種運算符號組成一個算式，使它的結(jié)果分別等于1，2，3，…，10。你會做嗎？怎樣反復(fù)使用一種特殊的數(shù)學(xué)運算符號與三個2，把任意自然數(shù)表示出來？這種數(shù)學(xué)運算符號就是(開平方根)。使用N重根號即可將任意自然數(shù)N表達為：符號美符號常常比發(fā)明它們的數(shù)學(xué)家更能推理。

——F·克萊因（1849—1925）所謂符號其實就是一種用來傳達信息的標(biāo)記或記號。它既可以是文字、圖形，也可以是別的東西（如：“結(jié)繩記事”中的結(jié)；聯(lián)絡(luò)用的暗號）。人們總是探索用簡單的記號去表現(xiàn)復(fù)雜的事物，符號正是這樣產(chǎn)生的。

文字是用聲音和形象表達事物的符號，一個語種就是一個“符號系統(tǒng)”。這些符號的組合便是語言。

符號對于數(shù)學(xué)的發(fā)展來講是極為重要的。它可使人們擺脫數(shù)學(xué)自身的抽象與約束，集中精力于主要環(huán)節(jié)，這在事實上增加了人們的思維能力。如果沒有符號去表示數(shù)、形及其運算，數(shù)學(xué)的發(fā)展是不可想象的。數(shù)與形是科學(xué)的語言，符號則是記錄、表達這些語言的載體。正如沒有文字，語言也難以發(fā)展一樣，幾乎每一個數(shù)學(xué)分支都是靠一種符號語言而生存。數(shù)學(xué)符號是貫穿于數(shù)學(xué)全部的支柱。古代數(shù)學(xué)的漫長歷程、今日數(shù)學(xué)的飛速發(fā)展；十七，十八世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)的興起、我國幾千年數(shù)學(xué)發(fā)展進程的緩慢，這些在某種程度上也都歸咎于數(shù)學(xué)符號的運用得當(dāng)與否，簡練、方便的數(shù)學(xué)符號對于書寫、運算、推理來講，都是何等方便!反之，沒有符號或符號不恰當(dāng)、不簡練，勢必影響到數(shù)學(xué)的推理和演算。

然而，數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生(發(fā)明)、使用和流傳(傳播)卻經(jīng)歷了一個十分漫長的過程。這個過程始終貫穿著自然、和諧與美。數(shù)學(xué)符號的產(chǎn)生也與數(shù)學(xué)發(fā)展的背景有著緊密的聯(lián)系，同一概念開始往往運用不同的符號表示，人們在使用過程中不斷對其進行鑒別以確定優(yōu)劣（實用性、方便性、簡潔性等）——這里面也蘊涵一個審美過程。數(shù)學(xué)符號按其性質(zhì)可分為元素符號(如記數(shù)符號)、關(guān)系符號(如等號)、運算符號、約定和輔助符號(如括號)。它們都是簡化邏輯推理所不可缺少的。形式簡潔具有某種對稱性（部分符號）符號美的主要特征：如：記數(shù)符號1，2，3，…，9，0

四則運算符號+，-，×，÷

人們記數(shù)，經(jīng)歷了從原始記數(shù)至數(shù)字符號記數(shù)的發(fā)展階段。其中，原始符號記數(shù)又包括實物記數(shù)、結(jié)繩記數(shù)和刻痕記數(shù)等。隨著生產(chǎn)的發(fā)展，許多文明發(fā)達較早的民族逐漸產(chǎn)生了各自的記數(shù)符號和記數(shù)方法，經(jīng)過長期的、一定范圍內(nèi)的交流、傳播和比較、鑒別，到16世紀(jì)以后，逐漸形成了目前比較通用的阿拉伯記數(shù)符號和記數(shù)方法。例1：記數(shù)符號①乘號——十個10相加（=10×10）。例2：（部分）運算符號②乘方——十個10相乘（=）。③階乘——10！=④連乘——⑤連加——

說到數(shù)學(xué)符號，我們當(dāng)然不能忘記圖形。希爾伯特就說過：“算術(shù)符號是寫出來的圖形，而幾何圖形則是畫出來的公式?！秉c、線、面、體的產(chǎn)生正是人們對客觀事物的抽象和概括，歐氏幾何、非歐幾何、解析幾何、拓撲學(xué)等就是研究這類圖形的數(shù)學(xué)分支。除此之外，還有許多精彩的例子。例3：圖形符號能夠一筆畫出的圖形，其奇點（經(jīng)過該點的線段條數(shù)為奇數(shù)的點）個數(shù)只能是0或2；若奇點個數(shù)為2n，則至少需要n筆。一筆畫問題一個旅行者從始點A出發(fā)，需經(jīng)過四個階段到達終點E。前面三個階段分別有3個、4個和2個中轉(zhuǎn)點，旅行者在每一階段只能選擇一個中轉(zhuǎn)點作為本階段的到達點，具體線路如下圖所示，邊旁參數(shù)為該邊起點到終點的距離。求A至E的最短路徑。最短路徑問題AB1B2C1C2C3C4D1D2EB3435547653252256231735例4：行列式符號行列式的概念要追溯到G.Leibniz(1678)。H.Cramer是第一個發(fā)表有關(guān)這個主題的人(1750)?！靶辛惺健边@一名詞首先是由C.F.Gauss（1801）創(chuàng)立的。行列式理論是與解線性方程組的問題相聯(lián)系而發(fā)展的。表示對所有n元排列求和。

n階行列式是由個數(shù)所確定的一個數(shù)：上式表明，是n！項的代數(shù)和，每項都是n個因子的乘積；n個因子取自不同的行與列，每項前的符號由排列的逆序數(shù)決定。其中行列式簡潔、整齊、便于記憶，這些特點往往使某些數(shù)學(xué)方程變得更漂亮。例如：表示；等等。平面上過點的直線方程可用平面上過點的圓的方程可用表示；例5:(黎曼)積分符號被譽為“人類精神最高勝利”的微積分，其符號是由它的理論創(chuàng)立者牛頓、萊布尼茲各自獨立創(chuàng)造的。牛頓把變量叫作流，變量的變化率叫作流數(shù),對于流的流數(shù)記作

萊布尼茲于1684年在一篇文章中首先使用微分記號d，積分記號“”是萊布尼茲與雅各貝努利在通信討論中共同創(chuàng)造的,是“和”Sum一詞第一字母的拉長。萊布尼茲是歷史上最大的符號學(xué)者之一，他所創(chuàng)設(shè)的微積分符號，遠遠優(yōu)于牛頓的符號，這對微積分的發(fā)展有極大的影響。他煞費苦心地研究，要把記號選得最好。開始(1673年)他用拉丁文omnia的頭三個字母omn表示積分，用表示今日的,且經(jīng)常用表示。1675年他已開始用“”代替omn,但他卻用表示，不久他便改為后者。定積分符號O定積分的幾何意義是曲線與直線軸所包圍圖形的面積。求面積的主要步驟是：分割、求和、取極限。有人說：代數(shù)學(xué)其實就是“符號的形式運算”。你認為是否確實如此？記數(shù)法方面的一個偉大創(chuàng)造是位值制（進位制）的發(fā)明，即不同位置的數(shù)字符號代表不同的值?，F(xiàn)實生活中的進位制主要有哪些？圓周率是不是符號？呢？問題與思考：謝謝！“圖論(graphtheory)”

離散數(shù)學(xué)的一個分支，其特色在于對所研究的對象進行幾何的探討。圖論的主要對象是圖和它的推廣。圖論中最早的一些問題是解數(shù)學(xué)趣味難題（哥尼斯堡七橋問題，旅行售貨員問題等）。最早的結(jié)果之一是走遍一個圖的所有邊而沒有一邊通過兩次的可能性的判定準(zhǔn)則，該準(zhǔn)則由L．Euler于1736年在解哥尼斯堡七橋問題時得出。19世紀(jì)中葉明確提出的四色問題（定理），雖然當(dāng)時僅是作為一個趣味性的難題，卻導(dǎo)致了理論的和應(yīng)用的圖論研究。

20世紀(jì)初，圖被用于表示某些數(shù)學(xué)對象，以及形式地表述不同的離散問題；其它名稱如地圖、復(fù)