向量的數(shù)量積(一)+課件【核心知識(shí)精研精講】高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

向量的數(shù)量積(一)1.了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生

位移s所做的功.2.掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量.3.會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.

“哼”老豬我偏要向右！我老沙喜歡天天向上八戒、沙僧把同樣質(zhì)量大寶箱拖動(dòng)同樣的位移進(jìn)入白馬寺，他們做的功是否一樣？F2.

F1

.θ兩向量的夾角與垂直1問題一如圖所示，一物體在力F作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W＝|F||s|cosα.

(1)這個(gè)公式有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空：①W(功)是

量；②F(力)是

量；③s(位移)是

量；④α是

量.(2)你能用文字語言表述功的計(jì)算公式嗎？數(shù)向向數(shù)提示：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積.非零向量∠AOB知識(shí)梳理當(dāng)θ＝0時(shí)，a與b

；

同向當(dāng)θ＝π時(shí)，a與b

；

反向...θθ2.垂直：如果a與b的夾角是

，則稱a與b垂直，記作

.知識(shí)梳理注意a⊥b.例1

已知|a|＝|b|＝2，且a與b的夾角為60°，則a＋b與a的夾角是多少？a－b與a的夾角又是多少？1.畫出圖形2.確定是否共起點(diǎn)a＋b與a的夾角是30°，a－b與a的夾角是60°ab60°30°a＋ba－b..反思感悟求兩個(gè)向量夾角的步驟和注意事項(xiàng)起點(diǎn)重合求兩個(gè)向量夾角的關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量起點(diǎn)重合，作兩個(gè)向量的夾角，按照“一作二證三算”的步驟求出.系數(shù)正負(fù)決定方向特別地，a與b的夾角為θ，λ1a與λ2b(λ1，λ2是非零常數(shù))的夾角為θ0，當(dāng)λ1λ2<0時(shí)，θ0＝180°－θ；當(dāng)λ1λ2>0時(shí)，θ0＝θ.

√跟蹤訓(xùn)練1兩向量的數(shù)量積2知識(shí)梳理1.已知兩個(gè)非零向量a，b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量

叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作

，即

.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為

.2.向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ.(2)a⊥b?a·b＝0.|a|·|b|cosθa·ba·b＝|a||b|cosθ0知識(shí)梳理兩個(gè)向量平行注意同向和反向特別地，a·a＝|a|2或|a|＝

.≤向量數(shù)量積與模的關(guān)系兩個(gè)向量的夾角公式知識(shí)梳理注意(1)數(shù)量積運(yùn)算中間是“·”，不能寫成“×”.(2)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，它的值可正、可負(fù)、可為0.(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一個(gè)零向量.(4)|a|2＝a2是求向量的長度的工具.(5)溝通了向量運(yùn)算與數(shù)量之間的關(guān)系.例2已知|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為30°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積.解

(1)a∥b，若a與b同向，則θ＝0°，a·b＝|a|·|b|cos0°＝4×5＝20；若a與b反向，則θ＝180°，a·b＝|a|·|b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20.兩個(gè)向量平行注意同向和反向(2)當(dāng)a⊥b時(shí)，θ＝90°，a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.反思感悟求平面向量數(shù)量積的步驟求夾角求a與b的夾角θ，θ∈[0，π].求模分別求|a|和|b|標(biāo)準(zhǔn)寫法求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cosθ，要特別注意書寫時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn)“·”連接，而不能用“×”連接，也不能省去.

(1)已知|a|＝5，|b|＝4，a與b的夾角為60°，則a·b＝____.10跟蹤訓(xùn)練2解析如圖，△ABC是邊長為6的正三角形，－18跟蹤訓(xùn)練2投影向量3

知識(shí)梳理投影投影知識(shí)梳理

.知識(shí)梳理注意(1)向量a在向量b上的投影向量是與向量b平行的向量.(2)如果向量a與向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性.例3√例3分析

如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接OD.數(shù)量積的幾何意義三角形外心的應(yīng)用例3解析

如圖，取AC的中點(diǎn)D，連接OD，因?yàn)镺是△ABC的外心，所以O(shè)D⊥AC，－1反思感悟向量的投影①任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cosθ

e②θ為向量a，b的夾角，e為與b同向的單位向量跟蹤訓(xùn)練3解析

a在b上的投影向量為|a|cos120°·e＝－e.√跟蹤訓(xùn)練3(2)已知|b|＝4，a與b的夾角θ＝60°，則向量b在向量a方向上的投影向量的模為_____.

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