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湖南省岳陽市縣鹿角中學(xué)2022年高一數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.若直線a∥平面,a∥平面,直線b,則A.a∥b或a與b異面
B.a∥b
C.a與b異面
D.a與b相交參考答案:B2.如圖所示,將等腰直角△ABC沿斜邊BC上的高AD折成一個二面角B′-AD-C,此時∠B′AC=60°,那么這個二面角大小是(
)A.90°
B.60°
C.45°
D.30°參考答案:A設(shè)等腰直角△ABC中AB=AC=a,則BC=a,∴B′D=CD=,∵等腰直角△ABC斜邊BC上的高是AD=,∴B′D⊥AD,CD⊥AD,∴∠B′DC是二面角B′?AD?C的平面角。連結(jié)B′,C,∵∠B′AC=60°,∴B′C=a,∴B′D2+CD2=B′C2,∴∠B′DC=90°.∴二面角B′?AD?C的大小是90°.故選:A.
3.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)的是A.
B.
C.
D.參考答案:A4.在簡單隨機抽樣中,某一個個體被抽到的可能性是()A.與第幾次抽樣有關(guān),第一次抽到的可能性最大B.與第幾次抽樣有關(guān),第一次抽到的可能性最小C.與第幾次抽樣無關(guān),每一次抽到的可能性相等D.與第幾次抽樣無關(guān),與抽取幾個樣本有關(guān)參考答案:C略5.已知
則線段的垂直平分線的方程是(
).A、
B、
C、
D、參考答案:B6.設(shè)是關(guān)于的方程(m為常數(shù))的兩根,則的值為A.0
B.1
C.2
D.參考答案:A7.已知向量,的夾角為,且,,則等于()A.2 B.3 C. D.4參考答案:A【考點】平面向量數(shù)量積的運算.【專題】計算題;方程思想;向量法;平面向量及應(yīng)用.【分析】由,展開后代入已知條件得答案.【解答】解:∵,且,,∴,即1+,∴,解得:(舍)或=2.故選:A.【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算,關(guān)鍵是明確,是中檔題.8.集合{x∈N|x<5}的另一種表示法是()A.{1,2,3,4} B.{0,1,2,3,4} C.{1,2,3,4,5} D.{0,1,2,3,4,5}參考答案:B【考點】集合的表示法.【分析】找出滿足條件的x,用列舉法表示即可.【解答】解:集合{x∈N|x<5}表示元素x是自然數(shù),且x<5,這樣的數(shù)有:0,1,2,3,4,;∴該集合用列舉法表示為:{0,1,2,3,4}.故選B.9.已知兩直線y=2x與x+y+a=0相交于點A(1,b),則點A到直線ax+by+3=0的距離為
(A)
(B)
(C)
4
(D)
參考答案:B10.在等差數(shù)列{an}中,若a4+a6=12,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,則S9的值為A.48 B.54 C.60 D.66參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)=在上的最大值和最小值的差為1,則a=
.參考答案:12.給出下列四個命題:①若f(x)是定義在[﹣1,1]上的偶函數(shù),且在[﹣1,0]上是增函數(shù),,則f(sinθ)>f(cosθ);②若銳角α,β滿足cosα>sinβ,則α+β<;③已知扇形的半徑為R,面積為2R2,則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)為4;④f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=sin2x+cosx,則.其中真命題的序號為.參考答案:②③④【考點】命題的真假判斷與應(yīng)用.【分析】(1)由已知可得函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞減,結(jié)合,可知0<cosθ<sinθ<1,從而可判斷(1)(2)由銳角α,β滿足cosα>sinβ可得sin()>sinβ,則有,則可判斷(2)(3)由扇形的面積公式和弧度數(shù)公式進行求解判斷(4)根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),故可判斷(4)【解答】解:(1)由函數(shù)f(x)是定義在[﹣1,1]上的偶函數(shù),且在[﹣1,0]上是增函數(shù),可得函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞減,由,可得0<cosθ<sinθ<1,則f(sinθ)<f(cosθ),故①錯誤(2)由銳角α,β滿足cosα>sinβ可得sin()>sinβ,則有即,故②正確(3)設(shè)扇形的弧長為l,則扇形的面積S=lR=2R2,即l=4R,則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)α==4,故③正確,(4)∵f(x)為奇函數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)=sin2x+cosx,∴f(﹣)=﹣f()=﹣(sin+cos)=﹣(+)=﹣,故④正確,故答案為:②③④13.(5分)在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,直線CB1與平面BDD1B1所成的角的大小為
.參考答案:30°考點: 直線與平面所成的角.專題: 空間角.分析: 根據(jù)線面角的定義先確定∠B1OC為所求的線面角,即可得到結(jié)論.解答: 解:連接AC,BD,交于O,連接B1O,則AC⊥平面BDD1B1,則∠B1OC為直線CB1與平面BDD1B1所成的角,設(shè)正方體的棱長為1,則AC=,OC=,CB1=,∴sin∠B1OC==,∴∠B1OC=30°,故答案為:30°點評: 本題主要考查直線和平面所成角的求解,根據(jù)定義先求出線面角是解決本題的關(guān)鍵.14.已知函數(shù)的定義域為,則它的反函數(shù)定義域為
.
參考答案:[-2,1)15.若且,則=________.參考答案:【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得到,結(jié)合角的范圍得到由二倍角公式得到結(jié)果.【詳解】因為,,根據(jù)故得到,因為故得到故答案為:【點睛】這個題目考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用,以及二倍角公式,屬于基礎(chǔ)題.16.已知集合,,,則實數(shù)的取值范圍是________.參考答案:略17.已知三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直,且,,則點到平面的距離為
.參考答案:三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.在△ABC中,角A,B,C對應(yīng)的邊分別是a,b,c,且.(1)求角C;(2)若,求的取值范圍.參考答案:(1);(2).【分析】(1)依照條件形式,使用正弦定理化角為邊,再用余弦定理求出,從而得出角的值;(2)先利用余弦定理找出的關(guān)系,再利用基本不等式放縮,求出的取值范圍。詳解】(1)由及正弦定理得,,由余弦定理得,又,所以(2)由及,得,即所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,又,所以.【點睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形,以及利用基本不等式求等式條件下的取值范圍問題,第二問也可以采用正弦定理化邊為角,利用“同一法”求出的取值范圍。19.已知函數(shù).(1)當(dāng),時,求滿足的的值;(2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù).①存在,使得不等式有解,求實數(shù)k的取值范圍;②若函數(shù)滿足,若對任意且,不等式恒成立,求實數(shù)m的最大值.參考答案:解:(1)因為,,所以,化簡得,解得(舍)或,所以.(2)因為是奇函數(shù),所以,所以,化簡變形得:,要使上式對任意的成立,則且,解得:或,因為的定義域是,所以舍去,所以,,所以.①對任意,,有:,因為,所以,所以,因此在上遞增,因為,所以,即在時有解,當(dāng)時,,所以.②因為,所以,所以,不等式恒成立,即,令,,則在時恒成立,因為,由基本不等式可得:,當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立,所以,則實數(shù)的最大值為.
20.(8分)已知函數(shù)f(x)=是定義在(﹣1,1)上的奇函數(shù),且f()=(1)求實數(shù)m,n的值(2)用定義證明f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù).參考答案:考點: 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明;函數(shù)奇偶性的性質(zhì).專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: (1)奇函數(shù)在原點有定義時,f(0)=0,從而可求得n=0,而由可求出m;(2)根據(jù)增函數(shù)的定義,設(shè)x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2,通過作差的方法證明f(x1)<f(x2)即可.解答: (1)∵f(x)為(﹣1,1)上的奇函數(shù)∴f(0)=0;∴n=0;∵;∴;∴m=1;(2)f(x)=;設(shè)x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2,則:=;∵x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2;∴x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0;∴f(x1)<f(x2);∴f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù).點評: 考查奇函數(shù)的定義,以及根據(jù)增函數(shù)的定義證明函數(shù)為增函數(shù)的方法與過程.21.函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞)且對一切x>0,y>0,都有=f(x)﹣f(y),當(dāng)x>1時,有f(x)>0.(1)求f(1)的值;(2)判斷f(x)的單調(diào)性并證明;(3)若f(6)=1,解不等式f(x+5)﹣f.參考答案:【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用;函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明;函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).【分析】(1)由條件只要令x=y=1,即可得到f(1)=0;(2)令0<x1<x2,則>1,當(dāng)x>1時,有f(x)>0.f()>0,再由條件即可得到單調(diào)性;(3)由f(6)=1,求出f(36)=2f(6)=2,f(x+5)﹣f即f<f(36),再運用單調(diào)性,即可得到不等式,解出即可.【解答】解:(1)∵對一切x>0,y>0,都有=f(x)﹣f(y),∴令x=y=1.則f(1)=f(1)﹣f(1)=0;(2)f(x)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù).理由如下:令0<x1<x2,則>1,當(dāng)x>1時,有f(x)>0.∴f()>0,即f(x2)﹣f(x1)>0,即f(x2)>f(x1),則f(x)在定義域(0,+∞)上遞增;(3)若f(6)=1,則f(6)=f()=f(36)﹣f(6),f(36)=2f(6)=2,∴f(x+5)﹣f即f<f(36),∵f(x)在定義域(0,+∞)上是增函數(shù),∴0<x(x+5)<36,∴x>0且﹣9<x<4,∴0<x<4.故原不等式的解集為(0,4).【點評】本題考查抽象函數(shù)及運用,考查函數(shù)的單調(diào)性的證明,以及單調(diào)性的運用,注意定義域,考查解決抽象函數(shù)的常用方法:賦值法,屬于中檔題.22.(本小題滿分13分)2012年3月2日,國家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的《環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)》.其中規(guī)定:居民區(qū)中的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米,PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米.某城市環(huán)保部門隨機抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時平均濃度的監(jiān)測數(shù)據(jù),數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下:組別PM2.5(微克/立方米)頻數(shù)(天)頻率第一組(0,15]40.1第二組(15,30]12第三組(30,45]80.2第四組(45,60]80.2第五組(60,75]0.1第六組(75,90)40.1(Ⅰ)試確定的值,并寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)(不必寫出計算過程);(Ⅱ)完成相應(yīng)的頻率分布直方圖.(Ⅲ)求出樣本的平均數(shù),并根據(jù)樣本
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