北京沙嶺中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

北京沙嶺中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）（2013?長寧區(qū)一模）函數(shù)y=，x∈（﹣π，0）∪（0，π）的圖象可能是下列圖象中的（）A．B．C．D．參考答案：考點(diǎn)：函數(shù)的圖象．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：根據(jù)三角函數(shù)圖象及其性質(zhì)，利用排除法即可．解答：∵是偶函數(shù)，排除A，當(dāng)x=2時(shí)，，排除C，當(dāng)時(shí)，，排除B、C，故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象問題，注意利用函數(shù)圖象的寄偶性及特殊點(diǎn)來判斷．2.已知，若是的充分不必要條件，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：D3.若x，y滿足約束條件，則z=3x﹣y的最小值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2參考答案：B【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，化z=3x﹣y為y=3x﹣z，由圖可知，當(dāng)直線y=3x﹣z過A（0，4）時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最小值．∴zmax=3×0﹣4=﹣4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．4.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，（m為常數(shù)），則的值為（

）A．4

B．－4

C．6

D．－6參考答案：B5.已知集合M=|x|2x﹣3＜1|，集合N=|x|﹣1＜x＜3|，則M∩N=(

) A．M B．N C．|x|﹣1＜x＜2| D．|x|x＜3|參考答案：C考點(diǎn)：交集及其運(yùn)算．專題：集合．分析：求出M中不等式的解集確定出M，找出M與N的交集即可．解答： 解：由M中不等式解得：x＜2，即M={x|x＜2}，∵N={x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N={x|﹣1＜x＜2}，故選：C．點(diǎn)評(píng)：此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．6.在等比數(shù)列{an}中，a4＝4，則a2·a6等于()．A．4

B．8

C．16

D．32參考答案：C7.已知某幾何體的三視圖如圖（正視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出數(shù)據(jù)，這個(gè)幾何體的體積是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A

8.已知函數(shù)與圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C9.已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝-2x上，則sin2θ＝()A．－

B．

C．－或

D．參考答案：A10.等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前8項(xiàng)和等于

（

）A．6

B．5

C．4

D．3參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示：正方體中，異面直線與所成角的大小等于．參考答案：12.拋物線的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF為等邊三角形，則p＝

.參考答案：試題分析:拋物線的準(zhǔn)線方程為,設(shè)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,由雙曲線方程可知,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.由等邊三角形的特征可知,即,可得.故答案應(yīng)填.考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)；2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).【思路點(diǎn)晴】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì),雙曲性的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).本題的關(guān)鍵是找出關(guān)于的方程.將拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線結(jié)合,又轉(zhuǎn)化為直線與雙曲線的位置關(guān)系的問題.(對(duì)于直線與雙曲線(圓錐曲線)的位置關(guān)系.常用到設(shè)而不求的數(shù)學(xué)思想方法,即假設(shè)直線與雙曲線(圓錐曲線)的交點(diǎn)坐標(biāo),利用韋達(dá)定理,弦長公式來構(gòu)造等式).再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,利用等邊三角形的牲征得出關(guān)于的方程.13.已知為虛數(shù)單位），則＝

．參考答案：14.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1=﹣2016，，則S2017=．參考答案：0【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】推導(dǎo)出{}是首項(xiàng)為﹣2016，公差為1的等差數(shù)列，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵設(shè)等差數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn=An2+Bn，則=An+B，∴{}成等差數(shù)列．∵a1=﹣2016，，∴{}是首項(xiàng)為﹣2016，公差為1的等差數(shù)列，∴=﹣2016+2016×1=0，∴S2017=0．故答案為：0．15.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則x2+y2的最大值為．參考答案：13【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用；簡單線性規(guī)劃．【專題】計(jì)算題．【分析】先根據(jù)條件畫出可行域，z=x2+y2，再利用幾何意義求最值，只需求出可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最值，從而得到z最大值即可．【解答】解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，而z=x2+y2，表示可行域內(nèi)點(diǎn)到原點(diǎn)距離OP的平方，點(diǎn)P在黃色區(qū)域里運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P跑到點(diǎn)C時(shí)OP最大當(dāng)在點(diǎn)C（2，3）時(shí)，z最大，最大值為22+32=13，故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．解決時(shí)，首先要解決的問題是明白題目中目標(biāo)函數(shù)的意義．16.已知tanα=2，則=

．參考答案：【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，則==，故答案為：．17.已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列{an}中，若m，n∈N*，滿足，則的最小值為______．參考答案：1【分析】將寫成等比數(shù)列基本量和的形式，由可得；從而利用，根據(jù)基本不等式求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，則首項(xiàng)由得：則：

則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）本題正確結(jié)果：1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且有(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，求的取值范圍.參考答案：(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，由已知

…①于是

…②由②－①得

……③于是

……④由④－③得

……⑤上式表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列.

4分又由①有，所以,由③有，，所以，．所以，.

8分(Ⅱ)數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對(duì)任意的成立．且．所以的取值范圍是

13分19.（13分）已知a∈R，函數(shù)f（x）=xln（﹣x）+（a﹣1）x．（Ⅰ）若f（x）在x=﹣e處取得極值，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的最大值g（a）．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【專題】綜合題．【分析】（I）先對(duì)函數(shù)y=f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，然后令導(dǎo)函數(shù)大于0（或小于0）求出x的范圍，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可得到答案．（II）先研究f（x）在區(qū)間上的單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)求解f（x）在區(qū)間上的最大值問題即可，故只要先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值即得．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=ln（﹣x）+a，由題意知x=﹣e時(shí)，f'（x）=0，即：f'（﹣e）=1+a=0，∴a=﹣1∴f（x）=xln（﹣x）﹣2x，f'（x）=ln（﹣x）﹣1令f'（x）=ln（﹣x）﹣1=0，可得x=﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＞0，可得x＜﹣e令f'（x）=ln（﹣x）﹣1＜0，可得﹣e＜x＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上是增函數(shù)，在（﹣e，0）上是減函數(shù)，（Ⅱ）f'（x）=ln（﹣x）+a，∵x∈，∴﹣x∈，∴l(xiāng)n（﹣x）∈，①若a≥1，則f'（x）=ln（﹣x）+a≥0恒成立，此時(shí)f（x）在上是增函數(shù)，fmax（x）=f（﹣e﹣1）=（2﹣a）e﹣1②若a≤﹣2，則f'（x）=ln（﹣x）+a≤0恒成立，此時(shí)f（x）在上是減函數(shù)，fmax（x）=f（﹣e2）=﹣（a+1）e2③若﹣2＜a＜1，則令f'（x）=ln（﹣x）+a=0可得x=﹣e﹣a∵f'（x）=ln（﹣x）+a是減函數(shù)，∴當(dāng)x＜﹣e﹣a時(shí)f'（x）＞0，當(dāng)x＞﹣e﹣a時(shí)f'（x）＜0∴f（x）在（﹣∞，﹣e）上左增右減，∴fmax（x）=f（﹣e﹣a）=e﹣a，（13分）綜上：（14分）【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，中檔題．20.已知函數(shù)．（I）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若y=xf（x）+的圖象總在直線y=a的上方，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）與的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，求實(shí)數(shù)m的值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；綜合題．【分析】（1）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，可求得單調(diào)區(qū)間．（2）將將函數(shù)f（x）的解析式代入，可將問題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)于x＞0恒成立，然后g（x）=lnx+后進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可得到函數(shù)g（x）的最小值，從而得到答案．（3）將函數(shù)f（x）與的圖象有公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為有解，再由y=lnx與在公共點(diǎn)（x0，y0）處的切線相同可得到同時(shí)成立，進(jìn)而可求出x0的值，從而得到m的值．【解答】解：（Ⅰ）可得．當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)e＜x時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)．（Ⅱ）依題意，轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)于x＞0恒成立令g（x）=lnx+，則g'（x）=當(dāng)x＞1時(shí)，因?yàn)間'（x）=＞0，g（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）是（0，1）上的減函數(shù)，所以g（x）的最小值是g（1）=1，從而a的取值范圍是（﹣∞，1）．（Ⅲ）轉(zhuǎn)化為，y=lnx與在公共點(diǎn)（x0，y0）處的切線相同由題意知∴解得：x0=1，或x0=﹣3（舍去），代入第一式，即有．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)之間的關(guān)系，即導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．21.（12分）如圖所示，在△ABC，已知,，AC邊上的中線,求：（1）BC的長度；

（2）的值。參考答案：22.已知幾何體A—BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．（1）求此幾何體的體積V的大小;（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；（3）試探究在DE上是否存在點(diǎn)Q，使得AQBQ并說明理由（一、二、五中必做，其它學(xué)校選做）.

參考答案：解析：（1）由該幾何體的三視圖知面,且EC=BC=AC=4，BD=1，∴∴．即該幾何體的體積V為16．

-----------3分（2）解法1:過點(diǎn)B作BF//ED交EC于F，連結(jié)AF，則∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角．-------5分在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．∴．即異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．------------------------------------------7分解法2：以C為原點(diǎn)，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）∴，∴

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為．（3）解法1:在DE上存在點(diǎn)Q，使得AQBQ.--------------------------------------------------8分取BC中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OQ⊥DE于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q滿足題設(shè).連結(jié)EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中∵

∴∽

∴∵

∴

∴．-----------------10分∵,∴