數(shù)學(xué)物理方法

《數(shù)學(xué)物理方法》

（MethodsofMathematical

Physics）

《數(shù)學(xué)物理方法》是物理類及光電子類本科專業(yè)學(xué)生必修的重要

基礎(chǔ)課，是在《高等數(shù)學(xué)》課程基礎(chǔ)上的一門重要的應(yīng)用數(shù)學(xué)類課程,

為專業(yè)課程的深入學(xué)習(xí)提供所需的數(shù)學(xué)方法及工具。

課程內(nèi)容：復(fù)變函數(shù)（18學(xué)時(shí)），付氏變換（20學(xué)時(shí)），

數(shù)理方程（26學(xué)時(shí)）

第一篇復(fù)變函數(shù)（38學(xué)時(shí)）

緒論

第一章復(fù)變函數(shù)基本知識(shí)4學(xué)時(shí)

第二章復(fù)變函數(shù)微分4學(xué)時(shí)

第三章復(fù)變函數(shù)積分4學(xué)時(shí)

第四章塞級(jí)數(shù)4學(xué)時(shí)

第五章留數(shù)定理及應(yīng)用簡(jiǎn)介2學(xué)時(shí)

第六章付里葉級(jí)數(shù)

第七章付里葉變換

第八章拉普拉斯變換

第二篇數(shù)學(xué)物理方程（26學(xué)時(shí)）

第九章數(shù)理方程的預(yù)備知識(shí)

第十章偏微分方程常見形式

第十一章偏微分方程的應(yīng)用

緒論

含義

使用數(shù)學(xué)的物理——（數(shù)學(xué)）物理

物理學(xué)中的數(shù)學(xué)——（應(yīng)用）數(shù)學(xué)

MathematicalPhysics

方程

X=\

X2=1

a{x+bxy-cl

a2x+b2y=c2

dx/\

—=a(t)

dt''

xdt-

常微分方程

<72

ax2

---9--coX二0

(dt)

xAcos{cot+C)

偏微分方程——數(shù)學(xué)物理方程

dy/dy/dy/

?dy2dz2)

〃=〃(x,y,z)

h2d2y/'

22++U(x,y,z

dt2m[dxdy為2,

W=W(x,y,z")

復(fù)數(shù)

i.數(shù)的概念的擴(kuò)充

正整數(shù)(自然數(shù))1,2,-??

運(yùn)算規(guī)則+,一,X,土,()2,一

-1—2=—1

負(fù)數(shù)0,-1,-2,

整數(shù)…，-2,-1,0,1,2,…

-=0.5!=0.333…

?23

有理數(shù)(分?jǐn)?shù))整數(shù)、有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)

?行=1.414…

無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)

實(shí)數(shù)有理數(shù)、無(wú)理數(shù)

V—1=/

虛數(shù)”

復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)、虛數(shù)、實(shí)數(shù)+虛數(shù)X，V，X+yi

2.負(fù)數(shù)的運(yùn)算符號(hào)

X2=—1

X=+Z

J—1

1虛數(shù)單位，作為運(yùn)算符號(hào)。

3.作為方程的解

ax2+bx+c=0

-b±\b2-4ac

x二-------------------------(20)

2ab-4ac>

-b±i(b2-4rzc)

X—(b2-4acY0)

2a

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算的需要——數(shù)系的完備性、自洽性

5.物理學(xué)的需要——平面矢量、二維數(shù)組

第一章復(fù)變函數(shù)基本知識(shí)4學(xué)時(shí)

復(fù)數(shù)表示

z-x+iy

三角式z=pcoscp+ipsincp

icp

指用將數(shù)士式z-Lpe

幾何意義

運(yùn)算規(guī)則

復(fù)變函數(shù)

?=/(z)

z=x+iy

w=u+iv

z—p-ei(P

yv-reiO

u=w(x,y)

v=v(x,歹)

(x,y)<-->(〃，v)

常用初等復(fù)變函數(shù)

指數(shù)函數(shù)

三角函數(shù)

雙曲函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

根式函數(shù)

反三角函數(shù)

塞函數(shù)

一般指數(shù)函數(shù)

第二章復(fù)變函數(shù)微分4學(xué)時(shí)

復(fù)變函數(shù)的極限

lim/(z)=A

ZfZ。

復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性

lim/(2)=/(z0)

z->z。

lim〃(x,y)=〃(Xo,J。)

Jx4->Xo，No

limv(x,j/)=Mx。，孔)

IXJfXo，Vo

復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

加二lim/UGO)

dzzfZoz-ZQ

解析函數(shù)

在z。點(diǎn)，及其某一鄰域內(nèi)的每一點(diǎn)可導(dǎo)。

在D區(qū)域，處處可導(dǎo)。

連續(xù)、可導(dǎo)、解析三者關(guān)系

在Z。點(diǎn)，如可導(dǎo)，則連續(xù)。

lim(/(z)-/(z()))=孚lim(z-zo)=O

Zfz()dzZfz()

lim/(z)-/(zo)=O

zfz()

在2。點(diǎn)，如解析，則可導(dǎo)。

即在Z。點(diǎn)，連續(xù)、可導(dǎo)、解析三個(gè)條件依次變強(qiáng)。

而在。區(qū)域，可導(dǎo)與解析等價(jià)。

柯西…黎曼方程

dudv

<dxdy

dudv

dydx

可導(dǎo)、解析、柯西…黎曼方程三者關(guān)系

可導(dǎo)的必要條件是跳，號(hào)，上￡存在且柯西…黎曼方程成

dxdydxdy

立。

可導(dǎo)的充分必要條件是已手，上學(xué)連續(xù)且柯西-黎曼方

dxdydxdy

程成立。

在D區(qū)域，解析的充分必要條件是矍，粵，已空連續(xù)

dxdydxdy

且柯西…黎曼方程成立。

條件M,品?連續(xù)

等價(jià)于

7du.du1

全微分du=—dxH--------dy,公存在

dxdydxdy

或稱

uv=v(x,y)處處可微

調(diào)和函數(shù)

，°2〃g2〃、

、SX2+Sy2,

共輒調(diào)和函數(shù)

"d2uda2u\

+=0

、2

dudv

dxdy

dudv

dydx

解析函數(shù)、調(diào)和函數(shù)、共朝調(diào)和函數(shù)三者關(guān)系

在。區(qū)域，如/(z)解析，

則〃=〃(x,y),v=v(x,y)調(diào)和，

從而丫與“共匏、〃與一丫共朝。

構(gòu)造解析函數(shù)

調(diào)和函數(shù)+柯西―黎曼方程f解析函數(shù)

常用初等復(fù)變函數(shù)具有解析性

第三章復(fù)變函數(shù)積分4學(xué)時(shí)

復(fù)變函數(shù)的積分

z=x+iy

/(Z)=Z/+ZV

C:y=y(x)

jf(z)dz=\{udx-vdy}-￥i\{udy+vdx)

ccc

z=pel(p

/(z)=reie

c：p=P3

J/(z)dz—\rel^e+(p^dp+i\rpel^e+(p^d(p

ccc

復(fù)變函數(shù)可積條件

充分條件/(z)沿曲線C連續(xù)

必要條件/(z)沿曲線C有界

柯西積分定理

如/(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，

C為D內(nèi)任一周線，則

步(z)dz=O

C

推論

解析函數(shù)積分與路徑無(wú)關(guān)

J/(2)dz=J/(z)dz

C\C2

如/(z)在單連通區(qū)域D的邊界r(分段光滑)上連續(xù)，則

(z)dz=0

r

對(duì)多連通區(qū)域的邊界「=「0++?…，亦有

/（Z）dz=o

r

可表示為

"(2比=",狂+"(2達(dá)+…

「0『1「2

z

對(duì)。內(nèi)任一點(diǎn)o，有

柯西積分公式

/（Zo）=勺'（z）dz

Z7TIZ-ZQ

推論

設(shè)C為簡(jiǎn)單閉曲線，D為C的外部區(qū)域，/（8）=0。

如Z0在。內(nèi)，則

/(z())=dz

Z7TI；Z—Z0

11l^-dz

+

Z7TiZ7ri'J7—Z

C-'z-Z0cJz0

1^-dz

+/(°°)

IZ-z

Z7riC,L。

1g~dz

z/cic_|z—ZQ

如2。不在。內(nèi)，則

上,,/(z)dz=0

zniz-ZQ

dz=0

z/rizC-zunz/riC/sz-zuQ

1i^-dz

+/(°°)=0

z7iicz-z°

1i^-dz

=0

z/ric-\z—z0

第四章塞級(jí)數(shù)4學(xué)時(shí)

4—1復(fù)級(jí)數(shù)

00

復(fù)級(jí)數(shù)

k=l

oo

Z=fZk

復(fù)級(jí)數(shù)的收斂

k=\

00

Z,=Z

復(fù)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂Y\k

k=\

復(fù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件lim2"°

《一》00

00

復(fù)級(jí)數(shù)收斂的充分條件Sh收斂

k=l

復(fù)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件

n-\-p

￡Zk

1對(duì)任意小￡,有N；當(dāng)n>N,Y￡

k=n+\

0000

22乙、2九收斂

k=lk=l

00

復(fù)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的必要條件Zk收斂

k=l

0000

復(fù)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的充分必要條件收斂

k=lk=\

4—2復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)

00

復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)XA（z）

k=l

00

復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)的收斂在Zo點(diǎn)/（z）=EA（z）

k=l

對(duì)任意小￡,有N（與Z。點(diǎn)有關(guān)）；當(dāng)n>N,

S/⑺-/⑺Y￡

k=\

復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)的一致收斂在。區(qū)域

對(duì)任意小￡,有N（與z。點(diǎn)無(wú)關(guān)）；當(dāng)n>N,

E/'（z）―/（z）Y￡

k=\

復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)一致收斂的充分必要條件

對(duì)任意小￡,有N（與z。點(diǎn)無(wú)關(guān)）；當(dāng)n>N,

n+p

E九G）Y￡

k=n+1

復(fù)函數(shù)級(jí)數(shù)基本性質(zhì)

00

如左，且收斂

k=\

oo

則Z/（z）在D區(qū)域絕對(duì)且一致收斂

k=\

在D區(qū)域,

00

如九(2)連續(xù)，且￡fk(z)一致收斂

k=l

則/(z)連續(xù)

沿c曲線，

00

如人(？)連續(xù)，且2九Q)一致收斂

k=l

00

則』/(zHz=Z/九(z*

C左=1c

在D區(qū)域，

00

且EfkG)

如fk(z)解析，一致收斂

則[(Z)解析

00

/(〃()=￡小(z)

k=1

常用級(jí)數(shù)

oo1oo1001001

y—y-

￡In左k

k=lak=lK!

￡00k\n1Pk

夕A1收斂夕W1發(fā)散

co1

y—

￡kp夕81收斂p￡1發(fā)散

00sink

z〃A°收斂

k=\

00cosk

2尸0收斂

zp

k=\k

4—3復(fù)幕級(jí)數(shù)

00

Eckzk

k=l

在zY7?收斂

在z<r<R絕對(duì)一致收斂

收斂半徑

c卜

Rn=lim----------

kTBc

ck+\

RlimC

kTgk

R=0,7?0,+oo

級(jí)數(shù)收斂判別法

zk+\

k+ik—Y1收斂

ckz

4—4嘉級(jí)數(shù)展開

對(duì)/(z),如Zo非奇點(diǎn)，在Z—Z。YR

Taylor級(jí)數(shù)

/(z)=￡色4(z-z°y

k=ok\

對(duì)/(z),如z0孤立奇點(diǎn)，在〃Y|Z-ZO|YA

Laurent級(jí)數(shù)

/(z)=Xa(z-z0)

攵=-00

對(duì)/(z),如zo非奇點(diǎn)

左＞o時(shí)，由柯西積分公式

/(%)(z°)=左!八d—△三)―dz

2711?(z-z。尸

=_Lj《)”J—

2加?(？-zj+i6k!

4Y0時(shí)，由解析函數(shù)性質(zhì)

4—5幕級(jí)數(shù)求和

00

E4(Z-z0y=/(z)

攵=0

第五章留數(shù)定理及應(yīng)用簡(jiǎn)介2學(xué)時(shí)

留數(shù)定義

/（Z）解析，。Y|Z-ZO|YR

zo孤立奇點(diǎn)，

C：|z-z0|=r^7?

00k

/（z）=E%（2-20）

左二-00

Res/（z（））=Ji

=f/（z）dz

2.711

/（Z）解析，RY忖Y+8

8孤立奇點(diǎn)，

C：RYz=yY+oo

8k

〃2)=E%(z)

k=-g

Res/(oo)=-c_x

=I/(2)dz

27iic一

留數(shù)定理

r周線

D包圍區(qū)域

Zk奇點(diǎn)

n1

￡RUS/(ZJ=丁，/(2)dz

k=i2卯區(qū)

Z&sf(zk)+Res/(oo)=0

k=l

留數(shù)計(jì)算

留數(shù)理論應(yīng)用

第六章付里葉級(jí)數(shù)

6—1付里葉（Fourier）級(jí)數(shù)（復(fù)數(shù)形式）

00K

/(z)=工CkZ

左二-oo

D：l-￡=rYzY7?=1+E

ie

令ze

夕=1,O<0<2TT

00ikO

e

則g?)=E

k=-8

*

如g?)=g?)

ik0

而是區(qū)間o?e?2?上的正交完備函數(shù)族

12萬(wàn)-ikO

jge)edO

故4一斤

0

*

co~co

從而

00ikO

g(e)=E。卜

k=s

0000

=c0+Z/(cosA：e+，sin《e)+Zck(coskO-isinkd)

k=Tk=l

=/+￡(，+，］coskHif(，-/*)sink。

k=lk=l

0000

=4+Z4coske+f1b卜sin左9

k=lk=l

令g(e+2〃)=g(e)

可將g(e)解析開拓到區(qū)間一OOYOY+OO

ck=Ak+iBk

*

ck=4一4

*

ak=ck+ck=2Ak

4=L-。/}二-2心

12〃

ao=-Jge)de

0

124(-ikOikO\

akjg⑻e+ede

2?7

一Jg(e)coskede

710

?2萬(wàn)

bk=±jg?)(-ikeiko\

e-edO

乙〃o\J

=一jg(e)sink6d3

71o

6—2付里葉級(jí)數(shù)（實(shí)數(shù)形式）

00個(gè)

g?）=%+Zwcosk0+Z為sin左。

k=ik={

[2%

。。二01g⑻de

乙兒0

[2%

%=jg（。）cos"de

兀0

[2%

bk=jg（。）sinkOd6

兀o

e=—%

令/

Q<0<2TTQ<x<21

-7C<0<+n-/<X<+/

F（x）=g?）=/（z）

00萬(wàn)00

F（x）=g+工4cosk-x+工人smk-x

k=\Ik=\

3dx

1

cosk-xdx

b=1

ksink-xdx

A.7

付里葉級(jí)數(shù)收斂充分條件

------Dirichlet定理

—/VX?+1

尸G）連續(xù)有限個(gè)極值點(diǎn)Xk

不連續(xù)有限個(gè)間斷點(diǎn)Xk

尸（乙）=「（乙-。）+/（…0）

2

-ooYxY+oc

F（x+2/）=F（x）

則F（x）可展為

00兀00

cos左一x+Ebk

樂）=%+ak1sink-x

Ek=TIk=i

付里葉級(jí)數(shù)收斂充分條件(嚴(yán)格)

-I<X<+1

尸(X)連續(xù)絕對(duì)可積

-00YXY+00

斤(x+2/)=F(x)

例題

~71<X<+71

碎…

X

例題

產(chǎn)(x)=，g[g_x

例題

-I<X<+1

8—斗

8—0

0J

Q

8+T5j

A2Zn

-I-y-ro-7

叫二wo

X

7

Af9UTS=X—UTS=-UTS=(X)^

,I,

常用付里葉級(jí)數(shù)

正弦波（奇）

00-

&）=E4sin左一x

k=iI

余弦波（偶）

00兀

F（x）=cosk一x

k=TI

鋸齒波

F\x）-x

F（x）=紋fcarsin/

兀k-\kI

矩形波（奇）

F（x）=—V---sin（2??-l）—x

7rM2n-lI

三角波（奇）

2a

-(x+I)

I

2a

+---------X

尸G)=,/

2a

+---------X

/

2a

[I-(x-1)

mv*(-D"+1

F(x)=%斫F皿2〃-叩

三角波(偶)

2a

F(x)=\，—X

2a

+——

II—X

/\Cl16t7

“—2)2c044"2)J

網(wǎng)X)-2(A

27i〃=i(4

半波整流

f0

V

[%sincot

00]

V；——cosIncot

71271￡1-(2油

全波整流

P[-sincot

1+VQsincot

"2%%$1「

V=——-H----->———cosIncot

兀萬(wàn)W1—（2為）

付里葉級(jí)數(shù)的頻譜

0000

F（t）=%+￡akcos左"+Z4sin左。

k=lk=L

2nn

Y-f3=-----二一

*一°TI

W、4?k①、k

通常為，4一。

白噪聲Qk、bk?常數(shù)

付里葉級(jí)數(shù)的積分

如尸（X）分段連續(xù)—14x4+1

00萬(wàn)00兀

小）=Eakcosk—x+Zdsin左一x

k=\Ik=\I

00兀乃、

cos左x+b,sin"x

zk

k=l\II)

則

X

jF(x)dx

—/

+/

1jxF(x)dx

2/-i

00JlJI

asin左一x+4cos左——X

k)

k=lkAl/

或者

0000

71

F(x)=g+2%cos/7c—x+￡bksmk-x

k-\k=l

00兀\

7兀7

=4+ZCOSK—X+asinA:—x

k=\\I)

F(x)dx

007

=%(x+/)+g(-1)小

00

+zas\nk—x+bcosk—x

kk)

k=lk兀

付里葉級(jí)數(shù)的微分

如F（x）連續(xù)-14x4+1

尸'（、）絕對(duì)連續(xù)

00冗.JI

/國(guó)=。0+工/cosk—x+Edsin^—x

k=\1k=l1

=/+z

akcos左一x+bk

則

八(x)

-I

+￡佇仇+(-琰先生與os/_但小in/x

如F(/)-F(-/)=0

k兀(1,71.71

產(chǎn)r

(x)=Zbkcos左一x-aksin左一x

k=\II)

有限區(qū)間上的付里葉級(jí)數(shù)——解析延拓

尸(X)0<X<+/

平移延拓

產(chǎn)(％+/)=尸(%)T一00YXY+00

奇延拓

F(-x)=-F(x)T=21-QOYxY4-00

偶延拓

F(-x)=F(x)T-21-ooYxY+oo

第七章付里葉積分

7—1b函數(shù)

廣義函數(shù)

定義

+oo

5(x)={x=0

0xw0

+oo

j”x)

dx=1

—00

性質(zhì)

+00x—

(x-x0)={

0XWX。

+co

j(x-x)

0dx=1

—00

5&X)=(x-x0)

+oo

/Go)

J3(^x-xQ)/(x)dx=

-00

表示

1sinkx

5(X)=lim

k—>+oo71X

+8

1

3G)=f/xdco

2乃_1

物理意義

力學(xué)質(zhì)點(diǎn)

2=/“x)

M=J4-oo2d/=+JoomB(x)dx=m

—00—00

電學(xué)點(diǎn)電荷

2=q"x)

Q=4-Joo2dl=+ooJ05G)dx=q

—00—00

光學(xué)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)

/，(『)=/?(x)0/(x)

/，(/)=+0J0h{x'-x)/(x)dx

—00

〃(x)=5(x)

/，(x，)=+oJo“x-x，)/(x)dx=I(/)

—00

7—2付里葉積分

00ikO

g(e)=E。卜

A=-00

-ikO

de

JF(X)=%+￡akcos左一x+￡4smk-x

k=\Ik=\I

"')=Ib(。)ecicoxdco

(2萬(wàn))/2.00

[+oo

/(x)-icoxdx

付里葉變換

f[/(')]=F(①)

F7恒(口)]=/(x)

常用函數(shù)的付里葉變換

1S函數(shù)

1

5（X）=elC0xdco

（2萬(wàn)聲

dco

—00

dco

(2%)/2_00

_]

(2萬(wàn))%

即

2Gauss函數(shù)

-

-ar2_1

FLJ（2a戶

3常數(shù)函數(shù)

1

/G）=-00<X<00

F1=（2萬(wàn)）％5（啰）

4框形函數(shù)

/（x）=l-b<x<b

12'%sinb①

F1=--------

?|_J\兀）co

付里葉變換主要性質(zhì)

線性性質(zhì)

位移性質(zhì)

相似性質(zhì)

微分性質(zhì)

積分性質(zhì)

卷積定理（convolutiontheorem）

定義

+oo

/(x)0g(x)=J/(x-x)g(x)dX

—00

結(jié)論

4-oo

產(chǎn)(O)(8)G(G)=jF{co-Q)G(Q)dQ

—00

F[/(x)s)g(x)]=(2萬(wàn)戶尸(O)G(L)

F(2〃)%/(x)g(x)=F(co)區(qū)G(G)

乘積定理

能量性質(zhì)

相關(guān)函數(shù)

+00

為2（C）=J工”）力（，+「）出

互相關(guān)函數(shù)

+00

R(z)=J/(0/"+「)dt

自相關(guān)函數(shù)

—00

+oo

7?G)=j|F(^J2eicorda)

—00

第八章拉普拉斯變換

1cr+zoo

/（，）=?s)ds

2Tli

4-oo

產(chǎn)(s)=JfQ)e-stdt

o

g(%)=fg，

F國(guó)(九。)]=G(0,b)

S=O'+i(D

F[g(/)]=G(s)

尸[G(s)]=g(/)

拉普拉斯(Laplace)變換

t[/C)]=尸(s)

「U(s)]=/O)

/C)—g。)—G(S)—F(s)

第二篇數(shù)學(xué)物理方程（26學(xué)時(shí)）

第九章數(shù)理方程的預(yù)備知識(shí)

9-1常微分方程

常微分方程

y=Mx)

y=Q(X)

yff=MH

a[x}y"+b(x)yr+c(x)y+d(x)=0

ax(x)y'+(x)y+cx(x)z+dx(x)=0

a?(x)z'+b2(x)y+c2(x)z+d2(x)=0

(y")2=a[x}

定解條件

y=q(x)

-二4(X)

dx

dy=a(x)dx

y=Ja[x}dx

a(x)=x

y=—x2+C

2

V=X

?/V./VfA

_12

rC=K~~xo

?Y/V—?Y/V/AVo

x

如X表示坐標(biāo)，稱邊界條件，通常o取區(qū)間邊界。

x

如X表示時(shí)間，稱初始條件，通常o取時(shí)間零點(diǎn)。

偏微分方程

〃=夕(x,y,Z

(do2i//od2y/od2y/、

、dx2dy2dz2)

\J/

9-2二階常微分方程的級(jí)數(shù)解法

y'+P[x}y+Q(x)y=Q

00J

y(x)=￡CkX

k=0

>=Co%(x)+cg(x)

微分方程的解析解、級(jí)數(shù)解、數(shù)值解

例題勒讓德(Legendre)方程

(1-x2^y"-2xyr+/(/+l)y=0

〃2xr

yy+

-^”1-X尸。

00

y(x)=ZCkx

k=0

OO7I3k

y(x)=tkCkX=￡(左+1)%1x

k-Qk=0

oo1Qa)i

y(x)=Z(田依Thx迂(左+2)優(yōu)+1)%2X

k=0k=Q

00

￡Ckx=0

k=0

C.=0

ft

9-3本征值問題

Sturm-Liouville方程

且H、)包—g(x)y+初(x)y=。

dx|_dx

算符

L=--k[x}—+^(x)

dx[_dx]

本征方程

Ly=2p(x)y

本征值4

本征函數(shù)?。?/p>

Sturm-Liouville方程的常見形式

簡(jiǎn)諧方程

d[dy卜?=00Y尤Y1

dx\_dx_

貝賽爾方程

ddy冽2

-Xy+3=o0Y無(wú)Ya

dx|_dx_

球貝賽爾方程

ddy

—x2——1(/+l)y+人=0Oy尤Ya

dx\_dx_

勒讓德方程

/J

+TV"1

連帶勒讓德方程

4(i-^2浦-百乎+辦"

dx|_

—1YXY1

邊界條件

齊次邊界條件

力1＞（。）+42歹'（。）=。

f

B2y（b）=0

周期邊界條件

V（。）|=26）

，（。）|=

自然邊界條件

加（。）YM

B3）YM

本征值問題=本征方程+邊界條件

Sturm-Liouville本征值問題的主要結(jié)果

條件

左（X）

夕（x）

結(jié)果

1.本征值存在實(shí)數(shù)

2>0

lim4=+oo

左一>8

3.如齊次邊界條件

乙、本征函數(shù)

本征值對(duì)應(yīng)

》左（1）有k個(gè)零點(diǎn)

QYXYb

4.如周期邊界條件

一個(gè)本征值可與多個(gè)本征函數(shù)對(duì)應(yīng)一一即簡(jiǎn)并

%(%)a<x<b構(gòu)成正交完備函數(shù)系，即

00

，(x)=2%以(X)

k=Q

2^0

444°B{B2>0

2=0Vo(x)=l

6.2連續(xù)

第十章偏微分方程常見形式

偏微分方程數(shù)學(xué)物理方程

10-1物理形式

拉普拉斯方程(Laplace)

U=〃(X,>,Z)

，會(huì)2Q2久2、

OUOUOU八

-r+-r+—r=0

22

<dxdydz?

波動(dòng)方程

U=W(X,J,Z,/)

d2U2(合2〃合2〃,

22

dtQyQzJ

傳導(dǎo)方程

u=〃(x,y,z,『)

222

du2(Sududu'

22

dt(S/QyQzJ

薛定謂方程(Schrodinger)

▼=i/z(x,y,z,t)

dy/_h1(d2y/Oo2〃、

ih+叫H----------+U(x,y,z

2辦22

dt2mIdxdz?

麥克斯韋電磁波方程（Maxwell）

。2￡182E_

dt2￡udx2

d2H1d2H_

dt2￡udx2

10-2數(shù)學(xué)形式

10-3基本例題

1.uu(x,y)

du

=/(%)

dy

2.u=u(x,y)

:0

dxdy

u-〃(x,y,z)

々2、

(ao?uoa2uou八

—r+r+-r=。

22

I、dxJdydzz)

Au-0

4.U=〃(X)

d2u

=0

5.u=〃(x)

d2u

=0

u-〃(r,e,o)

Az/=0

7.u=u(y)

u-

(o2G2為2、

du2cucucu

------Cl------7H---------大H---------z--0

22

dt(\dxdJydz/)

9.行波法

U-U(X,/)

-00YXY+00

du2S2u八

------a--=0

dtdx2

io.行波法

〃二〃(x")0<x<Z

du?

-----a2--=0

dtdx2

n.分離變量法

兩端固定的弦

U-U（X"）0<x</

du八

------a2--=0

dtdx2

設(shè)"X(x)丁(0

X〃(x)_T”(t)

X(x)-a2Tm

〃x)=g(，)

設(shè)/(x)=g(，)=c(x，。

Ac(x,z)=A/(x)=Ag(z)=o

故c(x1)=c為與x/無(wú)關(guān)的常數(shù)

設(shè)c=-A

X"(x)+2X(x)=0

廣⑺+八丁⑺二。

當(dāng)2>0

(、2

\Y171\

2=

且H=1,2,…

7

方程有非零解

Xw(x)=c2sin72—x

U

n=X〃(%)Tn(/)

un=Tn(/)sinnyx

0000兀

〃=Z%=Z，⑺sin〃L

n=\n-\"

co

7n71

=%+zcost—X+sinfcx

k-\\1J

第十一章偏微分方程的應(yīng)用

例題1薛定謂方程一氫原子中的電子

例題2波動(dòng)方程一導(dǎo)體空腔中的電磁波

偏微方程

分離變量

本征方程

級(jí)數(shù)解法

定解條件

特殊函數(shù)

1微觀粒子

1926薛定娉波動(dòng)力學(xué)

1926年，奧地利理論物理學(xué)家薛定愕(Erwin

Schrodinger,1887~1961)提出了描述物質(zhì)波連續(xù)時(shí)空演化的偏微分方程一

一薛定愕方程，給出了量子論的另?個(gè)數(shù)學(xué)描述——波動(dòng)力學(xué)。后來(lái)，物理

學(xué)家把二者將矩陣力學(xué)與波動(dòng)力學(xué)統(tǒng)一起來(lái)，統(tǒng)稱量子力學(xué)。

狀態(tài)函數(shù)

〃=〃(x,y,Z")

薛定謂方程

-+分7+力+如了*'

2〃—

dt2mIdx2dydz)

哈密頓算符

222

6(5aa)TT

H—十

2Mlsx-35y25z2J

~h-2

=--------V2+u

2m

-2=J72a2

12

dx2d)尸5z

含時(shí)薛定謂方程

小〃

irt----Hijj

dt

2氫原子中的電子

U=UQ)=_--

r

〃=wQ,9,(p,t)

物理算符

^=—(?-)+^[——(sin^41今一八

-?9]+C/(r)

2/TF2drdr2m^s^iddOdUsir?。明

=￡+—^y+U⑺

2m2mr

人2十2ie2e

Pr-h2as△)

roror

2

2)

I^=-h[——-—(sin0—)+^—--丁

sing9。d0sin26d(

c=-力￡

d(p

人d

L=-m——

7d(p

分離變量

〃=〃(/,e,o,。

〃=〃尸(j。，。)f(0

w=R⑺y(“。)f(t)

〃=R(r)0(/9)①(9)f(t)

〃尸=E（〃）y（e,。）

y（e#）=?（e）①（。）

本征方程

葉di//6

in——二Hw

dt

〃=〃尸（J。,。）f（0

ih」一血】=~^—Hy/-=E

fdt〃產(chǎn)

ih^-=Ef

dt

Hy/r=Ey/-

ih力=Ef

dt

.E,

f(t)=Ce~，T

Hyzr二E〃/本征方程一定態(tài)薛定謂方程

%=%（匕"。）=凡（"九電M

后〃尸=￡〃尸

〃尸=火（尸）丫（仇。）

人2T2

3+v^+U。)R(F)Y(a@)=ER(r)y(e，9)

2m2mr

人2刈4麗（仇叫

++t/(r)7?(r)=ER（〃）

2mr2y（a0

R(r)2丫(仇叫

R(a+U(y)R(4-ER(4

2m2mr2y(O,9)

廣丫（仇°）

2+2mr2(E-U(r))

R(4丫（仇。）

/憂R。

+2m1E—Ug)二蟹洋出

R(r)

22=/(/+1)力2

-r2p^R(r)+2mr2(￡-U(r))R(r)=l}R(r)

現(xiàn)(a9)=萬(wàn)丫(a⑴

Rr

A(〃)=m()

￡2y（e，9）=/（/+i）力2y（49）

y（e,9）=0（e）①（。）

dda2

一方[sin6(sin0）。（e）①（°）+。⑻①（朔

deeed(p2

=Z?sin2先)(夕)①(°)

+2sin。d/.八的、/2?2八廣1d?中

h----------(sin。——)+￡sm0--h---------=

刨6)d6dO①dd

dd&

力2sin0(sin。)+Z?sin2^刨9)=[6)(。)

d6de

?(e)=?加3)

①(6=^i=即9

方程通解

〃=憶如ga。）力⑺

w=&⑺〃(a。)力⑺

▼&G）。加（⑶①式9）工⑺

本征函數(shù)

_jEn(

f(t)=Ce"

A(〃)=Rnl(r)

y（a9）='（80）=。加3）①加（9）

①((p)=~^=eim(p

八"而

〃尸=〃〃加G，e，o)=r〃/G)4(8，。)

本征值

人

1.能量算符H

LE.

E=--”=1,2,…能量量子數(shù)

n

能量E確定

2.角動(dòng)量平方算符G

L=J/（/+1-/=0,1,…，〃一1角量子數(shù)

角動(dòng)量大?。鄞_定

人

3.角動(dòng)量分量算符Lz

Lz=m什m,=0,±l,---,±Z磁量子數(shù)

角動(dòng)量分量Lz確定

此夕卜

1①（9）=Lz①（9）

比①（°）二比①（0）

fz①（9）=Lz①（9）

工丫（a。）=￡/（a。）

乙乙（乙&。）=4%（心&。）

Lw（r,a（p,t）=Lw（ra（p,t）

個(gè)丫(4°)=Z？y(仇°)

￡2%（人49）=1}y/_（幾仇°）

Hy/-=Ey/-

人

Hy/-Ei//