二階常系數(shù)線性微分方程歐拉方程演示文稿

二階常系數(shù)線性微分方程歐拉方程演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)優(yōu)選二階常系數(shù)線性微分方程歐拉方程目前二頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)6.6.1二階常系數(shù)齊次線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)齊線性微分方程，即特征方程目前三頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為是方程(1)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，故方程(1)的通解為目前四頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為由求根公式目前五頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)由劉維爾公式求另一個(gè)解：于是，當(dāng)特征方程有重實(shí)根時(shí)，方程(1)的通解為目前六頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)二階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根：是方程(1)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，其通解為利用歐拉公式去掉表達(dá)式中虛數(shù)單位i。目前七頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)歐拉公式：由線性方程解的性質(zhì)：均為方程(1)的解，且它們是線性無(wú)關(guān)的：目前八頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)故當(dāng)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，原方程的通解可表示為目前九頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)二階常系數(shù)齊線性微分方程特征方程特征根通解形式目前十頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解目前十一頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解目前十二頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解故所求特解為目前十三頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解此時(shí)彈簧僅受到彈性恢復(fù)力f

的作用。求反映此彈突然放手，開(kāi)始拉長(zhǎng)，簧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（設(shè)其彈性系數(shù)為

k）。取x軸如如圖所示。由力學(xué)的虎克定理，有（恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反）由牛頓第二定律，得（略）目前十四頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)它能正確描述我們的問(wèn)題嗎？記拉長(zhǎng)后，突然放手的時(shí)刻為我們要找的規(guī)律是下列初值問(wèn)題的解：目前十五頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)從而，所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為簡(jiǎn)諧振動(dòng)目前十六頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)n階常系數(shù)齊線性微分方程形如的方程，稱為n階常系數(shù)齊線性微分方程，目前十七頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)n階常系數(shù)齊線性微分方程的特征方程為特征根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)目前十八頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解例6.50求下列方程的通解：解目前十九頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)故原方程的通解為故原方程的通解為目前二十頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)6.6.2二階常系數(shù)非齊線性微分方程形如的方程，稱為二階常系數(shù)非齊線性微分方程，它對(duì)應(yīng)的齊方程為我們只討論函數(shù)f(x)

的幾種簡(jiǎn)單情形下，(2)的特解。目前二十一頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)方程(2)對(duì)應(yīng)的齊方程(1)的特征方程及特征根為單根二重根一對(duì)共軛復(fù)根你認(rèn)為方程應(yīng)該有什么樣子的特解？目前二十二頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)假設(shè)方程有下列形式的特解：則代入方程(2)，得即方程(3)的系數(shù)與方程(2)的特征根有關(guān)。目前二十三頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)由方程(3)及多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:目前二十四頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:目前二十五頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)由多項(xiàng)式求導(dǎo)的特點(diǎn)可知，應(yīng)有方程(2)有下列形式的特解:目前二十六頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)定理1當(dāng)二階常系數(shù)非齊線性方程它有下列形式的特解：其中：

目前二十七頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為特征根為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為將它代入原方程，得目前二十八頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)比較兩邊同類項(xiàng)的系數(shù)，得故原方程有一特解為綜上所述，原方程的通解為目前二十九頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解對(duì)應(yīng)的齊方程的特征方程為特征根為對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為將它代入原方程，得目前三十頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)上式即故原方程有一特解為綜上所述，原方程的通解為目前三十一頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解對(duì)應(yīng)的齊方程的通解為綜上所述，原方程的通解為目前三十二頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例6.54解目前三十三頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)代入原方程得目前三十四頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)所以故原方程的通解為例6.55解根據(jù)定理6.7（P315），原方程的特解由目前三十五頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)代入原方程得故原方程的特解為目前三十六頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)故原方程的通解為例6.56解目前三十七頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)代入原方程得于是故原方程的通解為目前三十八頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)故原方程滿足初始條件的特解為目前三十九頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)歐拉公式：定理6.8的一個(gè)特解。目前四十頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)目前四十一頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解代入上述方程，得從而，原方程有一特解為目前四十二頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解代入上述方程，得比較系數(shù)，得目前四十三頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)從而，原方程有一特解為故目前四十四頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解由上面兩個(gè)例題立即可得目前四十五頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例解對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為將它代入此方程中，得從而，原方程有一特解為目前四十六頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)故原方程的通解為目前四十七頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)例6.59解原方程可化為兩端對(duì)x求導(dǎo)得整理得兩端再對(duì)x求導(dǎo)得目前四十八頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)此為常系數(shù)線性微分方程，其對(duì)應(yīng)的齊次方程為特征方程為故齊次方程通解為故，自由項(xiàng)為1時(shí)原方程的特解可設(shè)為目前四十九頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)代入原方程得目前五十頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)由此得注意到由方程（5-69）、（5-70）有所以有解之得目前五十一頁(yè)\總數(shù)五十四頁(yè)\編于十一點(diǎn)5.5.3歐拉方程（略）形如的方程，稱為n

階歐拉方程，其中關(guān)于變量