新生入學教育

云南財經(jīng)大學統(tǒng)計與數(shù)學學院新生入學教育專業(yè)認知教育

報告人:羅兆富

領(lǐng)導安排我今天給大家作一個報告，講的題目是《新生入學教育—專業(yè)認知教育

》.從哪兒開始呢?清人王國維在《人間詞話》中說:我們從王國維的一句話開始.

“詩人對宇宙人生,須入乎其內(nèi),又須出乎其外.入乎其內(nèi),故能寫之.出乎其外,故能觀之.入乎其內(nèi),故有生氣,出乎其外,故有高致.”

平時聽課、讀書、作習題是入乎其內(nèi),今天聽報告是出乎其外,兩者相輔相成.

“詩人對宇宙人生,須入乎其內(nèi),又須出乎其外.入乎其內(nèi),故能寫之.出乎其外,故能觀之.入乎其內(nèi),故有生氣,出乎其外,故有高致.”入乎其內(nèi)出乎其外

只知入乎其內(nèi),那是見木不見林,常常會迷失方向.所以還要輔助以出乎其外,站出來作高瞻遠矚.

“詩人對宇宙人生,須入乎其內(nèi),又須出乎其外.入乎其內(nèi),故能寫之.出乎其外,故能觀之.入乎其內(nèi),故有生氣,出乎其外,故有高致.”入乎其內(nèi)出乎其外

不站出來,就不知道數(shù)學的根在何處,不知道自己研究的最終目的與最終方向是什么.

“詩人對宇宙人生,須入乎其內(nèi),又須出乎其外.入乎其內(nèi),故能寫之.出乎其外,故能觀之.入乎其內(nèi),故有生氣,出乎其外,故有高致.”入乎其內(nèi)出乎其外

不站出來,就看不到數(shù)學與別的學科的密切聯(lián)系與相互影響.不站出來,就看不到數(shù)學對人類文明的巨大貢獻.

“詩人對宇宙人生,須入乎其內(nèi),又須出乎其外.入乎其內(nèi),故能寫之.出乎其外,故能觀之.入乎其內(nèi),故有生氣,出乎其外,故有高致.”入乎其內(nèi)出乎其外一、出乎其外

數(shù)學的產(chǎn)生的一個內(nèi)在動因來自于人們對自然界運動規(guī)律的探索需求，而自然界運動規(guī)律靠實驗觀測認識清楚是完全不可能的，但源自古希臘的理性精神認為自然界運動是服從一定的客觀規(guī)律的,而且這種規(guī)律是可用數(shù)學語言表述出來的,即抽象為某種數(shù)學結(jié)構(gòu),一旦對這個數(shù)學結(jié)構(gòu)了解清楚了,自然界的規(guī)律也就清楚了.

古希臘人最了不起的貢獻是,

他們認識到,

數(shù)學在人類文明中的基礎作用,這可以用畢達哥拉斯的一句話來概括:

萬物皆數(shù).

畢達哥拉斯學派研究數(shù)學的目的是企圖通過揭示數(shù)的奧秘來探索宇宙的永恒真理.他們對周圍世界作了周密的觀察,發(fā)現(xiàn)了數(shù)與幾何圖形的關(guān)系,數(shù)與音樂的和諧,他們還發(fā)現(xiàn)數(shù)與天體的運行都有密切關(guān)系.他們得到結(jié)論:自然數(shù)是萬物之母.

希臘人欲得到宇宙的規(guī)律,而宇宙的規(guī)律是可用數(shù)學來描述的，因而探索宇宙的規(guī)律就等價于研究數(shù)學的規(guī)律,那么他們在這方面成就如何呢?令人十分高興的是：由歐幾里得和托勒密所創(chuàng)立的數(shù)學的精華有幸傳給了我們.

在古希臘,由于這種理性探討的需要，證明進入了數(shù)學,邏輯進入了數(shù)學.歐幾里得以演繹體系編纂的《幾何原本》與亞里士多得的邏輯體系,而成為現(xiàn)代科學的始祖.

《幾何原本》依據(jù)柏拉圖哲學、亞里士多德的邏輯學和歐幾里得的精心構(gòu)思，所表現(xiàn)出的已不僅是一種數(shù)學命題的真理特征，更為重要的是它借助數(shù)學表現(xiàn)了一種認識世界、表述世界的獨特文化意義，并由此給人們提供一種思維的理性方式.

從幾個簡單的原理出發(fā),可以邏輯演繹出整個理論體系,進而表現(xiàn)這個理論所揭示的真理.一種數(shù)學方法能最終演化成為一種認識世界的理性思維方式，這不能不說是數(shù)學所能達到的最高的文化意義.

歐幾里得幾何是推理的典范,其特點是,以簡馭繁,以少勝多.這本書成為后人模仿的樣板.我們來舉幾個典型的例子.例1.

托勒密的宇宙圖景

宇宙是按照一定的規(guī)律運行的,這種規(guī)律是可用數(shù)學來描述的,那么宇宙的數(shù)學是什么呢?球面三角學.

托勒密想象行星繞著地球轉(zhuǎn)的時候是附著在完全透明的球體上,但是它們不是直接附著在球體上,而是通過一種離心輪(稱為周轉(zhuǎn)圓或本輪)間接附著在球體上.球體轉(zhuǎn)動的時候帶動了小輪子.我們從地球上看到火星的環(huán)行就是這個道理.

托勒密天文學的基本方案

通過適當選取周轉(zhuǎn)圓和從圓的半徑以及天體在周轉(zhuǎn)圓上和周轉(zhuǎn)圓心在從圓上的運動速度,喜帕恰斯和托勒密所描述的天體運動與那時的觀測結(jié)果十分吻合.托勒密的數(shù)學模型(即后來的所謂“地心說”),被基督教接受為真理.

托勒密的理論提供了第一個相當完整的證據(jù),說明自然是一致的并具有不變的規(guī)律.宇宙存在規(guī)律和秩序,

數(shù)學是達到這種有序的關(guān)鍵.而且,人類理性可以洞察這個設計并且揭示其數(shù)學結(jié)構(gòu).

托勒密體系用的是什么數(shù)學呢?他的著作《天文學大成》,阿拉伯人稱之為《大匯編》,知名度更廣.在書中他首先研究了球面上的三角形,然后再建立他的宇宙體系.

球面上的三角形

因為在希臘天文學中,行星和恒星沿大圓運行,所以他們的三角學,主要應用于行星和恒星的運動.同一理論加以改變,又可用于平面上的三角形,這正是我們現(xiàn)在學校里所學的那種三角學形式.球面上的三角形例3.

開普勒的宇宙法則

行星軌道是橢圓,行星繞太陽作變速度橢圓周運動.開普勒第一定律:

每一行星沿一個橢圓軌道環(huán)繞太陽運動,而太陽則處在橢圓的一個焦點上

.

開普勒第二定律:

每一個行星和太陽的聯(lián)線在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積

.

開普勒第三定律:

所有行星繞太陽公轉(zhuǎn)的周期(行星年)的平方跟橢圓軌道的半長軸的立方的比都相等

.

即其中k的大小與行星無關(guān),只與太陽質(zhì)量有關(guān).短軸長軸

笛卡爾力圖解釋為什么世界可用數(shù)學來解釋.他堅持認為物質(zhì)最基本最可靠的性質(zhì)就是形狀、延展性和在時空中的運動,而所有這些都是可用數(shù)學描述的.

由于形狀可歸結(jié)為延展,笛卡爾宣稱:“如果給我延展和運動,我就能構(gòu)造宇宙.”他特別強調(diào)所有物理現(xiàn)象都是受外力作用的分子機械運動的結(jié)果,然而作用力同樣也滿足不變的數(shù)學規(guī)律

.例4.笛卡爾的科學哲學

現(xiàn)實世界是在時空中可用數(shù)學描述的物體運動總和,整個宇宙是通過數(shù)學原理建立起來的龐大的、和諧的機器,科學以及事實上任何用來建立順序和測量的原理都可歸于數(shù)學.

十七世紀偉大數(shù)學家之一,帕斯卡毫不懷疑科學中的數(shù)學及數(shù)學規(guī)律是真理.對帕斯卡來說,科學就是研究上帝的世界.

在開創(chuàng)現(xiàn)代數(shù)學和科學,富有獨創(chuàng)精神的思想家中,伽利略與笛卡爾齊名,當然,他也相信自然界是上帝按數(shù)學設計的

.例5.伽利略的平拋物體與自由落體例5.伽利略的平拋物體與自由落體

這個公式一點也沒說物體為什么下落,而且與人們想知道的有關(guān)這種現(xiàn)象的事更是風馬牛不相及.然而伽利略確信我們要探尋的自然知識是可描述的

.

伽利略的另一個原則就是科學的任一分支都可用數(shù)學模型模仿出來,兩個基本步驟是,數(shù)學從公理即不證自明的真理出發(fā),通過推理建立新定理.所以,任一科學分支都應由公理或原理出發(fā)進行推理

.例6.科學的數(shù)學化

天空的法則伽利略地上的規(guī)律伽利略望遠鏡統(tǒng)一?牛頓

牛頓吸收了他的同時代人所作出的推想,即在任何兩個質(zhì)量為m和M,相距為r的物體之間的引力F,可由以下公式給出.

牛頓還將伽利略的地上物體運動定律進行普遍推廣,這些推廣現(xiàn)在稱之為牛頓運動三定律

.

牛頓運動第一定律

第一定律已由笛卡爾和伽利略所導出:一切物體在任何情況下,在不受外力的作用時,總保持靜止或勻速直線運動狀態(tài).

牛頓運動第二定律

物體的加速度跟物體所受的合外力成正比,跟物體的質(zhì)量成反比,加速度的方向跟合外力的方向相同.用公式表示即F=ma

.

牛頓運動第三定律

兩個物體之間的作用力和反作用力,在同一條直線上,大小相等,方向相反

.

由這三個定律及萬有引力定律.牛頓可以很容易地推斷地球上所有物體的運動規(guī)律.就天體運動來說,牛頓真正的成就在于他證明了開普勒經(jīng)過多年觀測和研究得出的開普勒三定律可以由萬有引力定律和運動三定律用數(shù)學方法推導出來

.

在實施推導宇宙運動規(guī)律計劃的過程中,牛頓需要描述這種規(guī)律的新的數(shù)學工具,這就導致了微積分的發(fā)現(xiàn).當然,牛頓認為數(shù)學是枯燥和乏味的,只是表述自然界的一種工具.

牛頓以運動學為背景提出了微積分的基本問題,發(fā)明了“正流數(shù)術(shù)”(微分)；從確定面積的變化率入手通過反微分計算面積，又建立了“反流數(shù)術(shù)”(積分)；并將面積計算與求切線問題的互逆關(guān)系作為一般規(guī)律明確地揭示出來，將其作為微積分普遍算法的基礎，論述了“微積分基本定理”.

牛頓的“自然哲學的數(shù)學原理”具有歐幾里得式的結(jié)構(gòu).例7.相對論的誕生

對自然界作邏輯的、數(shù)學的探索不僅適用數(shù)學的其他領(lǐng)域，而且適用于所有科學

.

相對論的誕生就是這樣一個光輝的例子.在所有的物理理論中,或許它是最優(yōu)美的,因為愛因斯坦只用純粹推理的方法就建立起了這個理論,只有以后才被天文觀測所證實

.例8.人的本性科學與數(shù)學

在馬爾薩斯1789年的“人口論”中,我們可以找到另一個例子.馬爾薩斯接受了歐幾里得的演繹模型.他把下面兩個公設作為他的人口學的出發(fā)點:人需要食品;人需要繁衍后代.他接著從對人口增長和食品供求增長的分析中建立了他的數(shù)學模型.這個模型簡潔,有說服力,對各國的人口政策有巨大影響.

令人驚奇的是,歐幾里得的模式還推廣到了政治學.美國的“獨立宣言”是一個著名的例子.獨立宣言是為了證明反抗大英帝國的完全合理性而撰寫的.美國第三任總統(tǒng)杰斐遜(1743-1826)是這個宣言的主要起草人.他試圖借助歐幾里得的模型使人們對宣言的公正性和合理性深信不疑.”我們認為這些真理是不證自明的??”不僅所有的直角都相等,而且“所有的人生來都平等”.

這些自明的真理包括,如果任何一屆政府不服從這些先決條件,那么“人民就有權(quán)更換或廢除它”.宣言主要部分的開頭講,英國國王喬治的政府沒有滿足上述條件.”因此,?我們宣布,這些聯(lián)合起來的殖民地是,而且按正當權(quán)力應該是,自由的和獨立的國家.”我們順便指出,杰斐遜愛好文學、數(shù)學、自然科學和建筑藝術(shù).

從歷史上看,數(shù)學促進人類思想解放大約有兩個階段.第一階段是從數(shù)學開始一直成為一門學科直到以牛頓為最高峰的第一次科學技術(shù)革命.

從歷史上看,數(shù)學促進人類思想解放大約有兩個階段.第一階段是從屬于自然哲學的數(shù)學直到以牛頓為最高峰的第一次科學技術(shù)革命.

第二階段由十七世紀下半葉算起,由于微積分的誕生使數(shù)學逐漸擺脫了它從屬于自然哲學的地位,成為一門獨立、自由的學科.★★★★★

例如,數(shù)學家們從研究三維空間自由地過渡到n維空間;從研究歐氏空間自由地過渡到非歐空間;從研究有限自由地過渡到無限.

如果十七世紀被稱為數(shù)學天才的世紀,那么十八世紀就可以稱為數(shù)學發(fā)明的世紀，雖然十八世紀的人并沒有引進像微積分那樣新穎、那樣基本的概念，但他們施展了高超的技巧，發(fā)掘并增進了微積分的威力，促進了微積分學的深入發(fā)展.

十九世紀是數(shù)學史上創(chuàng)造精神和嚴格精神高度發(fā)揚的時代.

復變函數(shù)論的創(chuàng)立和數(shù)學分析的嚴格化,非歐幾何的問世和射影幾何的完善，群論和非交換代數(shù)的誕生，是這一世紀典型的數(shù)學成就。它們所蘊含的新思想，深刻地影響著二十世紀的數(shù)學.二、入乎其內(nèi)出乎其外,數(shù)學是形而上的東西;

入乎其內(nèi),數(shù)學是形而下的東西;那就要聽課、讀書、作習題.★數(shù)學學習漫談

★★數(shù)學學習漫談★

數(shù)學專業(yè)的課程，其特點是需要理解(有別于語言類和政治類課程)而又不需要做實驗

(有別于物理、化學、生物)的基礎課程

.

在大學里，每一門課程都有“考好”和“學好”的差別

.“考好”是有利益的；當然“學好”的利益更大.

數(shù)學專業(yè)的幾門核心課程要“學好”，其它的課程要“考好”.

首先，要認真聽課.上課集中精神,跟教師的思路走.那怕后來發(fā)現(xiàn)教師的思路出錯了,也有收獲.不要主觀認為教師應該如何講課,不要用中學教師的標準判斷大學教師.一般而論，低年級的課程，值得聽的比較多

.1.先談“考好”

其次,認真閱讀教材,還有教師講課用的ppt.在中學,課后不認真閱讀教材也不是種好的學習習慣,雖然用題海戰(zhàn)術(shù)或許能使這種習慣不影響考試成績.在大學，不閱讀教材很難考出好成績.特別要注意教材和課件中的例題,無論教師是否在課堂上講解過.課前預習下教材也是種很好的學習習慣，對考出好成績有幫助，但未必是必須的.

最后,可能也是最重要,認真做習題.

一般來說,教師留作業(yè)的題目全部弄懂,包括問過老師或同學后確實懂了,考試就可以80分以上.有題目做不出需要討論或請教是正常的,但絕對不能抄作業(yè).如果要考90分以上,還應該選作些書上比所留作業(yè)更難的題目

.

總之，就數(shù)學專業(yè)課程而言,考好與學好不同.前者更強調(diào)運用熟練,后者更強調(diào)理解深刻.當然,真正學好了，一般也能考好.所有的課程都要爭取考好，而只有核心課程值得花功夫?qū)W好.

數(shù)學專業(yè)的課程不少,核心的也只有幾門：數(shù)學分析、高等代數(shù)、解析幾何、復變函數(shù)、實變函數(shù)、抽象代數(shù)、泛函分析.這些核心課程僅是考得好還不夠，還要學得好.其它的課程也重要,但如果這些核心課程學得好,相對比較容易.

例如,常微分方程和偏微分方程,內(nèi)容駁雜，但真正深刻的思想不多；數(shù)值分析需要上機實習,但數(shù)學本身的含量也不是很高

.

首先,教師的講解總是重要的,特別是對于低年級的入門性課程.

與中學聽課更側(cè)重解題方法不同,大學的數(shù)學課程更應該聽教師的分析思路和概念解釋.2.再談“學好”當然學好是指學好前面指出的核心類課程.

為有更好的聽課效果,課前應簡單預習,了解要講的大致內(nèi)容；課后要復習.特別注意理論的完整性.多數(shù)數(shù)學課程在具有不同尺度上的理論體系.全部數(shù)學課程是個體系,每門課程又是個子體系,課程中每章又自成體系,而教師組成材料時往往讓每次課也有一定的完整性.

其次,做俄國習題集的題目.想要學好數(shù)學,必須多做練習.完成教師布置作業(yè)后仍有余力,應該把教材上比作業(yè)難的題目也都做了

.

在此基礎上,我們建議從俄國的習題集中找題目做.這出于兩方面的考慮,其一,俄國的數(shù)學教學體系與中國的很接近,更準確地講現(xiàn)在中國的教學體現(xiàn)主要是因襲俄國的,因此比較便于與課堂教學同步練習.其二,俄國很多教材沒有習題或僅有很少的練習,因此必須配套專門的習題集;往往是一本習題集要配不同的教材,所以習題集的內(nèi)容很豐富.當然,俄國習題集的缺點是題目太大有些是比較機械的重復性練習.最好有內(nèi)行指點使用

.

第三,閱讀英文教材.真正的數(shù)學概念是超越語言的,因此用不同的語言思考數(shù)學問題,有助于理解的深入.一般而言,閱讀英文比中文吃力,因此教材更要精選.不僅要閱讀教材,而且要完成練習,這樣可以檢驗理解程度.或許與課堂教學同步閱讀英文教材不太現(xiàn)實,不僅是時間有限,而且教學體系差別比較大.可以學完門課程后再讀英文教材.

最后，課程之間打通.前面說過,全部數(shù)學課程構(gòu)成個理論體系.要學好的不僅是每門課程,而且是要把各門課程融會貫通.各門課程的分別僅是為教學方便的側(cè)重不同,彼此之間還是有聯(lián)系的.

例如，數(shù)學分析課程中的積分是Riemann積分,而在實函數(shù)論中將學習的積分是Lebesgue積分以及其它抽象積分,這時就應該它們之間的異同,切不可想當然.

順便一提,坊間有大量的學習指導、習題指南之類的輔助讀物.這些對考好數(shù)學是有一定幫助的,但基本上無助于學好數(shù)學.這類書的作者,在最好的情況,也只是有些教學經(jīng)驗,但一般缺乏職業(yè)數(shù)學家所具有的理解和洞察

.三、專業(yè)認知大綱

專業(yè)認知課程教學的目的是讓新入學的學生了解自己所學的專業(yè)培養(yǎng)計劃,該專業(yè)的學生培養(yǎng)目標是什么?培養(yǎng)要求是什么?需要學習那些課程，修完多少學分才能畢業(yè)?未來的發(fā)展方向是什么?可以從事什么工作?了解學院的學科建設，師資力量、學術(shù)水平等

.1.專業(yè)認知教育的目的

培養(yǎng)具有扎實的數(shù)學基礎、掌握數(shù)學和應用數(shù)學專業(yè)的基本理論、基本方法，包括數(shù)學建模方法、計算機應用技術(shù)、數(shù)學軟件應用，經(jīng)濟應用數(shù)學理論。掌握現(xiàn)代應用數(shù)學的理論、方法與技術(shù)，等方面的知識及應用知識與能力在經(jīng)濟金融部門、統(tǒng)計、保險、政府部門、科研機構(gòu)，大中專學校等單位，從事數(shù)據(jù)分析、系統(tǒng)管理與開發(fā)的復合型、創(chuàng)新型人才，也能繼續(xù)攻讀碩士學位。畢業(yè)學生達到“具有寬厚數(shù)學基礎，兼?zhèn)湄斀?jīng)特色”.2.培養(yǎng)目標及要求3.知識技能(1)具有比較扎實的數(shù)學基礎，受到嚴格的科學思維訓練，初步掌握數(shù)學科學的思想方法;

畢業(yè)畢業(yè)生應獲得以下幾方面的知識和能力：(2)具有應用數(shù)學知識建立數(shù)學模型以解決實際問題的初步能力和進行數(shù)學教學的能力;

(3)了解數(shù)學科學發(fā)展的歷史概況以及當代數(shù)學的某些新發(fā)展和應用前景;

2.知識技能畢業(yè)畢業(yè)生應獲得以下幾方面的知識和能力：(4)能熟練使用計算機（包括常用語言、工具及數(shù)學軟件），具有編寫程序的能力;

(5)具有較強的語言表達能力，掌握資料查詢、文獻檢索以及運用現(xiàn)代信息技術(shù)獲取相關(guān)信息的基本方法，具有一定的科學研究能力.4.課程設置主要課程:

學科基礎課：數(shù)學分析(12)、高等代數(shù)(8)、空間解析幾何(3)、概率論(3)、數(shù)理統(tǒng)計(3)、常微分方程(4)、復變函數(shù)(5)、大學物理(6);

專業(yè)主干課：近世代數(shù)(3)、實變函數(shù)(3)、泛函分析(3)、數(shù)值分析(3)、數(shù)學建模(3);

專業(yè)方向課：運籌學(2)、金融學(3)、模糊數(shù)學(2)、偏微分方程(2)、隨機過程(3)、因應回歸分析(3)、金融時間序列分析(3);

4.課程設置主要課程:

專業(yè)任選課：統(tǒng)計預測與決策(2)、金融風險管理(2)、抽樣調(diào)查理論與方法(2)、金融數(shù)學(2)、期權(quán)與期貨理論(2)、西方經(jīng)濟學(2)、博弈論與信息經(jīng)濟學(2)、數(shù)學軟件(2)、經(jīng)濟數(shù)學模型和方法(2).

以后的發(fā)展方向：第一、偏統(tǒng)計應用；第二、偏金融數(shù)學；第三、雙專業(yè)(學位)；第四、考研.

4.課程設置主要課程:

主要實踐性教學環(huán)節(jié)：包括計算機實習、生產(chǎn)實習、科研訓練或畢