33剖析幾何概型的五類(lèi)重要題型

PAGE剖析幾何概型的五類(lèi)重要題型解決幾何概型問(wèn)題首先要明確幾何概型的定義，掌握幾何概型中事件A的概率計(jì)算公式:.其次要學(xué)會(huì)構(gòu)造隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率．1.幾何概型的兩個(gè)特征：(1)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)限多；(2)每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)是等可能的．事件A可以理解為區(qū)域的某一子區(qū)域，事件A的概率只與區(qū)域A的度量（長(zhǎng)度、面積或體積）成正比，而與A的位置和形狀無(wú)關(guān)．2..解決幾何概型的求概率問(wèn)題關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率．3.用幾何概型解簡(jiǎn)單試驗(yàn)問(wèn)題的方法(1)適當(dāng)選擇觀察角度，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型求解．(2)把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的總體區(qū)域D.(3)把隨機(jī)事件A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的子區(qū)域d.(4)利用幾何概型概率公式計(jì)算．4.均勻隨機(jī)數(shù)在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，其中每一個(gè)數(shù)產(chǎn)生的機(jī)會(huì)是一樣的，通過(guò)模擬一些試驗(yàn)，可以代替我們進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn)，從而求得幾何概型的概率．一般地．利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器的rand（）函數(shù)可以產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)．a(chǎn)～b之間的均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生：利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x=rand()，然后利用伸縮和平移變換x=rand()*(b-a)+a,就可以產(chǎn)生[a，b]上的均勻隨機(jī)數(shù)，試驗(yàn)的結(jié)果是產(chǎn)生a～b之間的任何一個(gè)實(shí)數(shù)，每一個(gè)實(shí)數(shù)都是等可能的．5.均勻隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用(1)用隨機(jī)模擬法估計(jì)幾何概率；(2)用隨機(jī)模擬法計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．下面舉幾個(gè)常見(jiàn)的幾何概型問(wèn)題.一.與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型例1如圖,A,B兩盞路燈之間長(zhǎng)度是30米，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C,D,問(wèn)A與C,B與D之間的距離都不小于10米的概率是多少？思路點(diǎn)撥從每一個(gè)位置安裝都是一個(gè)基本事件，基本事件有無(wú)限多個(gè)，但在每一處安裝的可能性相等，故是幾何概型．解記E：“A與C,B與D之間的距離都不小于10米”，把AB三等分，由于中間長(zhǎng)度為30×=10米，∴.方法技巧我們將每個(gè)事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)都一樣，而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)，這樣的概率模型就可以用幾何概型來(lái)求解．二.與面積有關(guān)的幾何概型例2如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán)．從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心”．奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122cm,靶心直徑為12.2cm.運(yùn)動(dòng)員在70m外射箭．假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？思路點(diǎn)撥此為幾何概型，只與面積有關(guān)．解記“射中黃心”為事件B,由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為的黃心時(shí)，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率為.即：“射中黃心”的概率是0.01.方法技巧事件的發(fā)生是“擊中靶心”即“黃心”的面積；總面積為最大環(huán)的圓面積．三.與體積有關(guān)的幾何概型例3.在區(qū)間[0,l]上任取三個(gè)實(shí)數(shù)x.y.z,事件A={(x,y,z)|x2+y2+z2＜1,x≥0,y≥0,z≥0}(1)構(gòu)造出隨機(jī)事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形；（2)利用該圖形求事件A的概率.思路點(diǎn)撥:在空間直角坐標(biāo)系下，要明確x2+y2+z2＜1表示的幾何圖形是以原點(diǎn)為球心，半徑r=1的球的內(nèi)部．事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形所在位置是隨機(jī)的，所以事件A的概率只與事件A對(duì)應(yīng)的幾何圖形的體積有關(guān)，這符合幾何概型的條件．解：（1）A={(x,y,z)|x2+y2+z2＜1,x≥0,y≥0,z≥0}表示空間直角坐標(biāo)系中以原點(diǎn)為球心，半徑r=1的球的內(nèi)部部分中x≥0,y≥0,z≥0的部分，如圖所示．(2)由于x,y,z屬于區(qū)間[0,1]，當(dāng)x=y=z=1時(shí)，為正方體的一個(gè)頂點(diǎn)，事件A為球在正方體內(nèi)的部分．∴.方法技巧：本例是利用幾何圖形的體積比來(lái)求解的幾何概型，關(guān)鍵要明白點(diǎn)P(x,y,z)的集合所表示的圖形．從本例可以看出求試驗(yàn)為幾何概型的概率，關(guān)鍵是求得事件所占區(qū)域和整個(gè)區(qū)域的幾何度量，然后代入公式即可解，另外要適當(dāng)選擇觀察角度.四.求會(huì)面問(wèn)題中的概率例4兩人約定在20：00到21：00之間相見(jiàn)，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20：00到21：00各時(shí)刻相見(jiàn)的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)相見(jiàn)的概率．思路點(diǎn)撥兩人不論誰(shuí)先到都要等遲到者40分鐘，即小時(shí)．設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)，要使兩人在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)-≤x-y≤，因此轉(zhuǎn)化成面積問(wèn)題，利用幾何概型求解．解設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)-≤x-y≤.兩人到達(dá)約見(jiàn)地點(diǎn)所有時(shí)刻(x,y)的各種可能結(jié)果可用圖中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點(diǎn)來(lái)表示，兩人能在約定的時(shí)間范圍內(nèi)相見(jiàn)的所有時(shí)刻（x,y）的各種可能結(jié)果可用圖中的陰影部分（包括邊界）來(lái)表示．因此陰影部分與單位正方形的面積比就反映了兩人在約定時(shí)間范圍內(nèi)相遇的可能性的大小，也就是所求的概率為.方法技巧會(huì)面的問(wèn)題利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化成面積問(wèn)題的幾何概型．難點(diǎn)是把兩個(gè)時(shí)間分別用x,y兩個(gè)坐標(biāo)表示，構(gòu)成平面內(nèi)的點(diǎn)(x,y),從而把時(shí)間是一段長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形的二維面積問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成面積型幾何概型問(wèn)題．五.均勻隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用例5利用隨機(jī)模擬方法計(jì)算圖中陰影部分(由曲線y=2x與x軸、x=±1圍成的部分）面積．思路點(diǎn)撥不規(guī)則圖形的面積可用隨機(jī)模擬法計(jì)算．解(1)利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生兩組[0,1]上的隨機(jī)數(shù),a1=rand（），b1=rand()．(2)進(jìn)行平移和伸縮變換,a=(a1-0.5)*2,b=b1*2,得到一組[0,2]上的均勻隨機(jī)數(shù)．(3)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)總次數(shù)N和落在陰影內(nèi)的點(diǎn)數(shù)N1.(4)計(jì)算頻率，則即為落在陰影部分的概率的近似值．(5)利用幾何概型公式得出點(diǎn)落在陰影部分的概率