人教課標實驗B版-必修3-統(tǒng)計-2.3變量的相關(guān)性-2.3.1變量間的相關(guān)關(guān)系一等獎

相關(guān)性一、教學目標

1．通過收集現(xiàn)實問題中兩個變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，利用散點圖直觀認識變量間的相關(guān)關(guān)系．

2．經(jīng)歷用不同的估算方法來描述兩個變量線性相關(guān)的過程．

二、設(shè)計思路與教學建議

相關(guān)性問題是日常生活中普遍存在的問題，教科書從生活的問題展開討論．生活中，有些變量之間存在明顯的函數(shù)關(guān)系，這對于研究這兩個變量之間關(guān)系是非常重要的；有些變量之間不滿足函數(shù)關(guān)系，但是它們之間又存在著一種明顯的依賴關(guān)系，例如人的身高與體重，一般說來，身高越高的人體重越重，但是又沒有明顯的函數(shù)關(guān)系．而在日常生活中，我們經(jīng)常會遇到：在你測量體重時，電子儀器會給你提示――你很健康；或者，你偏胖，需要加強鍛煉等等．那么，這些電子儀器又是如何憑借身高與體重情況,對人的健康情況作出判斷的呢？

電子儀器通常是憑借人的身高與體重的經(jīng)驗公式來作出判斷的，這個經(jīng)驗公式反映的就是人的身高與體重之間的依賴關(guān)系．當然，兩個變量之間的依賴關(guān)系有疏有密，這個內(nèi)容在選修系列中將作進一步討論．教科書所提供的問題情境中的變量之間通常是存在著較為緊密的相關(guān)性．在必修部分我們只討論這種情形．

當然，兩個變量之間的相關(guān)性可以用一條直線或曲線來進行擬合．如果兩個變量之間的依賴關(guān)系是近似一條直線，那么這兩個變量就是線性相關(guān)的；如果兩個變量之間的依賴關(guān)系是近似一條曲線，那么這兩個變量就是非線性相關(guān)的；如果兩個變量之間不存在明顯的依賴關(guān)系，那么這兩個變量就是不相關(guān)的．本教科書主要討論線性相關(guān)的情形．

本節(jié)教科書首先從生活的問題展開，提出相關(guān)性問題．接著，從一個實際的例子展開討論，重點放在散點圖和用不同的方法來擬合兩個變量之間的線性關(guān)系．在下一節(jié)課，主要討論如何用最小二乘法來對兩個變量的線性關(guān)系進行擬合．

問題提出

P53

先從生活中存在明顯函數(shù)關(guān)系的兩個變量開始，函數(shù)關(guān)系能比較理想和準確地反映兩個變量之間的關(guān)系；接著，引出不存在明顯函數(shù)關(guān)系的兩個變量，舉出生活中的例子，并對身高與體重的數(shù)據(jù)進行分析，以幫助學生理解；進而，提出兩個變量之間散點圖及相關(guān)性的概念．

例

P54

給出生活中一個常見的現(xiàn)象――身高越高的人，他的右手一長就越長，但是這兩者之間又不是函數(shù)關(guān)系，而是一個相關(guān)關(guān)系，從以后的學習中，我們還會知道，這兩者之間的相關(guān)程度是很大的．基于這個現(xiàn)象，教科書提供了一組真實的數(shù)據(jù)，讓學生來分析這組數(shù)據(jù)，主要考慮三個方面的問題――其一，制成散點圖，從散點圖上判斷這兩者之間是否存在相關(guān)關(guān)系；其二，近似地描述這種線性關(guān)系，畫出直線；其三，利用它們之間的近似關(guān)系作一個估計．這三個問題是討論線性相關(guān)性時很重要的問題．教科書將重點放在第二個問題的討論上，旨在提倡學生采用自己的解決方法，因為擬合本身沒有最好的方法，只有更好的方法，目的是要讓學生進行探究，在探究的過程中尋求較好的擬合方法．這將有助于發(fā)散學生的思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新能力．分析理解

P57

同學甲和同學乙的思考方法是比較形象的，同學甲最直觀，但比較粗略，同學乙“使得在直線兩側(cè)的點數(shù)盡可能一樣多”是理性和精細的．

同學丙和同學丁的思考方法是比較理性的，也是相對粗略的，但對于學生來說，比較直觀，也便于理解和操作．這兩種方法比較程序化，同學丁的方法更精細一點．

同學丙和同學丁的思考方法本身是值得研究和探討的，教學時，教師可以指導(dǎo)有興趣的學生將這種問題進行更深入的探討，可以給學生提出這樣的問題――如果按照同學丙和同學丁的方法，那么你是否能將他們的思考方法更精細化．比如，我們可以將所有的點分成四個部分，每個部分取一個平均點，這樣就得出了四個點的坐標，然后，再分別求出這四個點中的前三個點和后三個點的平均點，最后將這兩個點連成一條直線．這條直線在一定程度上要比同學丙和同學丁的方法精細一些．如此做下去，一定會得到越來越精細的擬合．

練習

P59

練習中的問題與例題是相似的，處理方法上也是一樣的，第（3）個問題的解決方法可由學生自己選擇，教師不要強求一致．第（4）個問題是根據(jù)第（3）個問題而得出的，所以前一個問題的解決方法不同，可能導(dǎo)致著結(jié)果的不同．解題的主要步驟如下．

（1）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，可以畫出如下的散點圖．

（2）從散點圖上可以看出，氣溫與賣出的熱茶杯數(shù)近似地成線性關(guān)系，并且當氣溫越高時，所賣出熱茶的杯數(shù)就越少．

（3）同學甲和同學乙的方法略去．

按照同學丙的方法，我們可以將數(shù)據(jù)分成兩類：一類是氣溫高于10℃的，另一類是氣溫不高于10℃的，求出它們的平均點的坐標分別為133，1523，（19，26）．

設(shè)這條近似的直線方程為：y=kx+b，由兩個平均點可以求出斜率

k=(26-152/3)/(19-13/3)=(-74/3)/(44/3)=-3722≈，

代入一點坐標即可求出b=≈，進而所求的直線方程為：

y=+．

當x=-5時，y=×(-5)+≈66．

因此，當氣溫是-5℃時，大約能賣出熱茶66杯．

按照同學丁的方法,我們可以將數(shù)據(jù)分成三類：平均每類有兩個點，第一類是（-1，64），（4，50），第二類是（10，38），（13，34），第三類是（18，24），（26，20）．這三類的平均點的坐標依次為（，57），（，36），（22，22）,這三個點的“平均點”為（，）．設(shè)這條近似的直線方程為：y=kx+b，進而由點（，57）和（22，22），求出斜率

k=(57-22)/=35/=-70/41≈，

代入點（，）坐標即可求出b≈，進而所求的直線方程為：

y=+．

當x=-5時，y=×(-5)+≈67．

因此，當氣溫是-5℃時，大約能賣出熱茶67杯．

習題1-8

P59

1.本題主要目的是與抽樣方法聯(lián)系起來，讓學生經(jīng)歷一個完整的統(tǒng)計過程，要設(shè)計調(diào)查方案與分析報告．調(diào)查方案與分析報告的書寫格式不做硬性要求，但是基本的要求要達到．比如，采用什么的抽樣方法，如何組織調(diào)查，數(shù)據(jù)如何進行收集與整理，對數(shù)據(jù)的分析主要側(cè)重于哪些方面，期望能得到什么樣的結(jié)論等．這兩個問題都可以采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣．對數(shù)據(jù)的分析可以作出散點圖，選用適當?shù)姆椒ó嫵鼋浦本€．

2.本題是與例題類似的問題，也是對本節(jié)開始提出的體重與身高問題的一個回答．散點圖如下頁所示．從散點圖上可以看出，這些人的身高與體重近似成一條直線．

同學甲和同學乙的方法略去．

按照同學丙的方法，我們可以將這10個點分成兩組：一組是身高在188cm以上的，其他的為另一組．可以求得這兩組數(shù)據(jù)的平均點分別為（，），（，）．設(shè)這條近似的直線方程為：y=kx+b，由兩個平均點可以求出斜率

k=，

代入一點坐標即可求出

進而所求的直線方程為：

y=

當x=172時，y=×≈61,

因此，身高是172cm的運動員的體重大約是61kg．

按照同學丁的方法，我們按照身高狀況將數(shù)據(jù)分成三類：第一類是（175,63），（180,75），（185,79）；第二類是（186,80），（188,75），（190,82），（193,86）；第三類是（194,92），（196,88），（198,96）．這三類的平均點的坐標依次為180,2173，（,），（196,92）,這三個點的“平均點”為（，）．設(shè)這條近似的直線方程為：y=kx+b，進而由點（180,2173）和（196,92），求出斜率

k=(92-217/3)/(196-180)=(59/3)/16=59/48≈，

代入點（,）坐標即可求出

b≈，

進而所求的直線方程為：

y=

當x=172時，y=×≈62,

因此，身高是172cm的運動員的體重大約是62kg．

3．與第2題類似．根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，制成散點圖如下．從散點圖上可以看出，人的年齡與最大可識別距離近似成一條直線．

按照同學丙的方法，我們可以將這30個點分成兩組：一組是年齡大于54歲的，其他的為另一組．可以求得這兩組數(shù)據(jù)的平均點分別為（,482），（,）．

設(shè)這條近似的直線方程為：y=kx+b，由兩個平均點可以求出斜率

k=/，

代入一點坐標即可求出b=，進而所求的直線方程為：

y=-3x+．

當x=50時，y=．

因此，一位年齡為50歲的駕駛員的最大可識別距離大約為426.59英尺．

按照同學丁的方法，我們按照身高狀況將數(shù)據(jù)分成三組：按照年齡從小到大順序平均分成三組．這三組平均點的坐標依次為（,506），（,407），（,357）,這三個點的“平均點”為（51，）．設(shè)這條近似的直線方程為：y=kx+b，進而由點（,506）和（,357），求出斜率

k=(506-357)/，

代入點（51，）坐標即可求出

b=，

進而所求的直線方程為：

y=-3x+．

當x=50時，y=．

因此，一位年齡為50歲的駕駛員的最大可識別距離大約為426.3英尺．

根據(jù)以上的數(shù)據(jù)與分析結(jié)果可以知道，隨著年齡的增