2023屆上海市虹口中學數(shù)學高二第二學期期末考試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的定義域是，則的展開式中的系數(shù)是（）A． B．192 C． D．2302．若6名男生和9名女生身高（單位：）的莖葉圖如圖，則男生平均身高與女生身高的中位數(shù)分別為()A．179，168 B．180，166 C．181，168 D．180，1683．．設(x1,y1),(x2,y2A．x和y的相關系數(shù)為直線l的斜率B．x和y的相關系數(shù)在0到1之間C．當n為偶數(shù)時，分布在l兩側的樣本點的個數(shù)一定相同D．直線l過點(4．已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為A． B． C． D．5．從位男生，位女生中選派位代表參加一項活動，其中至少有兩位男生，且至少有位女生的選法共有()A．種 B．種C．種 D．種6．設雙曲線C：的一個頂點坐標為（2，0），則雙曲線C的方程是（）A． B． C． D．7．有10名學生和2名老師共12人,從這12人選出3人參加一項實踐活動則恰有1名老師被選中的概率為（）A．922 B．716 C．98．在空間中，給出下列說法：①平行于同一個平面的兩條直線是平行直線；②垂直于同一條直線的兩個平面是平行平面；③若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則；④過平面的一條斜線，有且只有一個平面與平面垂直.其中正確的是（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③9．已知函數(shù)恰有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．用數(shù)學歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+111．設是虛數(shù)單位，復數(shù)為實數(shù)，則實數(shù)的值為（）A．1 B．2 C． D．12．方程的實根所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)滿足，則的最小值____________．14．已知命題任意，恒成立，命題方程表示雙曲線，若“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍為_______.15．從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，則抽中的2人不全是女生的概率是____.16．某校高二學生一次數(shù)學診斷考試成績（單位：分）服從正態(tài)分布，從中抽取一個同學的數(shù)學成績，記該同學的成績?yōu)槭录?，記該同學的成績?yōu)槭录瑒t在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率______．（結果用分數(shù)表示）附參考數(shù)據(jù)：；；．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為是為參數(shù)）,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)判斷直線與曲線的位置關系；(2)在曲線上求一點,使得它到直線的距離最大,并求出最大距離.18．（12分）在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x=1+255ty=1+55t（t為參數(shù)），以（Ⅰ）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（Ⅱ）點P1,1，直線l與曲線C交于A,B兩點，若PA?PB19．（12分）在平面直角坐標系中，點是坐標原點，已知點為線段上靠近點的三等分點．求點的坐標：若點在軸上，且直線與直線垂直，求點的坐標．20．（12分）設函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調區(qū)間；（Ⅱ）當時，對任意恒成立，求整數(shù)的最大值.21．（12分）平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上.橢圓的左頂點為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作直線與橢圓交于另一點.若直線交軸于點，且，求直線的斜率.22．（10分）某小區(qū)所有263戶家庭人口數(shù)分組表示如下：家庭人口數(shù)12345678910家庭數(shù)20294850463619843（1）若將上述家庭人口數(shù)的263個數(shù)據(jù)分布記作，平均值記作，寫出人口數(shù)方差的計算公式（只要計算公式，不必計算結果）；（2）寫出他們家庭人口數(shù)的中位數(shù)（直接給出結果即可）；（3）計算家庭人口數(shù)的平均數(shù)與標準差.（寫出公式，再利用計算器計算，精確到0.01）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

函數(shù)的定義域是可知，-1和2是方程的兩根，代入可求得值，再根據(jù)二項式定理的通項公式進行求解即可【詳解】因為的定義域，所以-1和2是方程的兩根，將-1代入方程可得，則二項式定理為根據(jù)二項式定理的通項公式，，的系數(shù)答案選A【點睛】本題考察了一元二次方程根與系數(shù)的關系，二項式定理通項公式的求法及二項式系數(shù)的求法，難度不大，但綜合性強2、C【解析】

根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可得出結果.【詳解】6名男生的平均身高為,9名女生的身高按由低到高的順序排列為162，163，166，167，168，170，176，184，185，故中位數(shù)為168.故選:C.【點睛】本題考查由莖葉圖求平均數(shù)和中位數(shù),難度容易.3、D【解析】因回歸直線一定過這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(x點睛：函數(shù)關系是一種確定的關系，相關關系是一種非確定的關系.事實上，函數(shù)關系是兩個非隨機變量的關系，而相關關系是非隨機變量與隨機變量的關系.如果線性相關，則直接根據(jù)用公式求a,b，寫出回歸方程，回歸直線方程恒過點4、D【解析】

先證得平面，再求得，從而得為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而得解.【詳解】解法一:為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又，分別為、中點，，，又，平面，平面，，為正方體一部分，，即，故選D．解法二:設，分別為中點，，且，為邊長為2的等邊三角形，又中余弦定理，作于，，為中點，，，，，又，兩兩垂直，，，，故選D.【點睛】本題考查學生空間想象能力，補體法解決外接球問題．可通過線面垂直定理，得到三棱兩兩互相垂直關系，快速得到側棱長，進而補體成正方體解決．5、B【解析】

由題意知本題要求至少有兩位男生，且至少有1位女生，它包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生兩種情況，寫出當選到的是兩個男生，兩個女生時和當選到的是三個男生，一個女生時的結果數(shù)，根據(jù)分類計數(shù)原理得到結果．解：∵至少有兩位男生，且至少有1位女生包括：兩個男生，兩個女生；三個男生，一個女生．當選到的是兩個男生，兩個女生時共有C52C42=60種結果，當選到的是三個男生，一個女生時共有C53C41=40種結果，根據(jù)分類計數(shù)原理知共有60+40=100種結果，故選B．6、D【解析】

利用雙曲線的一個頂點坐標為，求得的值，即可求得雙曲線的方程，得到答案.【詳解】由題意，因為雙曲線的一個頂點坐標為，所以，所以雙曲線的標準方程為，故選D.【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.7、A【解析】

先求出從12人中選3人的方法數(shù)，再計算3人中有1人是老師的方法數(shù)，最后根據(jù)概率公式計算．【詳解】從12人中選3人的方法數(shù)為n=C123=220，3人中愉有∴所求概率為P=m故選A．【點睛】本題考查古典概型，解題關鍵是求出完成事件的方法數(shù)．8、B【解析】

說法①：可以根據(jù)線面平行的判定理判斷出本說法是否正確；說法②：根據(jù)線面垂直的性質和面面平行的判定定理可以判斷出本說法是否正確；說法③：當與相交時，是否在平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，進行判斷；說法④：可以通過反證法進行判斷.【詳解】①平行于同一個平面的兩條直線可能平行、相交或異面，不正確；易知②正確；③若平面內(nèi)有不共線的三點到平面的距離相等，則與可能平行，也可能相交，不正確；易知④正確.故選B.【點睛】本題考查了線線位置關系、面面位置關系的判斷，分類討論是解題的關鍵，反證法是經(jīng)常用到的方程.9、A【解析】

先將函數(shù)有零點，轉化為對應方程有實根，構造函數(shù)，對函數(shù)求導，利用導數(shù)方法判斷函數(shù)單調性，再結合圖像，即可求出結果.【詳解】由得，令，則，設，則，由得；由得，所以在上單調遞減，在上單調遞增；因此，所以在上恒成立；所以，由得；由得；因此，在上單調遞減，在上單調遞增；所以；又當時，，，作出函數(shù)圖像如下：因為函數(shù)恰有兩個零點，所以與有兩不同交點，由圖像可得：實數(shù)的取值范圍是.故選A【點睛】本題主要考查函數(shù)零點以及導數(shù)應用，通常需要將函數(shù)零點轉化為兩函數(shù)交點來處理，通過對函數(shù)求導，利用導數(shù)的方法研究函數(shù)單調性、最值等，根據(jù)數(shù)形結合的思想求解，屬于?？碱}型.10、C【解析】

首先分析題目求用數(shù)學歸納法證明1+1+3+…+n1=n4+n22時，當n=k+【詳解】當n=k時，等式左端=1+1+…+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，屬于中檔題./11、C【解析】

由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，再由虛部為0可得答案.【詳解】解：，復數(shù)為實數(shù)，可得，，故選：C.【點睛】本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算法則，屬于基礎題，注意運算準確.12、B【解析】

構造函數(shù)，考查該函數(shù)的單調性，結合零點存在定理得出答案．【詳解】構造函數(shù)，則該函數(shù)在上單調遞增，，，，由零點存在定理可知，方程的實根所在區(qū)間為，故選B.【點睛】本題考查零點所在區(qū)間，考查零點存在定理的應用，注意零點存在定理所適用的情形，必要時結合單調性來考查，這是解函數(shù)零點問題的常用方法，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)條件可得，然后利用基本不等式求解即可．【詳解】，，當且僅當，即時取等號，的最小值為．故答案為．【點睛】本題考查了基本不等式及其應用，關鍵掌握“1“的代換，屬基礎題．14、【解析】

根據(jù)題意求出命題P，Q的等價條件，結合復合命題真假關系進行轉化判斷即可.【詳解】當時，不等式即為，滿足條件，若，不等式恒成立，則滿足，解得，綜上，即；若方程表示雙曲線，則，得，即；若“”為真命題，則兩個命題都為真，則，解得；故答案是：.【點睛】該題考查的是有關邏輯的問題，涉及到的知識點有復合命題的真值，根據(jù)復合命題的真假求參數(shù)的取值范圍，在解題的過程中，注意對各個命題為真時對應參數(shù)的取值范圍的正確求解是關鍵.15、【解析】

基本事件總數(shù)n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數(shù)m＝＝7，由此能求出抽中的2人不全是女生的概率．【詳解】解：從2個男生、3個女生中隨機抽取2人，基本事件總數(shù)n＝＝10，抽中的2人不全是女生包含的基本事件個數(shù)m＝＝7，∴抽中的2人不全是女生的概率p＝．故答案為：．【點睛】本題考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．16、【解析】

計算出和，然后利用條件概率公式可得出的值.【詳解】由題意可知，，事件為，，，所以，，，由條件概率公式得，故答案為：.【點睛】本題考查條件概率的計算，同時也考查了正態(tài)分布原則計算概率，解題時要將相應的事件轉化為正態(tài)分布事件，充分利用正態(tài)密度曲線的對稱性計算，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)相離；(2).【解析】

把直線參數(shù)方程化為普通方程，曲線極坐標方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離，然后與半徑比較大小即可作出判斷圓上一點到直線的距離最大為，求出過圓心與直線垂直的直線方程，與圓的方程聯(lián)立確定出此時的坐標即可【詳解】(1)易得直線的方程為,曲線的方程為,圓心,半徑,圓心到直線的距離,所以直線與曲線相離.(2)易得點到直線的最大距離為,過圓心且垂直于直線的直線方程為,聯(lián)立,所以,易得點.【點睛】本題主要考查了將參數(shù)方程和極坐標方程轉化為普通方程，然后判斷直線與圓的位置關系，運用點到直線的距離公式，求出圓心到直線的距離即可作出判斷，屬于基礎題18、（Ⅰ）x-2y+1=0，y2（Ⅱ）a=0或1．【解析】

（Ⅰ）利用極直互化公式即可把曲線C的極坐標方程化為普通方程，消去參數(shù)t求出直線的普通方程即可；（Ⅱ）聯(lián)立直線方程和C的方程，結合二次函數(shù)的性質得到關于t的方程，由t的幾何意義列方程，解出即可．【詳解】（Ⅰ）∵C:ρsin∴ρy2而直線l的參數(shù)方程為x=1+255則l的普通方程是：x-2y+1=0；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：y2=2ax①，l的參數(shù)方程為x=1+2將②代入①得：t2故t1由PA?PB解得：a=0或1．【點睛】本題考查了極坐標方程，參數(shù)方程以及普通方程的轉化，考查直線和曲線的位置關系，是一道常規(guī)題．19、（1）（2）【解析】

（1）由題意利用線段的定比分點坐標公式，兩個向量坐標形式的運算法則，求出點P的坐標．（2）由題意利用兩個向量垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算法則，求出點Q的坐標．【詳解】設，因為，所以，又，所以，解得，從而．設，所以，由已知直線與直線垂直，所以則，解得，所以．【點睛】本題主要考查了線段的定比分點坐標公式，兩個向量垂直的性質，兩個向量坐標形式的運算，屬于基礎題，著重考查了推理與運算能力．20、（Ⅰ）當時，在內(nèi)單調遞增；當時，在上單調遞增；在上單調遞減.（Ⅱ）2【解析】

（Ⅰ）根據(jù)解析式求得導函數(shù)，討論與兩種情況，結合一元二次方程的根即可由導函數(shù)符號判斷函數(shù)的單調性；（Ⅱ）將代入解析式，并代入不等式分離參數(shù)，構造函數(shù)，求得，在令，由即可證明在單調遞增，再根據(jù)零點存在定理可知存在唯一的，使得，進而由單調性求得，整理化簡后可得，即可得整數(shù)的最大值.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，，當時，恒成立，所以在內(nèi)單調遞增.當時，由得，，，且在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間內(nèi).綜上可得，當時，在內(nèi)單調遞增；當時，在上單調遞增；在上單調遞減.（Ⅱ）將代入函數(shù)解析式