上海市2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含解析

試卷主標(biāo)題

姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、選擇題（共12題）

1、在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為。

x=-k

2、參數(shù)方程1>=成+/（，為參數(shù)）表示的曲線是（）

A.雙曲線B.雙曲線的下支C.雙曲線的上支D.圓

3、在正方體如⑵-44CW】中，下列結(jié)論正確的是（）.

_____?UUU

①向量鶴與48的夾角是60。；

②（44+AA+4用）=.

③亞（砌-不）=0；

④正方體加8-//。聲的體積為\ABAAVAD\

A.①③B.②③C.①②③D.①②④

4、相同正四棱錐底面重合組成一個(gè)八面體，可放于棱長(zhǎng)為1的正方體中，重合的底面與正

方體某面平行，各頂點(diǎn)均在正方體表面上（如圖），該八面體體積的可能值有（）

個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

已知x,>^11且夕*0,則“x<y”是，，》

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

6、交通管理部門(mén)為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員（簡(jiǎn)稱駕駛員）對(duì)新法規(guī)“開(kāi)車不喝酒，喝酒不開(kāi)

車”的知曉情況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查，假設(shè)四個(gè)社區(qū)總?cè)藬?shù)為從，

其中甲社區(qū)有駕駛員96人,若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取人數(shù)分別為12,21,25、

43,則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為（）

A.101B.808C.1212D.2121

7、設(shè)屈=葉=20困，八｛小=VxeR｝,則（）

A.MCN=｛（2,4》B.McN=｛（2,4）,（4.16））

C.M=WD.MuN

2

8、對(duì)關(guān)于x的一元二次方程x+bx+c=0,通過(guò)擲骰子確定其中的系數(shù)，第一次出現(xiàn)的數(shù)

作為b,第二次出現(xiàn)的數(shù)作為。（一顆骰子有6個(gè)面，分別刻有1、2,3、4、5、

6六個(gè)數(shù)，每次擾擲，各數(shù)出現(xiàn)的可能性相同），那么，這個(gè)方程有解的概率是（）

4：195

A.9B.2C.36D.9

9、汽車牌照由4個(gè)數(shù)字（可以重復(fù)）和2個(gè)字母（也不一定要不相同）構(gòu)成，這6個(gè)字

符可以任何順序呈現(xiàn)，但兩個(gè)字母必須相鄰，則可以形成的不同的牌照有（）種.

A.6X104X262B.5X104X262C.102x26+D.104x262

10、如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，①囪/與瓦？平行；②CN與BE是

異面直線；③比與5%成60°；④〃力與AV'垂直.以上四個(gè)命題中，正確命題的序

號(hào)是（）

A.①②③B.②④C.③④D.②③④

11、一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)二面角的關(guān)

系是

A.相等B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ)D.不確定

12、連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦，半徑為4的球的兩條弦AB,CD的長(zhǎng)度分別等

于2萬(wàn)、4抬，物，/V分別為46,切的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，有下列

四個(gè)命題：①弦四，CD可能相交于點(diǎn)M；②弦48,CD可能相交于點(diǎn)N；③*

的最大值為5；④肱V的最小值為1；其中真命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題（共36題）

1、已知若C；=10,則?=

Jx=2t

2、直線'L=l-4￡（￡為參數(shù)）的傾斜角為

3、在狂歡節(jié)上，有六名同學(xué)想報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一

項(xiàng)，每個(gè)項(xiàng)目都有人報(bào)名，則共有種不同的報(bào)名方法.

4、已知A（l，0,0），8（2,3，D，C（3,0,2）,則說(shuō)在左上的投影為

5、如圖，矩形。'出5&是水平放置的平面圖形03c的直觀圖，其中O'A'=6,O'C<=3,則原

圖形0/C的面積為

rn,

O'

6、已知335是空間三個(gè)不共面的向量，下列各組向量中不共面的是

①la,mb,nc(lmn0).②a+2b,2b+3c,-9c+3a.③a+2b,b+2c,c+2a

7、公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德研究過(guò)自然數(shù)的平方和，并得到公式

f+2?+3?+…+/=亞些山

6.執(zhí)行如圖所示的程序，若輸出的結(jié)果為6,則判斷框

中的實(shí)數(shù)上的取值范圍是

8、北緯30?線貫穿四大文明古國(guó)：是一條神秘而又奇特的緯線.在這條緯線附近有神秘的

百慕大三角、著名的埃及金字塔、世界最高峰珠穆朗瑪峰、長(zhǎng)江等，沿地球北緯30?線前行,

會(huì)發(fā)現(xiàn)許多奇妙且神秘的自然是觀，在地球北緯30?圈上有48兩地，它們的經(jīng)度相差180、

A8兩地沿緯線圈的弧長(zhǎng)與次為兩地的球面距離之比為一

9、已知山，矩形3A所在平面，且P到瓦。的三點(diǎn)的距離分別是呵則P到

矩形對(duì)角線的距離等于

x-y>0

2x+y<2

(4)…

10、已知I'3人若不等式組〔x+〉W“表示的平面區(qū)域的面積為了(a),則

,3)=__________

11、方程在=6.2+,中的a,b,ce[-3,-2,0,1,2.3)t且%“互不相同，在所有這些方程所表示

的曲線中，不同的拋物線共有____條.

12、小明研究三棱錐的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)下面一個(gè)真命題：在三棱錐A-BCD^,已知ABAC=a,

f(y)-cosacosj8

cos6=—：------------

乙CAD=3,NR48=y(如圖)，設(shè)二面角—D大小為&sinasm產(chǎn)，其中

是一個(gè)與7有關(guān)的代數(shù)式，請(qǐng)寫(xiě)出符合條件的/(*=.

13、若集合，={xeZ[-l<x<2},人沖jKo},則AkjB=.

14、不等式x+2的解集是.

15、I2"*J的展開(kāi)式中，含六項(xiàng)的系數(shù)為

16、高斯被譽(yù)為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，與阿基米德、牛頓、歐拉同享盛名，高斯函數(shù)

/。)=卜]也應(yīng)用于生活、生產(chǎn)的各個(gè)領(lǐng)域.高斯函數(shù)也叫取整函數(shù)，其符號(hào)卜]表示不超過(guò)

/(x)=sinrm

X的最大整數(shù)，如：[3,14]=3,[-1,6]=-2,定義函數(shù)：I2),則了⑶值域的子集

的個(gè)數(shù)為：.

17、某三位數(shù)密碼，每位數(shù)字可在0-9這10個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)，則該三位數(shù)密碼中，

恰有兩位數(shù)字相同的概率是.

18、在長(zhǎng)方體期力-486馬中，AA1=AD=}>AB=2,則直線與他所成的角的余

弦值等于_____.

19、已知集合，=（L3,5},5=[2,4,6]>。=儼k勾，D=（z|xc5）>則CnD=.

20、已知（1+X）+（1+X）2+（1+X）3+（1+X）*+（1+X）S+,則/的值為

21、棱長(zhǎng)為。的正方體幽2一/印邊】的頂點(diǎn)A到截面與CQ的距離等于

22、在即將來(lái)臨的五一長(zhǎng)假期間，某單位本來(lái)安排A、B、C、D、E共5個(gè)人在5天

中值班，每天1人，每人值班1天，但4月28日時(shí)接到通知A、5員工必需出差，故

調(diào)整為每天1人，每人至少值班1天，現(xiàn)在只有C、10、￡共3個(gè)人在五一長(zhǎng)假期間

共有種不同的值班方案（用數(shù)字作答）.

23、已知在矩形ABCD^,AB=72,出）=56,若將A?邊72等分，過(guò)每個(gè)等分點(diǎn)分別

作血的平行線，若將題邊56等分，過(guò)每個(gè)等分點(diǎn)分別作的平行線，則這些平行線

把整個(gè)矩形分成了邊長(zhǎng)為1的72x56個(gè)小正方形，于是，被對(duì)角線幺。從內(nèi)部穿過(guò)的小正

方形（小正方形內(nèi)部至少有幺。上的點(diǎn)）共有個(gè).

24、高一新生小崔第一次進(jìn)入圖書(shū)館時(shí)看到了館內(nèi)樓梯（圖1）,她準(zhǔn)備每次走1級(jí)或2

級(jí)樓梯去二樓，并在心中默默計(jì)算這樣走完25級(jí)樓梯大概有多少種不同的走法，可是當(dāng)她

走上去后發(fā)現(xiàn)（圖2）原來(lái)在13級(jí)處有一寬度達(dá)1.5米的平臺(tái)，這樣原來(lái)的走樓梯方案

需要調(diào)整，請(qǐng)問(wèn)，對(duì)于剩下的15級(jí)02+3）樓梯按分2段的走法與原來(lái)一次性走15級(jí)的

走法相比較少了種.

圖I圖2

25、用兩個(gè)1,兩個(gè)2能排出個(gè)不同的四位數(shù)種.

26、甲、乙、丙三個(gè)人玩“剪刀、石頭、布”游戲一次游戲中可以出現(xiàn)的不同結(jié)果數(shù)為

___________種.

27、/個(gè)人排成一個(gè)n行，n列的方陣，現(xiàn)要從中選出n個(gè)代表，要使得每一行，每一

列都有代表，則有種不同的選法.

28、已知某個(gè)幾何體的三視圖如下所示：側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，俯視圖是半圓，則

這個(gè)幾何體的體積是.

正視圖例視圖

俯視圖

29、若漏=0,2,2),而=(0」，0),則平行四邊形/頗的面積為.

30、360的正約數(shù)共有個(gè).

31、若Cn+1=Cn~\則x的可能的值是.

32、學(xué)校組織春游活動(dòng)，每個(gè)學(xué)生可以選擇去四個(gè)地方：崇明、朱家角、南匯和嘉定，有四位

同學(xué)恰好分別來(lái)自這四個(gè)地方，若他們不去家鄉(xiāng)，且分別去了不同地方，則四位同學(xué)去向的

所有可能結(jié)果數(shù)為.

1arccosl

33、設(shè)地球的半徑為R,在北緯。圈上的兩地A、B的經(jīng)度差為3,則力，8兩

地的球面距離為.

34、曲線/=-2乙>2,x=-2圍成的圖形繞^軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的體

2

積為匕；滿足?+(7-1)>1,-+3+1)221的點(diǎn)組成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所

得的旋轉(zhuǎn)體的體積為匕，通過(guò)考查匕與匕的關(guān)系，可得匕的值為

y

y=-----（X>0）

35、一矩形的一邊在X軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)"1+:T'"的圖象上，則此矩形繞X軸

旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值為.

36、設(shè)—L23,4,5,678,9）,若AqCqU,BqCqU,則不同的有序集合組（4瓦。）的

總數(shù)是，

三、解答題（共16題）

1、如圖，已知點(diǎn)F在圓柱的底面圓。上，乙4。尸=120。，圓。的直徑AB=4,圓柱

的高0°i=3.

（1）求圓柱的表面積和三棱錐月「4用的體積;

（2）求點(diǎn)A到平面納°的距離.

2、2021年3月25日《人民日?qǐng)?bào)》報(bào)道：“作為世界最大棉花消費(fèi)國(guó)、第二大棉花生產(chǎn)

國(guó)，我國(guó)2020-2021年度棉花產(chǎn)量約595萬(wàn)噸.其中，新疆棉產(chǎn)量520萬(wàn)噸，占國(guó)內(nèi)總產(chǎn)量

約87%.除了新疆，河南、河北、山東、湖北等也是我國(guó)的棉花主要產(chǎn)地.”某公司為響

應(yīng)國(guó)家扶貧號(hào)召，為某小型紡織工廠提供資金和技術(shù)的支持，并搭建銷售平臺(tái).現(xiàn)該公司為

該廠提供新疆棉2.5噸，河南棉12噸.該工廠打算生產(chǎn)兩種不同類型的抱枕，A款抱枕需

要新疆棉1°°g,河南棉300g,5款抱枕需要新疆棉50g,河南棉400g,且一個(gè)A款抱枕

的利潤(rùn)為1。元，一個(gè)8款抱枕的利潤(rùn)為8元.假設(shè)工廠所生產(chǎn)的抱枕可全部售出.

(1)求工廠生產(chǎn)A款抱枕和5款抱枕各多少個(gè)時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少？

(2)若工廠有兩種銷售方案可供選擇，方案一：自行出售抱枕，則所獲利潤(rùn)需上繳公司

10%；方案二：由公司代售，則公司不分抱枕類型,讓工廠每個(gè)抱枕獲得8元的利潤(rùn).請(qǐng)問(wèn)

該工廠選擇哪種方案更劃算？請(qǐng)說(shuō)明理由.

3、如圖，從左到右有5個(gè)空格.

(1)若向這5個(gè)格子填入0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)，要求每個(gè)數(shù)都要用到，且第

三個(gè)格子不能填0,則一共有多少不同的填法？

(2)若給這5個(gè)空格涂上顏色，要求相鄰格子不同色，現(xiàn)有紅黃藍(lán)3顏色可供使用，問(wèn)

一共有多少不同的涂法？

(3)若向這5個(gè)格子放入7個(gè)不同的小球，要求每個(gè)格子里都有球，問(wèn)有多少種不同的

放法？

4、如圖，在四棱錐P-ABCD^,已知口，平面ABCD,且四邊形項(xiàng)8為直角梯形,

Z.ABC=^BAD=-CM-L,一

2,PA=AD=2,AB=BC=\.￡是尸￡）中點(diǎn).

(1)求直線CE與平面33所成角的大小；

(2)求平面取8與平面產(chǎn)⑵所成銳二面角的余弦值;

(3)點(diǎn)。是線段8尸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與Z)尸所成的角最小時(shí)，求線段的長(zhǎng).

fx=w+/cosa「x=3cos。

l:<(tC:〈狂3

5、已知直線〔了=￡仙《為參數(shù)，赤水eZ)經(jīng)過(guò)橢圓Ly=，5sm*為參數(shù))的

左焦點(diǎn)尸.

(1)求幽的值；

(2)設(shè)直線，與橢圓C交于A8兩點(diǎn)，求|網(wǎng)|F叫的最小值.

(3)設(shè),。底的三個(gè)頂點(diǎn)在橢圓。上，求證，當(dāng)。是小。它的重心時(shí)，△尸磔的面積是

定值.

6、已知”0集合34rT"},5={X|?-4X-5<0)

(1)當(dāng)a=3時(shí)，求AUB.

(2)設(shè)「在力；q：xwB,若戶是9的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

7、直三棱柱/C-44C】中，底面須。為等腰直角三角形，ABLAC,AB=AC=2,四=4,

股是側(cè)棱°。上一點(diǎn)，設(shè)腦?=/.

出

(1)若BML&C,求人的值;

(2)若h=2,求直線網(wǎng)與平面麗所成角的正弦值.

8、(1)如圖1所示，某地有南北街道5條，東西街道6條，一郵電員從該地東北角

的郵局A出發(fā)，送信到西南角的5地，要求所走的路程最短，共有多少種不同的走法？

(2)如圖2所示，某地有南北街道5條，東西街道6條，一郵電員從該地東北角的郵

局A出發(fā)，送信到西南角的5地，已知。地(十字路口)在修路，無(wú)法通行，要求所走的

路程最短，共有多少種不同的走法？

(3)如圖3所示，某地有南北街道5條，東西街道6條(注意有一段吸不通)，一

郵電員從該地東北角的郵A局出發(fā)，送信到西南角的8地，要求所走的路程最短，共有多少

種不同的走法？

(4)如圖4所示，某地有南北街道5條，東西街道6條，已知C地(十字路口)在修

路，無(wú)法通行，且有一段路程加無(wú)法通行，一郵遞員該地東北角的郵局A出發(fā)，送信到西

南角的方地，要求所走的路程最短，有多少種不同的走法？

9、如圖，正四棱柱片GA的底面是邊長(zhǎng)為血的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為1.

(1)求直線4c與直線/馬所成角的余弦值；

(2)求二面角4-AC-/平面角大小的余弦值；

(3)在直線4,上是否存在一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使得P在平面4/C的投影恰好為里人。的重

心，若存在，求線段尸。的長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由.

io、在v+x+iyy+&L+公干++3小+年的展開(kāi)式中，把鞏以此

""叫做三項(xiàng)式的"次系數(shù)列.

（1）求或+我+或的值；

（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理，將等式（1+x廣=（l+x）*（l+x『的兩邊分別展開(kāi)可得左右兩邊的系數(shù)

對(duì)應(yīng)相等，如4=（C"+C0+（Cj）2+...+（C；）：利用上述思想方法，請(qǐng)計(jì)算

圖以-以4+以以,+…+璘嗡-璘淄+璘嗡值；

（3）我們都知道方程/+x+l=0無(wú)實(shí)數(shù)解，對(duì)于正整數(shù)，你能否計(jì)算：

4+氏+球+丈+…+口產(chǎn)+…的值（上標(biāo)3k,keN,為不超過(guò)2%的3的倍數(shù)，結(jié)果請(qǐng)用含

有附的代數(shù)式表示）.

11、在K+則"皿戶+4產(chǎn)」+畢》+…+中1+好的展開(kāi)式中，把琰,%說(shuō)，…,

""叫做三項(xiàng)式的M次系數(shù)列.

（1）寫(xiě)出三項(xiàng)式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列；

（2）列出楊輝三角形類似的表（0工%工4,%eN）,用三項(xiàng)式的〃次系數(shù)表示小,以i,

9

（3）用二項(xiàng)式系數(shù)表示比.

12、已知正方體助的棱長(zhǎng)為2,若股，N分別是C444的中點(diǎn)，作出過(guò)

M,N,5三點(diǎn)的截面，并求出這截面的周長(zhǎng).

13、在棱長(zhǎng)為2的正方體抽⑵-48GA中，點(diǎn)￡是a'的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是切上的動(dòng)點(diǎn).

(1)試確定點(diǎn)廠的位置，使得?平面超產(chǎn)；

(2)若尸是繆的中點(diǎn)，求二面角G-即-4的大小;

(3)若/是切的中點(diǎn)，求馬到面加嚴(yán)的距離.

14、(1)求一個(gè)棱長(zhǎng)為0的正四面體的體積，有如下未完成的解法，請(qǐng)你將它補(bǔ)充完

成.解：構(gòu)造一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體一我們稱之為該四面體的“生成正方體”，如左

下圖：則四面體/C8自為棱長(zhǎng)是的正四面體，且有

強(qiáng)

%面體小當(dāng)〃=左方體一嚷盤(pán)嗎_91Tl一憶＞身困一%-A二

(2)模仿(1),對(duì)一個(gè)已知四面體，構(gòu)造它的“生成平行六面體”，記兩者的體積

依次為％園體和%成仲K的，試給出這兩個(gè)體積之間的一個(gè)關(guān)系式，不必證明；

(3)如1圖，一個(gè)相對(duì)棱長(zhǎng)都相等的四面體(通常稱之為等腰四面體)，其三組棱長(zhǎng)分

別為場(chǎng),屈,而，類比(1)(2)中的方法或結(jié)論，求此四面體的體積.

15、家有重物，爸、媽、孩三人合力拉拍，用力依次為五了，豆，三個(gè)力的方向兩兩成60。角,

大小依次為3,2,1,在這三個(gè)力的共同拉抬下，重物恰好被沿豎直方向抬離地面.

(1)求物重；

(2)求孩子用力方向與豎直方向所成的角.

16、已知正三棱錐N-ABC,頂點(diǎn)為N,底面是4ABC.

兀

(1)若該三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1,且兩兩成角為9,設(shè)質(zhì)點(diǎn)P自A出發(fā)依次沿著三個(gè)側(cè)面

移動(dòng)環(huán)繞一周直至回到出發(fā)點(diǎn)A,求質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)路程的最小值；

(2)若該三棱錐的所有棱長(zhǎng)均為1,試求以N為頂點(diǎn)，以"BC內(nèi)切圓為底面的圓錐的

側(cè)面積和體積；

（3）若該棱錐的體積為定值，，求該三棱錐側(cè)面與底面所成的角區(qū)使該三棱錐的表面

積S最小.

========參考答案======

一、選擇題

1、D

【分析】

由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，是由一個(gè)三棱錐和被軸截面截開(kāi)的

半個(gè)圓錐組成，根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，得到組合體的側(cè)視圖.

【詳解】

由俯視圖和正視圖可以得到幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單的組合體，

是由一個(gè)三棱錐和被軸截面截開(kāi)的半個(gè)圓錐組成，

側(cè)視圖是一個(gè)中間有分界線的三角形，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖，考查由三視圖看出原幾何圖形，再得到余下的三視圖，本

題是一個(gè)基礎(chǔ)題.

2、C

【分析】

先將參數(shù)方程化為普通方程，再由基本不等式求出的取范圍，從而可得答案

【詳解】

解：由［"e'+e",得/=（e'-eT『=e*_2+e3且/==e"+2+e：

/x?_1

兩式相減得，即44,

因?yàn)榱?/+0-'22獷丁=2,當(dāng)且僅當(dāng)成=e\即人。時(shí)取等號(hào)，

22

匕-土=1

所以曲線44表示焦點(diǎn)在V軸上，且雙曲線的上支，

故選：C

3、B

【分析】

①連接4C,AC,可得“馬C為等邊三角形，即可判斷出正誤；

②利用9+福+稻=福+殖二而，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可判斷出正誤；

③前（福-率）=卒.扃=o,即可判斷出正誤；

④利用與"L福，可得ABAA1=0tI荏麗而1=0,進(jìn)而判斷出正誤.

【詳解】

解：如圖，

TUUU

①連接/C，DQ，貝一皿C為等邊三角形，又AB"*,向量功1與印的夾角是

120。，不正確；

②或+洞+麗=麗+福二灰，（奉+而+福）?=/=3科,正確；

③（431-44）=&C*片=0,正確；

（4）..國(guó)福=0,二|荏麗在|=0,而正方體助“）-4301鼻的體積/=（＞15）3,

因此不正確.

故選：B.

4、D

【分析】

分析題意可知，正四棱錐的高為定值，底面加5各頂點(diǎn)在截面正方形力，的各邊上移

動(dòng)，表示出底面493的面積即可判斷.

【詳解】

設(shè)正四棱錐的底面與正方體的截面四邊形為系&%顯然4片GA為正方形且邊長(zhǎng)

為1,如圖：

設(shè)&=x(0Mx41),則典=l-x,由平面幾何知識(shí)可知加=第=i,所以

24=一11

血=/+。--2'」'由題意可知正四棱錐的高為2,故八面

1x2=2

體體積為323[63」，有無(wú)數(shù)個(gè).

故選D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查八面體的內(nèi)接問(wèn)題，考查空間想象能力及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

5、D

【分析】

xx?

——<1

由出發(fā)得到》與1的關(guān)系；由了，得到X與y的關(guān)系，從而判斷邏輯關(guān)系.

【詳解】

三<1r

由題知，若x。，當(dāng)夕>。時(shí)，有》〈；當(dāng)"。時(shí)，有

￡<[

同理，若y，當(dāng)y>°時(shí)，X。；當(dāng)y<0時(shí)，X>y；

￡<]

則“x<?”是，，/<，，的既不充分也不必要條件；

故選：D

6、B

【分析】

由甲社區(qū)抽取人數(shù)和總?cè)藬?shù)計(jì)算可得抽樣比，從而可根據(jù)抽取的人數(shù)計(jì)算得到駕駛員總?cè)?/p>

數(shù).

【詳解】

12_1

由題意可得抽樣比為：%=8

12+21+25+43

N=匕上士］二__=808

8

故選：B

7、D

【分析】

集合M和集合N都是數(shù)集，M是指數(shù)函數(shù)的值域，N是函數(shù)y的值域，求出兩個(gè)

集合后可得兩個(gè)集合之間的關(guān)系

【詳解】

集合|y=2\xei?)=(J|y>0)

集合脂卜”二一工丘氏卜卜卜之0),

則McN=M,所以MuN

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的值域，以及交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。

8、C

【分析】

記事件A="方程，+沃+c=0有實(shí)根”.由A=/-4c。得：廬4,利用列舉法得到

事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)，又總的基本事件共6x6=36個(gè)，由古典概型概率公式求出方

程有解的概率.

【詳解】

記事件A=?方程，+分+c=0有實(shí)根”

由A=h*-4c..D,得：火4c

又基本事件共6x6=36個(gè)，

其中事件A包含19個(gè)基本事件，列舉如下：

(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(5,1),(5⑵，(5,3),(5,4),

(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

1Q

所以36,

故選：C.

9、B

【分析】

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理以及插空法即可求解.

【詳解】

首先排4個(gè)數(shù)字共有10’種，

再將2個(gè)字母看成一個(gè)整體插在5個(gè)空內(nèi)，共有5x26?種，

所以形成的不同的牌照有5X104X262.

故選：B

10、C

【分析】

根據(jù)平面展開(kāi)圖可得原正方體，根據(jù)各點(diǎn)的分布逐項(xiàng)判斷可得正確的選項(xiàng).

【詳解】

由平面展開(kāi)圖可得原正方體如圖所示:

由圖可得：8M,或）為異面直線，CN與郎不是異面直線，故①②錯(cuò)誤；

連接AN,AC,DM,BN,BEy則”極為等邊三角形，

而B(niǎo)MHAN,故4M7或其補(bǔ)角為C"與母/所成的角，

因?yàn)橐襑C=60。，故3與血所成的角為60。，故③正確；

因?yàn)镈MINC,又BCJL平面CMND,所以DMLBC,故功1/_1_平面BCN

又8Vu平面BCN,所以DM1BN,則④正確；

綜上，正確命題的序號(hào)為：③④.

故選：C.

11、D

【分析】

根據(jù)題意，可在正方體中，舉例說(shuō)明，得到答案.

【詳解】

如圖所示，在正方體抽⑵-446口中，二面角與二面角的兩個(gè)半平

面分別對(duì)應(yīng)垂直，但是這兩個(gè)二面角既不相等，也不互補(bǔ)，

所以這兩個(gè)二面角不一定相等或互補(bǔ).

例如：開(kāi)門(mén)的過(guò)程中，門(mén)所在平面及門(mén)軸所在墻面分別垂直于地面與另一墻面，但門(mén)所在平

面與門(mén)軸所在墻面所成二面角的大小不定，而另一二面角卻是90-,所以這兩個(gè)二面角不一

定相等或互補(bǔ).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了線面位置關(guān)系的應(yīng)用，以及二面角的概念及應(yīng)用，其中解答中熟記二面角的

概念，合理舉例是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【分析】

先求解出。河，加的長(zhǎng)度，然后根據(jù)。河，°州長(zhǎng)度的大小判斷①②；再通過(guò)分析三

點(diǎn)共線求解出她的最大值和最小值.

【詳解】

。到跖兒的距離分別為=業(yè)-麗1=3,皿邛2-(2⑨=2,

若兩弦交于M,則ON1MN,在RSOMN中,有OM>ON,符合條件，故①正確；

若兩弦交于N,則。河在BAOMZ中，有OM<ON,與條件矛盾，故②錯(cuò)誤；

當(dāng)KQ"共線時(shí)分別取最大值和最小值，最大值為3+2=5,最小值為3-2=1,故③④正

確，

故選：C.

二、填空題

1、5

【分析】

直接利用組合數(shù)的計(jì)算公式求解即可.

【詳解】

解：因?yàn)镃；=1。,

——1)=10

所以2,解得?=5,M=Y(舍).

故答案為：5.

2、7T-arctan2

【分析】

將參數(shù)方程化為普通方程，根據(jù)斜率為-2,即可求出傾斜角.

【詳解】

消去參數(shù)。可得＞=-2\+1,所以直線的斜率為-2,設(shè)直線的傾斜角為ae[0/),則

tana=-2,所以a=開(kāi)一arctan2,

故答案為：or=7r-arctan2.

3、120

【分析】

根據(jù)題意，依次分析每個(gè)項(xiàng)目的報(bào)名方法，由分步計(jì)數(shù)原理即可求出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)題意，每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，每個(gè)項(xiàng)目都有人報(bào)名，則第一個(gè)項(xiàng)目有6種

報(bào)名方法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種報(bào)名方法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種報(bào)名方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理

知共有6x5x4=120種不同的報(bào)名方法，

故答案為：120.

4、&

【分析】

根據(jù)空間點(diǎn)的坐標(biāo)求出荏，前的坐標(biāo)，結(jié)合空間向量的幾何意義即可求出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?lt;1,0,0),5(2,3,1),(7(3,0,2),所以75-(1,3,1),AC-(2,0,2)

設(shè)施與衣的夾角為&,所以根據(jù)空間向量的幾何意義可得：

網(wǎng)……若4萬(wàn)

市在左上的投影為雨妻、。*?2點(diǎn)，

故答案為：及

5、36及

【分析】

結(jié)合圖形求出SO“BC=6XA18,再根據(jù)西工一即可求出結(jié)果.

【詳解】

由題意可知So”c=6x3=18,

^QA￡C—2^2

S2S

又因?yàn)镾。蠡BC,所以CMC=^QABC=2^X18=3672,

故答案為：360.

6、①③

【分析】

利用空間共面向量定理判斷即可

【詳解】

解：對(duì)于①，因?yàn)槭强臻g三個(gè)不共面的向量，且加力0,所以丘法，扇不共面，所

以①符合題意；

對(duì)于②，因?yàn)椤?2）-（齒+6],所以￡+忒25+姿,-如+3：是共面向量,所以②

不符合題意；、

對(duì)于③，若1+2/Z+JJ+21是共面向量,則存在實(shí)數(shù)使c+2a=4（a+2曷+4（2+2c）,

即（1-24）丁=（；1-2日+（24+〃0,因?yàn)?31是空間三個(gè)不共面的向量，所以

1-2〃=4-2=2；1+〃=0,矛盾，所以1+25范+2/+2*不共面，所以③符合題，

故答案為：①③

7、（55,91]

【分析】

由已知中的程序語(yǔ)句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算S的值并輸出變量1的值，模

擬程序的運(yùn)行過(guò)程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.

【詳解】

解：模擬程序的運(yùn)行，可得當(dāng)"5時(shí)，S=l+2、32+42+5?=55。，繼續(xù)循環(huán)，

當(dāng)i=6時(shí)，S=l+2?+3?+42+5?+6?=9L.*,退出循環(huán)，輸出1的值為6,

從而可得判斷框中的實(shí)數(shù)上的取值范圍是（55,"I.

故答案為：3,91].

8、3/4

【分析】

烏

設(shè)地球半徑為小則北緯30。圈對(duì)應(yīng)的小圓半徑為2,進(jìn)而可得A,8兩地沿緯線圈的

弧長(zhǎng)「丁仃，A,5兩地的球面距離3-3,由此可得A,5兩地沿緯線圈的弧長(zhǎng)與

A,5兩地的球面距離之比.

【詳解】

rcos300=—r

解：設(shè)地球半徑為廣，則北緯30?圈對(duì)應(yīng)的小圓半徑為2,

所以A8兩地沿緯線圈的弧長(zhǎng)「丁"，

劣弧懣在大圓內(nèi)對(duì)應(yīng)的圓心角為T(mén),所以AR兩地的球面距離%="

故4斤兩地沿緯線圈的弧長(zhǎng)與48兩地的球面距離之比為h&=354.

故答案為：3^:4.

9、2

【分析】

分別設(shè)PA=x,AB=y,AD=Zj利用勾股定理建立等式分別求出，再由等積法即可得到答案.

【詳解】

如圖所示，設(shè)PA=x,AB=y,AD=zt因?yàn)楫a(chǎn)/JL矩形38所在平面，

易得PAA.AB,PA±AD,PAA.BC

由BCLAB,ABoPA=A^^BC1平面PAB,從而B(niǎo)CLPB,

在RtLPAB中，P8=,

同理PD=4y"+z’=屈,尸C=Jx'l+z?=而，

解得x=l,y=2,z=2出,所以PA=\,AB=2,AD=2^,5D=4,

過(guò)點(diǎn)A作AF垂直于BD于F,由等面積法易得：AF=^3,所以PF=+AF2=2.

故答案為：2.

--a2+2a-l

10、4

【分析】

由題意畫(huà)出可行域，由兩個(gè)三角形面積作差得答案.

【詳解】

由圖可知反1，°),

Jx-_y=022

聯(lián)立〔2x+y=2,解得'導(dǎo)孔

x-y=0

聯(lián)立U+y=解得勺弓，

x^y=a

聯(lián)立］2x+_y=2,解得C(2-a,2a-2).

=lxix2=l

Qg233

加卜信?+(|-步陽(yáng)-今

欄+《-

|DC|=-2+42”=依2_匆

ADLCD,

S=Lx2x(2_g)x(2_3a)=3/_2a+3

皿232243

---a2+2a--=--a2+2a-l

/(3)3434

--a2+2a-1

故答案為:4

11、62

【詳解】

b22c

方程變形得了?,若表示拋物線，則aw。/*。，,分5=-3,-2,123五種情況:

(1)當(dāng)占=—3時(shí)，a=-2,c=0,1,2,3a—l,c——2,0,2,3a=2,°=-2,0,1,3或

。=3?=-2,0,1,2

(2)當(dāng)3=3時(shí)，。=-2,已=0,1,2,-3或。=1?=-2,0,2,-3或a=2,c=-2,0,1,-3或

a=-3,c=-2,0,l,2,以上兩種情況下有9條重復(fù)，故共有16+7：：23條.

(3)同理當(dāng)匕=-2或8=2時(shí)，共有16+7=23條.

(4)當(dāng)6=1時(shí)，"=-3,。=-2,0,2,3a—~2,c=-3,0,2,3a=2,c=-3,-2,0,3或

a=3,c=-3,-2,0,2,共有工條，綜上，共有

23+23+16=62,故答案為62.

【方法點(diǎn)睛】本題主要考查分類計(jì)數(shù)加法原理、分類討論思想.屬于難題.分類討論思想

解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，尤其在解決

含參數(shù)問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條

件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).充分利用分類討論思想方法能夠使問(wèn)題條理清晰，進(jìn)

而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.

12、cosy

【分析】

先作出二面角，構(gòu)造三角形，表示出各邊長(zhǎng)，利用余弦定理即可求解.

【詳解】

在這上任取一點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。分別作OELAC交助于E,OF_L/C交就于F,則

N即9=8即為二面角8-血7-。的平面角，如圖在RuAOE

04

OE=OA-^afAE=-^--,OF=OA?tan尸,AF=

中,cosa,在Rt4AoF中,cosjB,在“斯中，由余

2

0A0/0A0A

EF2=AE2+AF2-2AEAFcosy=—j—+―z--2----------------cosy

弦定理得,cosacosjBcosacos尸aOEF中,

由余弦定理得,

OA2OA2巨旦.

。京+。產(chǎn)-斯204tan%+Oatan"-+2

cos2acos2§cosacos§

cos9-------------------------=------------------------------------

20EOF2Q4tana-OAtanjS

-----------------cosy-1

八cosacos6cosy-cosacosp

cos&=_________-_________=________________

化簡(jiǎn)整理得tan"tan尸sinasm,所以/(y)=cosy.

故答案為

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二面角的作法，余弦定理解三角形，考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力，屬于

中檔題.

13、｛0，L2)

【分析】

求出集合A、B,利用并集的定義可求得集合/U員

【詳解】

?：A=[xeZ\-1<x<^={0,1)8卜2_2x=0:={0,2},因此，/U8={0」,2)

故答案為：{°」，明

【點(diǎn)睛】

本題考查并集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14、HR

【分析】

上冊(cè)0

將所求不等式變形為x+2,轉(zhuǎn)化為整式不等式求解即可.

【詳解】

x-l<o|(x-l)(x+2)<0

將原不等式變形為^2~0,等價(jià)于b+2w0,解得-2<X<1.

l-x、0

因此，不等式帝一的解集是(一25.

故答案為：(一25.

【點(diǎn)睛】

本題考查分式不等式的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

15、80

【分析】

求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，利用力的指數(shù)為4,求出參數(shù)的值，再將參數(shù)的值代入通項(xiàng)可得出

結(jié)果.

【詳解】

%=1,25-k五10-3.

的展開(kāi)式通項(xiàng)為

令10-3尢=4,得k=2,因此,的展開(kāi)式中，含f項(xiàng)的系數(shù)為煨23=80.

故答案為：80

【點(diǎn)睛】

本題考查利用二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16、8

【分析】

依題意求出函數(shù)/（X）的值域，再根據(jù)含有附個(gè)元素的集合含有2a個(gè)子集;

【詳解】

/w=sin^U-

解：依題意，表示向下取整，即卜］取值均為整數(shù)，所以,可以看做

T=—=4

7T7T7T

g(x)=sing（x）=sm

在x取整數(shù)時(shí)的函數(shù)，由于的最小正周期2

^xOj=0,0<x<1

sin

sinfyxlj=l,l<x<2

/(x)=sin

I2)sinfyx2j=0,2Mx<3

sin(?x3

=-l,3<x<4

在［。，4兀）內(nèi)，有

所以函數(shù)的值域?yàn)楣柿刷侵涤虻淖蛹膫€(gè)數(shù)為23=8個(gè)

故答案為：8

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的子集，含有附個(gè)元素的集合含有2*個(gè)子集；

27

17、WO

【分析】

根據(jù)題意求得所有基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合組合數(shù)計(jì)算滿足題意的事件個(gè)數(shù)，用古典概型的概

率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.

【詳解】

某三位數(shù)密碼鎖，每位數(shù)字在0-9數(shù)字中選取，

總的基本事件個(gè)數(shù)為1000,

其中恰有兩位數(shù)字相同的個(gè)數(shù)為&或以=270,

270=27

則其中恰有兩位數(shù)字相同的概率是woo=ioo；

27

故答案為：ioo.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率計(jì)算，涉及組合數(shù)的計(jì)算，屬綜合基礎(chǔ)題.

yio

18、元

【分析】

聯(lián)結(jié)跑,即，則依與公的夾角即8。與公的夾角乙4%，求得

為的長(zhǎng)，從而求得夾角的余弦值.

【詳解】

聯(lián)結(jié)44如圖所示:

在長(zhǎng)方體中，,則其”與4c的夾角即81c與與nc的夾角乙4c%

在4中，8M=AC=J2?+F=右,BG=JF+F=&,

181c事而

則c°sN/C4=%=云=而

Vio

故答案為：記

19、(0)

【分析】

由題知，集合C中的元素為集合A的所有子集，集合D中的元素為集合B的所有子集,

寫(xiě)出兩集合的所有子集，并取交集即可.

【詳解】

由題知，集合。中的元素為集合A的所有子集，集合D中的元素為集合