三余弦定理文檔

三余弦定理內(nèi)容：若平面的一條斜線與這個(gè)平面所成角為，平面內(nèi)的一條直線與這條斜線及其射影所成的銳角（或直角）分別為，則有。定理概述設(shè)A為面上一點(diǎn)，過(guò)A的直線AO在面上的射影為AB，AC為面上的一條直線，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦關(guān)系為：cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB(∠BAC和∠OAB只能是銳角）通俗點(diǎn)說(shuō)就是，cos平面斜線與平面直線夾角(OAC)=cos斜線射影與平面直線夾角(BAC)xcos平面斜線與斜線射影夾角(OAB)．又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜線與平面內(nèi)直線成的最小角．2定理證明如上圖，自點(diǎn)O作OB⊥AB于點(diǎn)B，過(guò)B作BC⊥AC于C，連OC，則由線線垂直，線面垂直，面面垂直易知△ABC、△AOC、△ABO均為直角三角形．cosθ1=AB∶OA，cosθ2=AC∶AB，cosθ=AC∶OA，不難驗(yàn)證：cosθ=cosθ1×cosθ2．3定理應(yīng)用\o"編輯本段"編輯如果將三正弦定理和三余弦定理聯(lián)合起來(lái)，用于解答立體幾何綜合題，你會(huì)發(fā)現(xiàn)出乎意料地簡(jiǎn)單，甚至不用作任何輔助線！例1如圖，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)，若AB1⊥BC1，求以BC1為棱，DBC1與CBC1為面的二面角α的度數(shù).(1994年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)23題)\o"查看圖片"三正弦定理應(yīng)用之例1題圖\o"查看圖片"三正弦定理應(yīng)用之例1解答例2已知Rt△ABC的兩直角邊AC=2，BC=3．P為斜邊AB上一點(diǎn)，現(xiàn)沿CP將此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下圖），當(dāng)AB=√7時(shí)，求二面角P－AC－B大?。?上海市1986年高考試題，難度系數(shù)0.28)\o"查看圖片"三正弦定理應(yīng)用之例2題圖\o"查看圖片"三正弦定理應(yīng)用之例2解答三余弦定理3定理應(yīng)用如果將三余弦定理和三正弦定理聯(lián)合起來(lái)使用，用于解答立體幾何綜合題，你會(huì)發(fā)現(xiàn)出乎意料地簡(jiǎn)單，甚至不用作任何輔助線！例1如圖，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中點(diǎn)，若AB1⊥BC1，求以BC1為棱，DBC1與CBC1為面的二面角α的度數(shù).(1994年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)23題)\o"查看圖片"三余弦定理應(yīng)用例題1\o"查看圖片"三余弦定理應(yīng)用例題1解答例2已知Rt△ABC的兩直角邊AC=2，BC=3．P為斜邊AB上一點(diǎn)，現(xiàn)沿CP將此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下圖），當(dāng)AB=√7時(shí)，求二面角P－AC－B大小．(上海市1986年高考試題，難度系數(shù)0.28)\o"查看圖片"三余弦定理應(yīng)用例題2\o"查看圖片"三余弦定理應(yīng)用例題2解答例3．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∠BAD=60°，現(xiàn)沿對(duì)角線BD將此菱形折成直二面角A-BD-C(如圖6)．(1)求異面直線AC與BD所成的角；(2)求二面角A-CD-B的大?。瓾YPERLINK"/picview/220