第十八屆華杯賽決賽小高年級(A)卷

本文格式為Word版，下載可任意編輯——第十八屆華杯賽決賽小高年級(A)卷第十八屆華羅庚金杯少年邀請賽決賽試題A（小學高年級組）

總分第十八屆華羅庚金杯少年邀請賽決賽試題A（小學高年級組）

（時間2023年4月20日10：00～11：30）

一、填空題（每題10分,共80分）1．計算:19×0.125+281×

1-12.5=________.8解析：原式=（19+281-100）×0.125

=200×0.125=25

2．農諺‘逢冬數(shù)九’講的是,從冬至之日起,每九天分為一段,依次稱之為一九,二九,??,九九,冬至那天是一九的第一天.2023年12月21日是冬至,那么2023年的元旦是________九的第________天.

解析：31-21+1+1=12,12÷9=1?3，2023年的元旦是二九的第3天.

3．某些整數(shù)分別被，，，除后,所得的商化作帶分數(shù)時,分數(shù)部分分別是，，，,則滿足條件且大于1的最小整數(shù)是________.

解析：設整數(shù)為A,分別被，，，除后,所得的商分別為

35795791122223579357957911A，A，A，A;

57911357952572792911211A?1??(A?1)，A?1??(A?1)，A?1??(A?1)，A?1??(A?1)333555777999顯然，當A-1是[3，5，7，9]的時候滿足題意。所以A-1=315，A=316。

4．如右圖,在邊長為12厘米的正方形ABCD中,以AB為底邊作腰長為10厘米的等腰三角形PAB.則三角形PAC的面積等于________平方厘米.

解析:過P點做PE⊥AB,由于三角形PAB為等腰三角形，所以AE=EB=6cm。

2222

根據(jù)勾股定理：PE=10-6=64=8，所以PE=8cm。

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ES△PAB=12×8÷2=48cm，S△PCB=12×6÷2=36cm，

2

S△PAC=48+36-12×12÷2=12cm。

5．有一筐蘋果,甲班分,每人3個還剩11個;乙班分,每人4個還剩10個;丙班分,每人5個還剩12個.那么這筐蘋果至少有________個.

解析：11≡2（mod3）=2；10≡2（mod4）=2；12≡5（mod5）=2，所以蘋果數(shù)除以3,4,5都余2，[3，4，5]=60,這筐蘋果至少有60+2=62個.

6．兩個大小不同的正方體積木粘在一起,構成右圖所示的立體圖形,其中,小積木的粘貼面的四個頂點分別是大積木的粘貼面各邊的一個三等分點．假使大積木的棱長為3,則這個立體圖形的表面積為________.

解析：如下圖，四個三角形面積都是1×2÷2=1，

2

所以小積木一個面的面積是3-1×4=5。

這個立體圖形的表面積為大積木的表面積加上小積木四個面的面積。

2

所以面積為6×3+4×5=74。

7．設n是小于50的自然數(shù),那么使得4n+5和7n+6有大于1的公約數(shù)的所有n的可能值之和為.

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第十八屆華羅庚金杯少年邀請賽決賽試題A（小學高年級組）

解析：設4n+5和7n+6大于1的公約數(shù)為A,則A∣(4n+5),A∣(7n+6)。(4n+5)×7，(7n+6)×4相減消去n，則差能被11整除，(4n+5)×7-(7n+6)×4=11,11是質數(shù)，所以A只能是11。（4n+5），（7n+6）都是11的倍數(shù)，為了分別找出所有的n，2×（4n+5）-（7n+6）=n+4，11∣（n+4），所以n=7,18,29,40。所以答案為7+18+29+40=94。

8．由四個完全一致的正方體堆積成如右圖所示的立體,則立體的表面上（包括底面）所有黑點的總數(shù)至少是________.

解析：將黑點數(shù)轉化為1,2,3,4,5,6，根據(jù)圖可知，2與4,6,3,1相鄰，則2與5相對，4與6,1相鄰，則4與3相對，1與6相對。

最左邊的正方體左右兩個面上是1和6，可以重疊6；最右邊的正方體重疊6；最上面的正方體重疊5；

正中間左右兩個面一起重疊7，上面重疊6。

所以正方體重疊面上的黑點最多是7+6+5+6+6=30，立體的表面上所有黑點的總數(shù)至少是4×7×3—30=54。

二、解答以下各題（每題10分,共40分,要求寫出簡要過程）

9．用四個數(shù)字4和一些加、減、乘、除號和括號,寫出四個分別等于3,4,5和6的算式.解析：（4+4+4）÷4=3，4+（4-4）÷4=4，（4×4+4）÷4=5，4+（4+4）÷4=6

10．小明與小華同在小六(1)班,該班學生人數(shù)介于20和30之間,且每個人的出生日期均不一致.小明說:“本班比我大的人數(shù)是比我小的人數(shù)的兩倍〞,小華說:“本班比我大的人數(shù)是比我小的人數(shù)的三倍〞.問這個班有多少名學生?

解析：根據(jù)小明，小華的話可知：六(1)班人數(shù)-1是3的倍數(shù)，也是4的倍數(shù)。[3，4]=12，所以這個班有12×2+1=25名學生

11．小虎周末到公園劃船,九點從租船處出發(fā),計劃不超過十一點回到租船處.已知,租船處在河的中游,河道筆直,河水流速1.5千米/小時;船在靜水中的速度是3千米/小時,劃船時,每劃船半小時,小虎就要休息十分鐘讓船順水漂泊.問:小虎的船最遠可以離租船處多少千米?解析：V順：V逆：V水=4.5：1.5：1.5=3：1：1；注意逆水速度等于靜水速度。小虎每劃船半小時,就要休息十分鐘讓船順水漂泊，120÷（30+10）=3，小虎休息三次，則船順水漂泊30分鐘，則逆水時間里面有30分鐘要和他抵消，相當于船沒有動。在剩下120-30-30=60分鐘里要船能回到租船處，則逆水時間和順水時間為V順：V逆=3:1，所以順水時間為60÷（3+1）=15分鐘。注意小虎的船最遠可以離租船處，還需加上船順水漂泊10分鐘的路程，所以答案為：4.5×15÷60+1.5×10÷60=1.375km

12．由四個一致的小正方形拼成右圖.能否將連續(xù)的24個自然數(shù)分別放在圖中所示的24個黑點處（每處放一個,每個數(shù)只使用一次）,使得圖中所有正方形邊上所放的數(shù)之和都相等?若能,請給出一個例子;若不能,請說明理由.解析：設這24個連續(xù)自然數(shù)為a，a+1，a+2，?，a+23。

注意：圖中有五個正方形，五個正方形上共有16+4×8=48，細心分析，每個數(shù)重

復用了2次。假設能使得圖中所有正方形邊上所放的數(shù)之和都相等，且設這個和為A。則有（a+a+1+a+2+?+a+23）×2=48a+552=5A

48≡3（mod5），552≡2（mod5），要48a+552是5的倍數(shù)，則48a除以5余3，即a要是5的倍數(shù)多1，不妨設a=5b+1，48a+552=48×5b+48+552=240b+600，所以A=48b+120

我們再來看大正方形上的16個數(shù)，即使是這24個數(shù)中最小的16個，它們的和是5b+1+5b+2+5b+3+?5b+16=80b+136>A=48b+120

所以不能使得圖中所有正方形邊上所放的數(shù)之和都相等。

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第十八屆華羅庚金杯少年邀請賽決賽試題A（小學高年級組）

三、解答以下各題（每題15分，共30分，要求寫出詳細過程）

13．用八個右圖所示的2×1的小長方形可以拼成一個4×4的正方形.若一個拼成的正方形圖形經過旋轉與另一個拼成的正方形圖形一致,則認為兩個拼成的正方形一致.問:在所有可能拼成的正方形圖形中,上下對稱、第一行有兩個空白小方格且空白小方格相鄰的圖形有多少種?

★代替解析：用☆

由于的正方形圖形中,上下對稱，而所給圖形上下不對稱（其次層，第三層只能橫拼，不能豎拼），所以只需考慮一、二層2×4的長方形。分兩個空白正方形在三、四列（兩個空白正方形在一、二列旋轉可得到兩個空白正方形在三、四列的狀況）和兩個空白正方形在二、三列兩種狀況。

☆☆★★★★☆☆★★☆☆★☆☆★★☆☆★☆☆★★☆★☆★☆★☆★☆★★☆★☆☆★所以答案為五種。

14．不為零的自然數(shù)n，既是2023個數(shù)字和一致的自然數(shù)之和,也是2023個數(shù)字和一致的自然數(shù)之和,還是2023個數(shù)字和一致的自然數(shù)之和,那么n最小是多少?

解析：數(shù)論。根據(jù)題意有n=2023A=2023B=2023C。能把數(shù)字和和數(shù)聯(lián)系起來的數(shù)是能被3或9整除的數(shù)。明白一個結論，求一個數(shù)能否被3或9整除，將這個數(shù)按數(shù)位截成若干個數(shù)或拆成若干個數(shù)，若若干個數(shù)的和能被3或9整除，則這個數(shù)能被3或9整除。例：求12346789101112?2023能否被9整除，只需求1+2+?+2023的和能否被9整除。

顯然2023,2023都是3的倍數(shù)，則n是3的倍數(shù)，2023B是3的