機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析中的矩陣變換演示文稿

機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析中的矩陣變換演示文稿現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四機(jī)器人運(yùn)動(dòng)分析中的矩陣變換現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四▲雅可比矩陣的定義▲微分運(yùn)動(dòng)與廣義速度▲雅可比矩陣的構(gòu)造法▲PUMA560機(jī)器人的雅可比矩陣▲逆雅可比矩陣▲力雅可比矩陣第四講：微分運(yùn)動(dòng)和雅可比矩陣現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四

上一章我們討論了剛體的位姿描述、齊次變換，機(jī)器人各連桿間的位移關(guān)系，建立了機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，研究了運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解，建立了操作空間與關(guān)節(jié)空間的映射關(guān)系。本章將在位移分析的基礎(chǔ)上，進(jìn)行速度分析，研究操作空間速度與關(guān)節(jié)空間速度之間的線性映射關(guān)系——雅可比矩陣(簡(jiǎn)稱(chēng)雅可比)。雅可比矩陣不僅用來(lái)表示操作空間與關(guān)節(jié)空間之間的速度線性映射關(guān)系，同時(shí)也用來(lái)表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系?，F(xiàn)在是4頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四4.1雅可比矩陣的定義

把機(jī)器人關(guān)節(jié)速度向量定義為：

式中，為連桿i相對(duì)i-1的角速度或線速度?，F(xiàn)在是5頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四手抓在基坐標(biāo)系中的廣義速度向量為：

式中，v為線速度，ω為角速度分量?，F(xiàn)在是6頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四從關(guān)節(jié)空間速度向操作空間速度映射的線性關(guān)系稱(chēng)為雅可比矩陣，記為J，即：

4-3現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四在數(shù)學(xué)上，機(jī)器人終端手抓的廣義位置（位姿）矢量P可寫(xiě)成：

上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，有：4-5現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四對(duì)照式4-3和式4-5，可知：

現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四

在機(jī)器人學(xué)中，J是一個(gè)把關(guān)節(jié)速度向量變換為手爪相對(duì)基坐標(biāo)的廣義速度向量的變換矩陣。在三維空間運(yùn)行的機(jī)器人，其J陣的行數(shù)恒為6(沿/繞基坐標(biāo)系的變量共6個(gè))；列數(shù)則為機(jī)械手含有的關(guān)節(jié)數(shù)目。對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)的機(jī)器人來(lái)說(shuō)，手的廣義位置向量均容易確定，可采用直接微分法求J，比較方便?，F(xiàn)在是10頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四對(duì)于三維空間運(yùn)行的機(jī)器人則不完全適用。從三維空間運(yùn)行的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，可以獲得直角坐標(biāo)位置向量的顯式方程，因此，J的前三行可以直接微分求得，但不可能找到方位向量的一般表達(dá)式。找不出互相獨(dú)立的、無(wú)順序的三個(gè)轉(zhuǎn)角來(lái)描述方位．繞直角坐標(biāo)軸的連續(xù)角運(yùn)動(dòng)變換是不可交換的，而對(duì)角位移的微分與對(duì)角位移的形成順序無(wú)關(guān)，故一般不能運(yùn)用直接微分法來(lái)獲得J的后三行。因此，常用構(gòu)造性方法求雅可比J?，F(xiàn)在是11頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四4.2微分運(yùn)動(dòng)與廣義速度剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)包括微分移動(dòng)矢量d和微分轉(zhuǎn)動(dòng)矢量δ。前者由沿三個(gè)坐標(biāo)軸的微分移動(dòng)組成，后者由繞三個(gè)坐標(biāo)軸的微分轉(zhuǎn)動(dòng)組成，即或

或現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四剛體或坐標(biāo)系的微分運(yùn)動(dòng)矢量剛體或坐標(biāo)系的廣義速度現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四簡(jiǎn)寫(xiě)為：現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四其中，R是旋轉(zhuǎn)矩陣S(P)為矢量P的反對(duì)稱(chēng)矩陣S(P)矩陣具有以下性質(zhì)：現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四相應(yīng)的，廣義速度V的坐標(biāo)變換為：任意兩坐標(biāo)系A(chǔ)和B之間廣義速度的坐標(biāo)變換為：現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四4.3雅可比矩陣的構(gòu)造法構(gòu)造雅可比矩陣的方法有矢量積法和微分變換法，雅可比矩陣J(q)既可當(dāng)成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間的速度傳遞的線性關(guān)系，也可看成是微分運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換的線性關(guān)系，即：

現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四對(duì)于有n個(gè)關(guān)節(jié)的機(jī)器人，其雅可比矩陣J(q)是6×n階矩陣，其前三行稱(chēng)為位置雅可比矩陣，代表對(duì)手爪線速度v的傳遞比，后三行稱(chēng)為方位矩陣，代表相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度對(duì)手爪的角速度ω的傳遞比。因此，可將雅可比矩陣J(q)分塊，即：式中，Jli和Jai分別表示關(guān)節(jié)i的單位關(guān)節(jié)速度引起手爪的線速度和角速度。

現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四雅可比矩陣的求解（矢量積法）：Jli的求法：(1)第i關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)僅平移關(guān)節(jié)產(chǎn)生的線速度現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四設(shè)某時(shí)刻僅此關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)、其余的關(guān)節(jié)靜止不動(dòng)，則：設(shè)bi-1為zi-1軸上的單位矢量，利用它可將局部坐標(biāo)下的平移速度di轉(zhuǎn)換成基礎(chǔ)坐標(biāo)下的速度：由于所以現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四

(2)第i個(gè)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，設(shè)某時(shí)刻僅此關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)，其余的關(guān)節(jié)靜止不動(dòng)，仍然利用bi-1將zi-1軸上的角速度轉(zhuǎn)化到基礎(chǔ)坐標(biāo)中去僅旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)產(chǎn)生的線速度現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四矢量起于Oi-1，止于On，所以由ωi產(chǎn)生的線速度為:現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四由于所以現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四雅可比矩陣的求解：Jai的求法：第i關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)由于關(guān)節(jié)移動(dòng)的平移不對(duì)手部產(chǎn)生角速度，所以此時(shí)(2)第i關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)，所以現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四當(dāng)?shù)趇關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)當(dāng)?shù)趇關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)時(shí)現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四確定1、用b表示zi-1軸上的單位向量把它轉(zhuǎn)換到基礎(chǔ)坐標(biāo)系中，即為現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四

如右圖所示。用O、Oi-1、On分別表示基礎(chǔ)坐標(biāo)系、i-1號(hào)坐標(biāo)及手部坐標(biāo)系的原點(diǎn)。用矢量x表示在各自坐標(biāo)系中的原點(diǎn)。把用齊次坐標(biāo)表示現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四有上式可以確定現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四例2-6：建立右圖的雅可比矩陣現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四機(jī)械臂末端的速度為現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四微分變換法

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)

現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)

現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四對(duì)于移動(dòng)關(guān)節(jié)

對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)

現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四例：PUMA560的6個(gè)關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，其雅可比有6列。此處用矢量積法計(jì)算J(q)現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是37頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四例：斯坦福六自由度機(jī)器人除第三關(guān)節(jié)為移動(dòng)關(guān)節(jié)外，其余5個(gè)關(guān)節(jié)為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)。此處用微分法計(jì)算TJ(q)現(xiàn)在是39頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是40頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四若給定機(jī)器人終端手抓的廣義速度向量V，則可由下式解出相應(yīng)的關(guān)節(jié)速度：逆雅可比矩陣

上式中，稱(chēng)為逆雅可比矩陣，為加給對(duì)應(yīng)關(guān)節(jié)伺服系統(tǒng)的速度輸入變量。現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四雅可比矩陣的應(yīng)用1、分離速度控制

由上式可見(jiàn)，當(dāng)已知手端速度向量V，可通過(guò)左乘雅可比逆矩陣計(jì)算出機(jī)器人的關(guān)節(jié)速度向量，所以上式為運(yùn)動(dòng)學(xué)逆問(wèn)題的速度關(guān)系式，是對(duì)機(jī)器人進(jìn)行速度控制的基本關(guān)系式?，F(xiàn)在是43頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四

采用計(jì)算機(jī)控制時(shí)，把速度表示位置增量的形式，故將上式寫(xiě)為：式中,Δv為手部在基礎(chǔ)坐標(biāo)下一個(gè)采樣周期的位移(線位移、角位移)；Δq為在同一周期內(nèi)關(guān)節(jié)變量的增量?，F(xiàn)在是44頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四

當(dāng)要求機(jī)器人沿某軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，Δv為已知，將它代入上式中求得關(guān)節(jié)變量增量Δq

，于是可確定各關(guān)節(jié)變量值，由伺服系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)位置控制，這就是分離速度控制原理，如下圖所示。Δv要求Δv實(shí)際分離速度控制原理現(xiàn)在是45頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四雅可比矩陣的應(yīng)用2、在靜力分析中的應(yīng)用

有些機(jī)器人的工作需要與環(huán)境接觸，并保持一定的接觸力，如右圖所示。接觸力F可表示為一個(gè)六維力向量：設(shè)一個(gè)驅(qū)動(dòng)器只驅(qū)動(dòng)一個(gè)關(guān)節(jié)，則n個(gè)關(guān)節(jié)需求n個(gè)驅(qū)動(dòng)力，可組成一個(gè)n維關(guān)節(jié)力向量:現(xiàn)在是46頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯于星期四T與F的關(guān)系可以表示為：2-56現(xiàn)在是47頁(yè)\一共有51頁(yè)\編輯