2021-2022學年江蘇省鎮(zhèn)江市實驗高二年級下冊學期期中數(shù)學試題 解析版

2022年鎮(zhèn)江實驗高中高二下學期期中數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知雙曲線：是一條漸近線與軸正半軸所成夾角為，則的離心率為（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】首先表示出雙曲線的漸近線，依題意可得，再根據(jù)離心率公式計算可得；【詳解】解：雙曲線：的漸近線為，依題意，所以雙曲線的離心率；故選：A2.已知，那么函數(shù)在處的瞬時變化率為（）A.1 B.0 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)簡單復合函數(shù)的導函數(shù)計算規(guī)則求出函數(shù)的導函數(shù)，再代入計算可得；【詳解】解：因為，所以，所以，所以函數(shù)在處的瞬時變化率為，故選：C3.用數(shù)字0，1，2，3，4組成允許有重復數(shù)字的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)個數(shù)為（）A.125種 B.100種 C.64種 D.60種【答案】B【解析】【分析】首先確定百位數(shù)字，再根據(jù)允許有重復數(shù)字，即可確定十位與個位的數(shù)字，按照分步乘法計數(shù)原理計算可得；【詳解】解：首先排百位數(shù)字，只能是1，2，3，4中的一個，故有4種排法，因為允許有重復數(shù)字，故十位與個位均有5種排法，故一共有種；故選：B4.函數(shù)的大致圖像為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導數(shù)求出的單調(diào)性即可選出答案.【詳解】由可得，所以由可得，由可得且，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選：D5.滿足條件的自然數(shù)有（）A.7個 B.6個 C.5個 D.4個【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列數(shù)和組合數(shù)公式化簡可得，再根據(jù)，且可得答案.【詳解】由得，即，又，且，所以.故選：C.【點睛】本題考查了排列數(shù)與組合數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題.6.過點作圓的切線，則切線的方程為（）A.x=3或3x+4y－29=0 B.y=3或3x+4y－29=0C.x=3或3x－4y+11=0 D.y=3或3x－4y+11=0【答案】C【解析】【分析】設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為，由圓心到切線的距離等于半徑求得值得切線方程，同時檢驗斜率不存在的直線是否為切線即可得．【詳解】由圓的方程可得圓心坐標為，半徑為1，當過點的切線斜率存在時，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為，由點到直線的距離公式可得，解得，所以切線方程為，當過點切線斜率不存在時，切線方程為，所以過點的圓的切線方程為或，故選：C．7.若點，分別是函數(shù)與圖象上的動點（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則的最小值為（）A. B. C. D.17【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于，由導數(shù)的幾何意義可求出點的坐標，則的最小值為點到直線的距離【詳解】設(shè)，，令且當時，，；當時，，設(shè)與平行且與相切的直線與切于．則到直線的距離為，即，故選：A．8.已知，，（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，則，，，然后利用的單調(diào)性可比較出答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，，，因為，所以當時，，單調(diào)遞減，因為，所以，故選：B二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則符合條件的實數(shù)的取值可以是（）A.1 B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】由條件可得在區(qū)間上恒成立，然后可得，然后利用導數(shù)求出右邊的最小值即可.【詳解】因函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，由可得，令，則，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以所以故選：CD10.3個人坐在一排5個座位上，則下列說法正確的是（）A.共有60種不同的坐法B.空位不相鄰的坐法有72種C.空位相鄰的坐法有24種D.兩端不是空位的坐法有18種【答案】ACD【解析】【分析】按照題目給定的條件排列即可.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，相當于先排好這3個人有種排法，然后把2個空位插在3個人中間，故有種插法，，故B錯誤；對于C，相當于把2個空位先捆綁好，再插到3人中，，故C正確；對于D，相當于先從3人中抽取2人排好后放在兩端，第三個人在中間的3個空位中任取一個，故有種，故D正確；故選：ACD.11.弦經(jīng)過拋物線：的焦點，設(shè)，，下列說法正確的是（）A. B.的最小值為C. D.以弦為直徑的圓與準線相切【答案】BCD【解析】【分析】首先得出焦點坐標和準線方程，然后由拋物線的定義可判斷A，設(shè)弦所在的直線方程為，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程消元，然后韋達定理可得，，然后可判斷BCD.【詳解】焦點為，準線為，，故A錯誤，設(shè)弦所在的直線方程為，由可得，所以，，故C正確，所以，所以當時最小，最小值為，故B正確，的中點的橫坐標為，所以以弦為直徑的圓的圓心到準線的距離為，所以以弦為直徑的圓與準線相切，故D正確，故選：BCD12.定義在上的函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，函數(shù)的部分對應(yīng)值如下表．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）x024513132A.函數(shù)的極大值點的個數(shù)為2B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C.當時，若的最小值為1，則t的最大值為2D.若方程有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】由導函數(shù)圖象得原函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB；由單調(diào)性結(jié)合函數(shù)值表可判斷CD.【詳解】由圖知函數(shù)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[4,5]上單調(diào)遞減，所以在處有極大值，故A正確；單調(diào)區(qū)間不能寫成并集，故B錯誤；因為函數(shù)，且在區(qū)間[2,4]上單調(diào)遞增，所以存在使得，易知，當時，在區(qū)間的最小值為1，故C不正確；由函數(shù)值表結(jié)合單調(diào)性作出函數(shù)草圖可知D正確.故選：AD

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.2022年北京冬奧會期間，小明收藏了4個冰墩墩和5個雪容融且造型不一的吉祥物，現(xiàn)抽取3個吉祥物贈送友人，其中至少有冰墩墩雪容融各1個，則不同的送法有__________種．【答案】【解析】【分析】分選1個冰墩墩和2個雪容融與選2個冰墩墩和1個雪容融兩種情況討論，按照分類加法與分步乘法計數(shù)原理計算可得；【詳解】解：若選1個冰墩墩和2個雪容融，則有種；若選2個冰墩墩和1個雪容融，則有種；綜上可得一共有種；故答案為：14.做一個無蓋的圓柱形水桶，其體積是，則當圓柱底面圓半徑__________時，用料最省．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓柱的高為，半徑為則由圓柱的體積公式可得，要使用料最省即求全面積的最小值，而，令，結(jié)合導數(shù)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可求函數(shù)取得最小值時的半徑【詳解】解：設(shè)圓柱的高為，半徑為，則由圓柱的體積公式可得所以所以令，，則，令解得，令可得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則在時取得極小值即最小值，即當時，圓柱的表面積（不包含上底面）最小，即用料最?。还蚀鸢笧椋?5.若函數(shù)f（x）=lnx-ax有兩個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】函數(shù)有兩個不同的零點，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)有兩個不同的交點，根據(jù)圖像求解臨界情況，得出結(jié)果．【詳解】解：函數(shù)有兩個不同的零點，即有兩個不同的解，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個不同的交點，當直線與曲線相切時，只有一個交點，此時為臨界情況，設(shè)切點為，則可得，解得，根據(jù)圖像可以得到，當時，直線與曲線有兩個交點，故答案是．【點睛】本題考查了函數(shù)的零點問題，函數(shù)的零點問題可以轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，然后通過對臨界情況的分析，得出參數(shù)的取值范圍．16.如圖，過原點的直線與圓有一個交點，已知，為圓上相異兩點且滿足，則直線的方程為__________．【答案】【解析】【分析】由條件可得，圓的半徑為5，然后求出圓心到直線的距離，然后可求出答案.【詳解】因為，所以，即圓的半徑為5，因為，所以，設(shè)直線的方程為，即，因為，圓的半徑為5，所以圓心到直線的距離為，所以，解得，即直線的方程為，故答案為：四、解答題（本大題共6小題，共計70分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知，且在處取得極值.（1）求的解析式；（2）求在上的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用求得，由此求得的解析式.（2）利用導數(shù)求得在區(qū)間上的最小值.【小問1詳解】，，此時，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，所以在處取得極值符合題意.所以.【小問2詳解】由（1）知在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增，，所以在區(qū)間上的最小值為.18.已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,問是否存在斜率是1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由.【答案】x-y-4=0或x-y+1="0."【解析】【詳解】試題分析：假設(shè)存在，并設(shè)出直線方程y＝x＋b，然后代入圓的方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達定理得到根的關(guān)系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到參數(shù)b的方程求解即可．試題解析：設(shè)直線l的方程為y＝x＋b①圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②聯(lián)立①②消去y，得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有③因為以AB為直徑的圓經(jīng)過原點，所以O(shè)A⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，故直線l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0．考點：存在性問題．【方法點睛】存在性問題，首先應(yīng)假設(shè)存在，然后去求解．對本題來說具體是：設(shè)出直線方程y＝x＋b，然后分析幾何性質(zhì)得到OA⊥OB即得到關(guān)于參數(shù)b的方程求解即可．解該類問題最容易出錯的的地方是，忽視對參數(shù)范圍的考慮，即直線方程與圓的方程聯(lián)立求解后應(yīng)得到，即求出的b值必須滿足b的范圍，否則無解．19.在①第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是，②第2項與倒數(shù)第3項的二項式系數(shù)之和為55，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線上，并解答．問題：已知在的展開式中，__________．（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中含的項．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）不管選哪個條件，都可以求出，然后可求出答案；（2）寫出展開式的通項，然后可得答案.【小問1詳解】若選①，第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是，則，求得，當二項式系數(shù)最大時，，即第六項的二項式系數(shù)最大，此項為．若選②，第2項與倒數(shù)第3項的二項式系數(shù)之和為55，則，，當二項式系數(shù)最大時，，即第六項的二項式系數(shù)最大，此項為．若選③，，，當二項式系數(shù)最大時，，即第六項的二項式系數(shù)最大，此項為．小問2詳解】該二項式的通項公式為，令，求得，故展開式中含的項為．20.如圖，在幾何體中，平面，平面，，，又，．（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用公式即可；（2）利用坐標，求兩個半平面所在平面的法向量，根據(jù)公式求解即可.試題解析：(1)如圖，過點作的垂線交于，以為原點，分別以為軸建立空間直角坐標系.∵，∴，又，則點到軸的距離為1，到軸的距離為則有，，，，.（1）設(shè)平面的法向量為，∵，則有，取，得，又，設(shè)與平面所成角為，則，故與平面所成角正弦值為.（2）設(shè)平面的法向量為，∵，，則有，取，得，∴，故平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.點睛：本題考查線面角的求法，以及二面角的余弦的求法，屬于中檔題.對于能夠建立空間直角坐標系的問題，要優(yōu)先考慮坐標法來處理，對于第一問，要先求面的一個法向量，然后利用兩個向量的夾角公式處理，利用求得的法向量來求二面角的余弦值后，要注意角是銳角還是鈍角.21已知，函數(shù)．（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程．（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值．【答案】（）．（）見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）求出f'（x），得切線的斜率，又曲線的切點為（2，f（2）），由點斜式可寫出切線方程；（2）借助于導數(shù)，將函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)進行研究．分，，三種情況討論函數(shù)的最值情況.試題解析：（）當時，，，∴，，∴，即曲線在點處的切線斜率為．又∵，∴曲線在點處的切線方程為，即．（）∵，∴．令，得．①若，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時函數(shù)無最小值．②若，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值．③當，則當時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得最小值．綜上所述，當時，函數(shù)在區(qū)間上無最小值．當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．當時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．22.在平面直角坐標系xOy中，