高等數(shù)學(xué)全套課件(同濟(jì)五版)第四章 換元積分法

換元積分法直接利用基本積分表和分項(xiàng)積分法所能計(jì)算的不定積分是非常有限的，為了求出更多的積分，需要引進(jìn)更多的方法和技巧本節(jié)和下節(jié)就來介紹求積分的兩大基本方法——換元積分法和分部積分法。在微分學(xué)中，復(fù)合函數(shù)的微分法是一種重要的方法，不定積分作為微分法的逆運(yùn)算，也有相應(yīng)的方法。利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法——換元積分法。通常根據(jù)換元的先后，把換元法分成第一類換元和第二類換元。問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換元法說明結(jié)果正確將上例的解法一般化：設(shè)則如果（可微）將上述作法總結(jié)成定理，使之合法化，可得——換元法積分公式第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.定理1注①定理說明：若已知?jiǎng)t因此該定理的意義就在于把中的換成另一個(gè)的可微函數(shù)后，式子仍成立——又稱為積分的形式不變性這樣一來，可使基本積分表中的積分公式的適用范圍變得更加廣泛。②由定理可見，雖然是一整體記號(hào)，但可把視為自變量微分——湊微分③湊微分法就在湊微分上，其基本思想就是對(duì)被積表達(dá)式進(jìn)行變形，主要考慮如何變化湊微分法的基本思路：與基本積分公式相比較，將不同的部分——中間變量和積分變量——變成相同步驟：湊微分；換元求出積分；回代原變量例1求解（一）解（二）解（三）例2求解一般地例3求解例4求解例5解例6求解例7解注意：分子拆項(xiàng)是常用的技巧例8求解例9求解例10求解例11求原式例12求解或例13求解說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.例14求解例15求解（一）（使用了三角函數(shù)恒等變形）解（二）解（三）類似地可推出解例16設(shè)求.令例17求解例18解（一）分子分母同乘以解（二）分子分母和差化積解（三）分子恰為分母的導(dǎo)數(shù)第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過如何適當(dāng)?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，只能具體問題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對(duì)被積表達(dá)式做適當(dāng)?shù)奈⒎肿冃?，拼湊出合適的微分因子。問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二、第二類換元法證設(shè)為的原函數(shù),令則則有換元公式定理2第二類積分換元公式例19求解令例20求解令例21求解令說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令注意：所作代換的單調(diào)性。對(duì)三角代換而言，掌握著取單調(diào)區(qū)間即可。說明(2)積分中為了化掉根式除采用三角代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式例中,令說明(3)積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換（或雙曲代換）并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.例22求（三角代換很繁瑣）解令例23求解令說明(4)當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換例24求解令例25求解令（分母的階較高）說明(5)當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）